Rút gọn A= tanx. tan(x+$\frac{\mathrm{\pi }}{3}$)+tan(x+$\frac{\mathrm{\pi }}{3}$).tan(x+$\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$) +tan(x+$\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$).tanx

* Lời giải:

Áp dụng công thức:

$\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

$\Rightarrow \tan (a-b).(1+\tan a.\tan b)=\tan a-\tan b$ (*)

$A=\tan x.\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right).\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)+\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right).\tan x$

Áp dụng (*) ta có:

+)

$\tan \frac{\pi }{3}.\left[1+\tan x.\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right]$

$=\tan \left[\left(x+\frac{\pi }{3}\right)-x)\right].\left[1+\tan x.\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right]$

$=\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\tan x$ (1)

+)

$\tan \frac{\pi }{3}.\left[1+\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right).\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right]$

$=\tan \left[\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)-\left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right].\left[1+\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right).\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right]$

$=\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)-\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ (2)

+)

$\tan \frac{\pi }{3}.\left[1+\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right).\tan x\right]$

$=\tan \frac{-2\pi }{3}.\left[1+\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right).\tan x\right]$

$=\tan \left[x-\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right].\left[1+\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right).\tan x\right]$

$=\tan x-\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)$ (3)

Lấy vế cộng vế phương trình (1) + (2) + (3) ta có:

$\tan \frac{\pi }{3}.(3+A)=0$

$\mathrm{A\; =\; -3}$

$\mathrm{*\; Phương\; pháp\; giải:}$

$\mathrm{-\; sử\; dụng\; các\; phép\; công\; thức\; trong\; lượng\; giác\; để\; biến\; đổi\; tìm\; ra\; nghiệm}$

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình. 

Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Một số phương trình lượng giác thường gặp và cách giải các dạng bài tập

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) – Toán 11 

Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản