Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

$$\begin{gathered} S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n \\ =\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \end{gathered}$$

Trong đó: u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng

                 d là công sai của cấp số cộng

2. Công thức

Tổng n số hạng đầu tiên $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$ hoặc $S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

Tổng của số hạng thứ k đến số hạng thứ n của dãy (với k < n):

S = u_k +  u_k+1 +  u_k+2 + … +  u_n = S_n – S_k-1

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = –15; u₂₀ = 60.

a) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u₂₁ +  u₂₂ +  u₂₃ + … +  u₂₀₀.

Lời giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

u₂₀ – u₅ = u₁ + 19d – u₁ – 4d = 15d.

Khi đó: 15d = 60 – (– 15) = 75. Suy ra: d = 5.

Ta có: $u_5=u_1+4d=-15\iff u_1=-15-4d=-35$.

a) Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$$\begin{gathered} S_{20}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \\ =\frac{20\left[2.\left(-35\right)+19.5\right]}{2}=250 \end{gathered}$$

b) $S_{200}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

$=\frac{200\left[2.\left(-35\right)+199.5\right]}{2}=92500$

S = u₂₁ +  u₂₂ +  u₂₃ + … +  u₂₀₀ = S₂₀₀ – S₂₀ = 92 500 – 250 = 92 250.

Ví dụ 2:  Cho cấp số cộng (u_n) có dạng u_n = 4n – 1.

a) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u₁ +  u₄ +  u₇ + u₁₀ +  u₁₃ + … +  u₃₀₁.

Lời giải

Ta có u₁ = 4.1 – 1 = 3 và d = u_n+1 – u_n = 4(n + 1) – 1 – (4n – 1) = 4

a) Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

$$\begin{gathered} S_{100}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \\ =\frac{100\left[2.3+99.4\right]}{2}=20100 \end{gathered}$$

b) Dãy số là (v_n): u₁;  u₄;  u₇; u₁₀; …  u₃₀₁ là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u₁ và công sai d’ = u₄ – u₁ = 3d = 12.

Dãy (v_n) có $\frac{301-1}{3}+1=101$ số hạng

$\begin{array}{l}S=u_1+u_4+u_7+u_{10}+u_{13}+\dots {+}^{ }{u}_{301}\\ =\frac{101.\left[2.3+100.12\right]}{2}=60903.\end{array}$

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức cấp số nhân

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Công thức phép tịnh tiến