Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-6x^2-36x-1$. Gọi d là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=f(x). Biết d cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A và B thì diện tích tam giác OAB bằng bao nhiêu?

* Lời giải:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3x^2-12x-36 \\ \iff 3x^2-12x-36=0 \\ \iff x^2-4x-12=0 \\ \iff (x-6)(x+2)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=6\\ x_2=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giá trị hàm số y=f(x) tại $x_1=6; x_2=-2$

$$\begin{gathered} f\left(6\right)=6^3-6.6^2-36.6-1=215 \\ f(-2)={(-2)}^3-6.{(-2)}^2-36.(-2)-1=-15 \end{gathered}$$

Vẽ đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là (6; 215) và (-2; -15)

Diện tích tam giác OAB1:

$\frac{1}{2}.OA.AB1=\frac{1}{2}.6.215=645$

Diện tích tam giác OAB2:

$\frac{1}{2}.OA.AB2=\frac{1}{2}.6.15=45$

Vậy diện tích tam giác OAB = 645 - 45 = 600

* Phương pháp giải:

Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm nghiệm, đó là các giá trị $x$ tại cực trị

Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị: Thay $x$ vừa tìm được vào $f(x)$ để xác định tọa độ các điểm cực trị

Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: Tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm vừa tìm được

Tính diện tích tam giác cần tìm: Dùng công thức diện tích tam giác để tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị và đường thẳng

* Một số lý thuyết nắm thêm:

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AB² = BC . BH; AC² = BC . HC.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AH2 = BH . HC.

Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AB . AC = BC . AH.

Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Toán 9 Chương 4 (Chân trời sáng tạo): Hệ thức lượng trong tam giác vuông