Phép vị tự đầy đủ | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Công thức phép vị tự - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: điểm I cố định và một số thực k không đổi, $k\ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho $\overrightarrow{IM\text{'}}=k\overrightarrow{IM}$ được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k và kí hiệu là V_(I,k) (I được gọi là tâm vị tự).

* Nhận xét:

- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

- Phép vị tự tỉ số k = 1 chính là phép đồng nhất.

- Phép vị tự tâm I tỉ số k = -1 chính là phép đối xứng qua tâm I.

- $M\text{'}=V_{\left(I;k\right)}\left(M\right)\iff M=V_{\left(I;\frac{1}{k}\right)}(M\text{'})$

* Tính chất:

- Biến đường thẳng không qua tâm vị tự đường thẳng song song với nó.

- Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k| đoạn thẳng ban đầu.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.

- Biến góc thành góc bằng với góc ban đầu.

- Biến tia thành tia.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.

2. Công thức

Cho điểm M(x₀; y₀). Phép vị tự tâm I(a; b), tỉ số k biến điểm M thành M’ có tọa độ (x’; y’) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-a=k\left(x_0-a\right)\\ y\text{'}-b=k\left(y_0-b\right)\end{array}\right.$

Đối với phép vị tự tâm O biến M thành M’ thì $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}=k{x}_0\\ y\text{'}=k{y}_0\end{array}\right.$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm I(1; 2) cố định và số thực k = 2.

a) Tìm ảnh A’ của điểm A(3; 4) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

Lời giải

a) Ta có  V_{(1; 2)}(A) = A’(x’;y’)

nên $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_A-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_A-y_I\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}-1=2.\left(3-1\right)\\ y\text{'}-2=2.\left(4-2\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=5\\ y\text{'}=6\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(5;6\right)$

Vậy tọa độ điểm A’(5;6).

b) Gọi đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 2

Ta có: I không nằm trên đường thẳng d (vì 1 – 2.2 + 1 = -2)

Nên d’ song song với d. Khi đó phương trình d’ có dạng: x – 2y + c = 0  (c khác 1)

Lấy điểm $M\left(1;1\right)\in d$, ta có $V_{(I;2)}\left(M\right)=M’ \in d’$.

Tọa độ điểm M’(x’;y’): $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_M-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_M-y_I\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}-1=2.\left(1-1\right)\\ y\text{'}-2=2.\left(1-2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=1\\ y\text{'}=0\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}\left(1;0\right)$

Vì $M\text{'}\in d$ nên 1 – 2.0 + c = 0, suy ra c = -1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng d’: x – 2y – 1 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)²  = 4. Tìm ảnh (C') của (C) qua phép vị tự tâm I(-1; 2), tỉ số k = 3?

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm A(1;2), kính R = 2.

Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3 nên (C’) có bán kính R’ = 3.2 = 6 và tâm A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3.

Ta có A’(x’; y’) = V_(I;3)(A)

Tọa độ điểm A’:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_A-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_A-y_I\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}+1=3\left(1+1\right)\\ y\text{'}-2=3\left(2-2\right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\right.\iff A\text{'}\left(5;2\right)\end{array}$

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x – 5)² + (y – 2)²  = 36.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm tọa độ A để điểm A’(1;5) là ảnh của A qua phép vị tự tâm I(1;3), k = -2. Tọa độ A là:

A. A(1;2)

B. A(1;7)

C. A(-1;-2)

D. A(-1;-7)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm ảnh d' của d qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=-\frac{2}{3}$.

A. -3x + y – 9 = 0 

B. 3x – y – 10 = 0

C. 9x – 3y + 15 = 0

D. 9x – 3y + 10 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)²22 2 + (y + 1)²  =5. Tìm ảnh đường tròn (C') của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) và tỉ số k = - 2

A. x² + y² + 6x – 16y + 4 = 0

B. x² + y² – 6x + 16y – 4 = 0

C. (x + 3)² + (y – 8)² = 20

D. (x – 3)² + (y + 8)² = 20

Đáp án: 1A, 2D, 3C

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức phép đồng dạng

Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả

Công thức Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Công thức Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Công thức Chứng minh hai mặt phẳng song song