Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Công thức phép đối xứng tâm đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

    Với Công thức phép đối xứng tâm Toán lớp 11 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các công thức về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

    1 2,684 23/06/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Công thức phép đối xứng tâm - Toán lớp 11

    1. Lí thuyết

    * Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M  khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

    Công thức phép đối xứng tâm đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

    Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

    Từ định nghĩa suy ra: M’ = ĐI(M)

    ⇔IM'→+IM→=0→⇔IM'→=−IM→.

    * Tính chất:

    - Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

    - Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

    - Biến một vectơ thành 1 vectơ đối với nó.

    - Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

    - Biến một góc thành một góc bằng nó.

    - Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

    2. Công thức

    Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) và M(x;y). Ta có: ĐI(M) = M’(x’; y’) có biểu thức tọa độ: x'=2a−xy'=2b−y

    Công thức phép đối xứng tâm đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Với tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = ĐO[M(x; y)] thì x'=−xy'=−y.

    3. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;3), đường thẳng d: x − 2y + 5 = 0 và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4.

    a) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

    b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

    c) Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm O.

    Lời giải

    a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

    Ta có: A’ = ĐO(A) suy ra A’(2; -3).

    b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

    Ta có: d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = 0.

    Lấy điểm M−5;0∈d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, khi đó M'∈d'.

    M’(x’,y’) = ĐO(M) nên x'=−xM=5y'=−yM=0

    M’∈d’⇒5−2.0+c=0⇔c=−5

    Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – 5 = 0.

    c) Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 2.

    Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O

    Khi đó (C’) có bán kính R = 2 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O.

    Ta có: I’(x’,y’) = ĐO(I) nên x'=−xI=−1y'=−yI=2. Suy ra I’(-1;2)

    Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4.

    Ví dụ 2: Cho điểm I(3; -4) và đường thẳng d: 5x + 2y – 3 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

    Lời giải

    Cách 1:

    Vì d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

    Nên d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = 0.

    Lấy điểm M1;−1∈d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M'∈d'

    ĐI(M) = M’(x’,y’) có tọa độ là: x'=2xI−xMy'=2yI−yM⇔x'=2.3−x=5y'=2−4−−1=−7

    M'∈d'⇒5.5+2.−7+c=0⇔c=−11

    Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11  = 0.

    Cách 2:

    Lấy M(x,y) bất kì thuộc d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó M'∈d'

    ĐI(M) = M’ có tọa độ: x'=2.3−xy'=2.−4−y⇔x=6−x'y=−8−y'⇔M6−x';−8–y'

    Thay vào d ta được: 5(6 − x’) + 2(−8−y’) – 3 = 0

    ⇔−5x'−2y'+11=0⇔5x'+2y'−11=0

    Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 0.

    4. Bài tập tự luyện

    Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm M(-3; 2) thành điểm M’ có tọa độ là:

    A. M’(-4; 2)

    B. M’(2; -3)

    C. M’(-2; 3) 

    D. M’(2; 3)

    Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

    A. 3x + 2y + 1 = 0 

    B. -3x + 2y – 1 = 0

    C. 3x + 2y – 1 = 0

    D. 3x – 2y – 1 = 0

    Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

    A. (C'): (x – 2)2 + y2 = 1

    B. (C'): (x + 2)2 + y2 = 1

    C. (C'): x2 + (y + 2)2 = 1

    D. (C'): x2 + (y – 2)2 = 1

    Đáp án: 1B, 2B, 3A

    Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

    Công thức phép đối xứng trục

    Công thức phép quay

    Công thức phép vị tự

    Công thức phép đồng dạng

    Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 2,684 23/06/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: