Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn - Toán lớp 11

1. Tổng hợp lý thuyết

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x, y là biến)

${\left(ax+by\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(ax\right)}^{n-k}{\left(by\right)}^k$

$=C_n^0{a}^n{x}^n+C_n^1{a}^{n-1}b.x^{n-1}y$$+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2.x^{n-2}{y}^2+....$$+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}.x{y}^{n-1}+C_n^n{b}^n{y}^n$

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{n-k}{y}^k$

- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

2. Các công thức

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: ${\left(a{x}^p+b{x}^q\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk}$

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy số hạng chứa x^m là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k{x}^m$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ  (p, q là các hằng số)

Ta có: $P\left(x\right)={\left(a+b{x}^p+c{x}^q\right)}^n$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{\left(b{x}^p+c{x}^q\right)}^k$

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được số hạng chứa x^m.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển: (2 – 3x)²⁰

Lời giải

Khai triển: ${\left(2–3x\right)}^{20}=\sum _{k=0}^{20}{C}_{20}^k{.2}^{20-k}{\left(-3x\right)}^k$

Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: $T_{k+1}=C_{20}^k{.2}^{20-k}{\left(-3x\right)}^k$

Cần tìm số hạng thứ 6 nên k = 5.

Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là: $T_6=C_{20}^5{2}^{20-5}{\left(-3x\right)}^5=-C_{20}^5{2}^{15}{3}^5{x}^5$.

Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x⁸ trong khai triển: ${\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\right)}^{12}$

Lời giải

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\right)}^{12}={\left(x^{-3}+x^{\frac{5}{2}}\right)}^{12}\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k.{\left(x^{-3}\right)}^{12-k}{\left(x^{\frac{5}{2}}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k.x^{-36+3k+\frac{5}{2}k}\end{array}$

Cần tìm số hạng chứa x⁸ nên $-36+3k+\frac{5}{2}k=8\iff k=8$

Vậy số hạng chứa x⁸ trong khai triển là $C_{12}^8{x}^8=495x^8$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức tính xác suất

Công thức cấp số cộng

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng