Công thức phép đối xứng tâm đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức phép đối xứng tâm - Toán lớp 11

1. Lí thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M  khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

Từ định nghĩa suy ra: M’ = Đ_I(M)

$\iff \overrightarrow{IM\text{'}}+\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IM\text{'}}=-\overrightarrow{IM}.$

* Tính chất:

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vectơ thành 1 vectơ đối với nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) và M(x;y). Ta có: Đ_I(M) = M’(x’; y’) có biểu thức tọa độ: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x\\ y\text{'}=2b-y\end{array}\right.$

Với tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = Đ_O[M(x; y)] thì $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}\right..$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;3), đường thẳng d: x − 2y + 5 = 0 và đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 4.

a) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

c) Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải

a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

Ta có: A’ = Đ_O(A) suy ra A’(2; -3).

b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ta có: d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(-5;0\right)\in d$. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$.

M’(x’,y’) = Đ_O(M) nên $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x_M=5\\ y\text{'}=-y_M=0\end{array}\right.$

$M’\in d’\Rightarrow 5-2.0+c=0\iff c=-5$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – 5 = 0.

c) Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O

Khi đó (C’) có bán kính R = 2 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O.

Ta có: I’(x’,y’) = Đ_O(I) nên $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x_I=-1\\ y\text{'}=-y_I=2\end{array}\right.$. Suy ra I’(-1;2)

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

Ví dụ 2: Cho điểm I(3; -4) và đường thẳng d: 5x + 2y – 3 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải

Cách 1:

Vì d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Nên d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(1;-1\right)\in d$. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Đ_I(M) = M’(x’,y’) có tọa độ là: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2x_I-x_M\\ y\text{'}=2y_I-y_M\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2.3-x=5\\ y\text{'}=2\left(-4\right)-\left(-1\right)=-7\end{array}\right.$

$M\text{'}\in d\text{'}\Rightarrow 5.5+2.\left(-7\right)+c=0\iff c=-11$

Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11  = 0.

Cách 2:

Lấy M(x,y) bất kì thuộc d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Đ_I(M) = M’ có tọa độ: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2.3-x\\ y\text{'}=2.\left(-4\right)-y\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=6-x\text{'}\\ y=-8-y\text{'}\end{array}\right.\iff M\left(6-x\text{'};-8–y\text{'}\right)$

Thay vào d ta được: 5(6 − x’) + 2(−8−y’) – 3 = 0

$\iff -5x\text{'}-2y\text{'}+11=0\iff 5x\text{'}+2y\text{'}-11=0$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 0.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm M(-3; 2) thành điểm M’ có tọa độ là:

A. M’(-4; 2)

B. M’(2; -3)

C. M’(-2; 3) 

D. M’(2; 3)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0 

B. -3x + 2y – 1 = 0

C. 3x + 2y – 1 = 0

D. 3x – 2y – 1 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x² + y² = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

A. (C'): (x – 2)² + y² = 1

B. (C'): (x + 2)² + y² = 1

C. (C'): x² + (y + 2)² = 1

D. (C'): x² + (y – 2)² = 1

Đáp án: 1B, 2B, 3A

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức phép đối xứng trục

Công thức phép quay

Công thức phép vị tự

Công thức phép đồng dạng

Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả