50 bài tập về Đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

1. Lý thuyết

a) Giới hạn: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x² – 3x + 2)

c) $y=\sqrt{1+2\tan x}$

d) y = tan 3x – cot 3x

e) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$

Lời giải

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x² – 3x + 2)’.cos(x² – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x² – 3x + 2).

c) Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1+2\tan x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2\tan x}}$$=\frac{\frac{2}{{\cos }^{2}x}}{2\sqrt{1+2\tan x}}$$=\frac{1}{{\cos }^{2}x\sqrt{1+2\tan x}}$.

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

$y^{\text{'}}=\frac{3}{{\cos }^{2}3x}+\frac{3}{{\sin }^{2}3x}$$=\frac{3}{{\sin }^{2}3x.{\cos }^{2}3x}$$=\frac{3}{\frac{1}{4}{\sin }^{2}6x}$$=\frac{12}{{\sin }^{2}6x}$.

Cách 2: Ta biến đổi:

$y=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{co\mathrm{s}3x}{\sin 3x}$$=\frac{{\sin }^{2}3x-{\cos }^{2}3x}{\cos 3x.\sin 3x}$$=-\frac{2\cos 6x}{\sin 6x}$ $=-2\cot 6x$

$\Rightarrow y\text{'}=\frac{12}{{\sin }^{2}6x}$.

e) $y\text{'}=\left(\tan 2x\right)\text{'}-\frac{1}{3}\left(\cot 4x\right)\text{'}+\left(\sqrt{\sin x}\right)\text{'}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}+\frac{4}{3{\sin }^{2}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y={\sin }^{2}3x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

b) $y=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$

c) $y=\tan \left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)$

d) $y=(\sin x+\cos x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)$

Lời giải

a) $y\text{'}=2\sin 3x.\left(\sin 3x\right)\text{'}-\frac{\left({\cos }^{2}x\right)\text{'}}{{\cos }^{4}x}$$=2\sin 3x.3\cos 3x-\frac{2\cos x.\left(\cos x\right)\text{'}}{{\cos }^{4}x}$$=6\sin 3x\cos 3x+\frac{2\cos x.\sin x}{{\cos }^{4}x}$$=3\sin 6x+\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$

b) $y\text{'}=\frac{(1+\sin x)\text{'}(1+\cos x)-(1+\cos x)\text{'}(1+\sin x)}{{(1+\cos x)}^2}$

$=\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin x(1+\sin x)}{{(1+\cos x)}^2}=\frac{\cos x+\sin x+1}{{(1+\cos x)}^2}$

c) $y\text{'}=\left(\tan \left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)\right)\text{'}=\frac{\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)\text{'}}{{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$

$=\frac{2x+\frac{1}{\sqrt{x}}}{{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{2x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$

d) $y\text{'}=(\sin x+\cos x)\text{'}\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)+(\sin x+\cos x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)\text{'}$

$=(\cos x-\sin x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)+(\sin x+\cos x)\left(-3\sin x-\frac{1}{3}\cos x\right)$

$=3{\cos }^{2}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x+\frac{1}{3}{\sin }^{2}x-3{\sin }^{2}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x-\frac{1}{3}{\cos }^{2}x$

$=\frac{8}{3}{\cos }^{2}x-\frac{8}{3}{\sin }^{2}x-\frac{20}{3}\sin x\cos x$

$=\frac{8}{3}\cos 2x-\frac{10}{3}\sin 2x$

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y² – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y² + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Khi đó, ta có:

$y^{\text{'}}-y^2-1$ $=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-{\tan }^{2}x-1$$=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=0$ (đpcm)

b) Trước tiên, ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}$.

Khi đó, ta có:

$y^{\text{'}}+2y^2+2=$$-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}+2{\cot }^{2}2x+2$ $=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}+\frac{2}{{\sin }^{2}2x}=0$ (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) y = sin 2x – 2cos x.

b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

$2\cos 2x+2\sin x=0$ $\iff \cos 2x=-\sin x=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ 2x=-x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\end{array}\right.$,$k\in \mathbb{Z}$.

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

$6\cos 2x-8\sin 2x+10=0$$\iff 4\sin 2x-3\cos 2x=5$

$\iff \frac{4}{5}\sin 2x-\frac{3}{5}\cos 2x=1$

Đặt $\frac{4}{5}=\cos a$ và $\frac{3}{5}=\sin a$, do đó ta được:

$\sin 2x\cos a-\cos 2x.\sin a=1$$\iff \sin (2x-a)=1$

$\iff 2x-a= \frac{\pi }{2}+2k\pi$$\iff x=\frac{a}{2}+ \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là:

A. y’ = - tan x

B. $y\text{'}=-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

C. $y\text{'}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

D. y’ = 1 + cot²x

Câu 2. Hàm số $y=-\frac{3}{2}\sin 7x$ có đạo hàm là:

A. $-\frac{21}{2}\cos x$

B. $-\frac{21}{2}\cos 7x$

C. $\frac{21}{2}\cos 7x$

D. $\frac{21}{2}\cos x$

Câu 3. Hàm số $y=\sin \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$ có đạo hàm là:

A. $3\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$

B. $-3\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$

C. $\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$

D. $-3\sin \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A. $\tan 2x+\frac{2x}{{\cos }^{2}x}$

B. $\frac{2x}{{\cos }^{2}2x}$

C. $\tan 2x+\frac{2x}{{\cos }^{2}2x}$

D. $\tan 2x+\frac{x}{{\cos }^{2}2x}$.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x

D. – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7. Hàm số $y=\frac{\sin x}{x}$ có đạo hàm là:

A. $y\text{'}=\frac{x\sin x-\cos x}{x^2}$

B. $y\text{'}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

C. $y\text{'}=\frac{x\cos x+\sin x}{x^2}$

D. $y\text{'}=\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}$

Câu 8. Hàm số $y=\frac{1}{2}\cot x^2$ có đạo hàm là:

A. $\frac{-x}{2\sin x^2}$

B. $\frac{x}{{\sin }^2{x}^2}$

C. $\frac{-x}{\sin x^2}$

D. $\frac{-x}{{\sin }^2{x}^2}$

Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

A. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\sin }^{2}2x}$

B. $y^{\text{'}}=\frac{4}{{\cos }^{2}2x}$

C. $y^{\text{'}}=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}$

D. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}2x}$

Câu 10. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ có biểu thức dạng $\frac{a}{{(\sin x-\cos x)}^2}$.

Vậy giá trị a là:

A. a = 1

B. a = – 2

C. a = 3

D. a = 2

Câu 11. Cho hàm số $y=\sin \sqrt{2+x^2}$. Đạo hàm y' của hàm số là

A. $\frac{2x+2}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$

B. $-\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$

C. $\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$

D. $\frac{(x+1)}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$

Câu 12. Đạo hàm của hàm số $y={\sin }^{2}2x.\cos x+\frac{2}{\sqrt{x}}$ là

A. $y^{\text{'}}=2\sin 2x.\cos x-\sin x.{\sin }^{2}2x-2\sqrt{x}$

B. $y^{\text{'}}=2\sin 2x.\cos x-\sin x.{\sin }^{2}2x-2\sqrt{x}$

C. $y^{\text{'}}=2\sin 4x.\cos x+\sin x.{\sin }^{2}2x-\frac{1}{x\sqrt{x}}$

D. $y^{\text{'}}=2\sin 4x.\cos x-\sin x.{\sin }^{2}2x-\frac{1}{x\sqrt{x}}$

Câu 13. Cho hàm số $y=f\left(x\right)={\sin }^{3}5x.{\cos }^2\frac{x}{3}$. Giá trị đúng của $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)$bằng

A. $-\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $-\frac{\sqrt{3}}{4}$

C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 14. Cho hàm số y = cos²x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi )$

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0 trong khoảng $(-\pi ;\pi )$

A. $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{\pi }{6}$

B. $-\frac{\pi }{3}$ và $\frac{\pi }{3}$

C. $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{7\pi }{12}$

D. $-\frac{\pi }{3}$ và $\frac{\pi }{6}$

BẢNG ĐÁP ÁN