Công thức phép đồng dạng đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức phép đồng dạng - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta có: M’N’ = kMN.

* Tính chất:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho với tỉ số đồng dạng k.

- Biến góc thành góc bằng nó.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R.

2. Công thức

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0)

- Biến hai điểm M(x_M; y_M), N(x_N; y_N) thành 2 điểm tương ứng M’(x’_M; y’_M), N’(x’_N; y’_N) ta luôn có M’N’ = kMN.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $x-2\sqrt{2}=0$. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép quay tâm O góc 45⁰.

Lời giải

* Gọi d₁ là ảnh của d qua phép vị tử tâm O , tỉ số $k=\frac{1}{2}$.

Vì d₁ song song hoặc trùng với d nên phương trình của d₁ có dạng: x + c = 0

Lấy $M\left(2\sqrt{2};0\right)\in d$ thì ảnh của M qua phép $V_{\left(O;\frac{1}{2}\right)}$ là N(x_N; y_N) thuộc d₁

Tọa độ N là:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_N=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}\\ y_N=\frac{1}{2}.0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N=\sqrt{2}\\ y_N=0\end{array}\right.\iff N\left(\sqrt{2};0\right)$

Vậy phương trình của $d_1:x-\sqrt{2}=0$.

* Lấy hai điểm $A\left(\sqrt{2};0\right)$ và $B\left(\sqrt{2};-\sqrt{2}\right)$ thuộc d₁

Gọi ảnh của A và B qua phép quay $Q_{\left(O;45°\right)}$ A’ và B’. Khi đó đường thẳng d’ đi qua 2 điểm A’ và B’.

Tọa độ điểm A’:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=\sqrt{2}\cos 45°-0.\sin 45°\\ y_{A\text{'}}=\sqrt{2}\sin 45°+0.\cos 45°\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=1\\ y_{A\text{'}}=1\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(1;1\right) \end{gathered}$$

Tọa độ điểm B’:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_{B\text{'}}=\sqrt{2}\cos 45°-\left(-\sqrt{2}\right).\sin 45°\\ y_{B\text{'}}=\sqrt{2}\sin 45°+\left(-\sqrt{2}\right).\cos 45°\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{B\text{'}}=2\\ y_{B\text{'}}=0\end{array}\right.\Rightarrow B\text{'}\left(2;0\right) \end{gathered}$$

Phương trình đường thẳng d’ qua A’(1;1), có VTCP là $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\left(1;-1\right)$. Suy ra VTPT là $\overrightarrow{n_{d\text{'}}}=\left(1;1\right)$.

Vậy phương trình d’: (x – 1) + (y – 1) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)² + (y – 2)² = 4. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm I(1; 3) , tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép quay tâm A(-1;1), góc quay 45⁰ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đường tròn (C) có bán kính R = 2.

Phép vị tự tâm I(1; 3) , tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến (C) thành (C₁) có bán kính $R_1=\frac{1}{2}R=1$.

Phép quay tâm A(-1;1) góc quay 45⁰ biến (C₁) thành (C’) có bán kính R’ = R₁ = 1.

Vậy đường tròn (C) qua phép đồng dạng như trên thành đường tròn (C’) có bán kính R’ = 1.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép đồng dạng F hợp thành bởi phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép đối xứng trục Ox biến điểm M(4;2) thành điểm có tọa độ:

A. M’(2;-1)

B. M’(8;1)

C. M’(4;2)

D. M’(8;4)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)² + (y – 2)² = 4. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm O , tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép quay tâm O, góc quay 90⁰ sẽ biến (C) thành đường tròn nào có phương trình sau?

A. (x – 2)² + (y – 2)² = 1

B. (x – 1)² + (y – 1)² = 1         

C. (x + 2)² + (y – 1)² = 1

D. (x + 1)² + (y – 1)² = 1

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 2x – y = 0. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x – y = 0

B. 2x + y = 0

C. 4x – y = 0

D. 2x + y – 2 = 0

Đáp án: 1A, 2D, 3B

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả

Công thức Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Công thức Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Công thức Chứng minh hai mặt phẳng song song

Định lý Ta-lét trong không gian