Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x² + y² + z² + xyz = 20

Lời giải

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1

Khi đó ta có: x² + y² + z² + xyz = 20 ≥ z³ + 3z²

suy ra z = 1 hoặc z = 2

Với z = 1:  

19 = xy + x² + y2 ≥ y² + y² + y² = 3y²

⇒ y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1: x² + 1 + 1 + x = 20

⇔ x² + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương. 

Với y = 2: x² + 2² + 1² + 1.2.x = 20

⇔ x² + 2x − 15 = 0

⇔ (x − 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 3 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị. 

Với z = 2: 

20 = 2xy + x² + y² + 4 ≥ 2y² + y² + y² = 4y²

⇒ y = 2

x² + 2² + 2² + 2.2.x = 20

⇔ x² + 4x−12=0

⇔ (x − 2)(x + 6) = 0

⇒ x = 2 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (2,2,2).

*Phương pháp giải:

Biện luận cho z=1,z=2,y=1,y=2 tìm được 3 số x,y,z

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a\in ℝ$, $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Khi đó: $a^n=\underset{nsôa}{\underbrace{a.a\mathrm{...}a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a\ne 0$. Khi đó: $a^{-n}=\frac{1}{a^n};a^0=1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^0$ và $0^{-n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n\ge 2$.

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^n=b$

- Khi n lẻ, $b\in ℝ$: Tồn tại duy nhất $\sqrt[n]{b}$

Dạng 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực $a>0$ và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z},n\ge 2$

Khi đó: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. VD: $2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$

Dạng 4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ, $\left(r_n\right)$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n=\alpha$. Khi đó: $a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^{r_n}$

Xem thêm

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12