Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Công thức phép tịnh tiến đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

    Với Công thức phép tịnh tiến Toán lớp 11 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các công thức về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

    1 38,859 23/06/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Công thức phép tịnh tiến - Toán lớp 11

    1. Lí thuyết

    Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM'→=v→ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v→.

    Phép tịnh tiến theo vectơ v→ thường được kí hiệu là Tv→, v→ được gọi là vectơ tịnh tiến.

    Công thức phép tịnh tiến đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Như vậy, Tv→M=M'⇔MM'→=v→.

    Phép tịnh tiến theo vectơ – không được gọi là phép đồng nhất. (Biến mỗi điểm thành chính nó)

    * Tính chất

    - Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

    - Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

    - Biến một vecto thành 1 vectơ bằng nó.

    - Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

    - Biến một góc thành một góc bằng nó.

    - Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

    2. Công thức

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→=a;b. Với mỗi điểm M(x;y) ta có M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v→. Khi đó MM'→=v→⇔x'=x+ay'=y+b.

    (Tọa độ ảnh = tọa độ điểm + tọa độ vectơ tịnh tiến)

    3. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→=(1;−5), điểm A(2; 2), đường thẳng d: 3x + 4y - 4 = 0, đường tròn: (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0. Xác định:

    a) Điểm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.

    b) Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.

    c) Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.

    Lời giải

    a) Ta có A’ là ảnh của A qua Tv→. Tọa độ A’: xA'=xA+1=3yA'=yA−5=−3. Vậy A’(3; -3).

    b) Lấy điểm M(0; 1) thuộc d

    Gọi M’ là ảnh của M qua Tv→, khi đó M'∈d'

    Ta có: xM'=xM+1=1yM'=yM−5=−4. Vậy M’(1;-4) .

    Vì d’ là ảnh của d qua Tv→ nên d’ song song hoặc trùng với d. Suy ra VTPT nd'→=nd→=3;4.

    Vậy phương trình d’: 3(x – 1) + 4(y + 4) = 0. Hay d’: 3x + 4y + 13 = 0.

    c) Cách 1: (Tịnh tiến tâm I và giữ nguyên bán kính)

    Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0

    Có tâm I (1; -2) và bán kính R=12+−22−−1=6

    Gọi I’ là ảnh của I qua Tv→. Ta có: xI'=xI+1=1+1=2yI'=yI−5=−2−5=−7.

    Vậy I’(1; -7)

    Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua , nên (C’) có tâm I’ và bán kính .

    Vậy phương trình (C’): (x-2)2 + (y+7)2 = 6 hay x2 + y2 – 4x + 7y + 47 = 0.

    Cách 2: (Tịnh tiến mọi điểm trên đường tròn)

    Với mọi điểm B(x;y) bất kì ∈ (C). Gọi B’(x’;y’) là ảnh của B qua phép tịnh tiến.

    Khi đó x'=x+1y'=y−5⇔x=x'−1y=y'+5

    Vì Bx;y∈C nên thay vào phương trình (C):

    (x’- 1)2 + (y’ + 5)2 – 2(x’ - 1) + 4(y’+ 5) – 1 = 0

    Suy ra x’2 + y’2 – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

    B’(x’;y’)  ảnh của B qua phép Tv→ nên B’ di động trên đường tròn (C’): x’2 + y’2 – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

    Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C’): x’2 + y’2 – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

    Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P): y = x2 và (Q): y = x2+ 2x + 2. Tìm phép tịnh tiến T  biến (Q) thành (P).

    Lời giải

    Gọi vectơ tịnh tiến là v→=a;b. Gọi ảnh của (Q) qua phép Tv→ là parabol (R)

    Lấy điểm Mx ;y∈(Q). Gọi M’x’;y’=Tv→(M), khi đó M'∈R

    Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: x'=x+ay'=y+b⇔x=x'−ay=y'−b

    Vì , thay vào phương trình (Q):  y’ – b = (x’ – a)2 + 2(x’– a) + 2

    ⇔y'=x'2+ 21–ax'+a2–2a+b+2

    Vậy phương trình (R): y = x2 + 2(1 – a)x + a2 – 2a + b + 2

    Để (R) trùng với (P) thì 2(1−a)=0a2−2a+b+2=0

    ⇔a=112−2.1+b+2=0⇔a=1b=−1

    Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol (Q) thành parabol (P), theo vectơ v→−1;1.

    4. Bài tập tự luyện

    Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(0; 1). Ảnh của  điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ u→1;2 là điểm nào?

    A. M'(2; 3)

    B. M'(1; 3)

    C. M'(1; 1)

    D. M'(-1; -1)

    Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo u→=2;3 có phương trình là:

    A. x + 2y + 2 = 0

    B. x – 2y + 6 = 0          

    C. 2x – y + 2 = 0

    D. 2x + y +2 = 0

    Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ u→1;1 là đường tròn có phương trình:

    A. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 16

    B. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9

    C. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 

    D. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9

    Đáp án: 1B, 2B, 3C

    Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

    Công thức phép đối xứng tâm

    Công thức phép đối xứng trục

    Công thức phép quay

    Công thức phép vị tự

    Công thức phép đồng dạng

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 38,859 23/06/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: