Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11

1 4,399 18/10/2022


Mục lục Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Video giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Hoạt động 1 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0.

Lời giải:

Ta có: 2sinx1=0sinx=12

Do sinπ6=12

π6 là một giá trị của x thỏa mãn 2 sin x – 1 = 0.

Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?
Lời giải:

Theo Bài 1: Hàm số lượng giác, ta đã biết 1sinx1, mà – 2 < – 1

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = – 2.

Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sinx=13;

b) sinx+450=22.

Lời giải:

Giải các phương trình sau (sin x)= 1/3 (ảnh 1)

Vây phương trình sinx=13 có các nghiệm là:

Giải các phương trình sau (sin x)= 1/3 (ảnh 1)

Giải các phương trình sau (sin x)= 1/3 (ảnh 1)

Vậy phương trình có các nghiệm x=90°+k360°x=180°+k360°(k).

Hoạt động 4 trang 23 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cosx=12;

b) cosx=23;

c) cosx+300=32.

Lời giải:

a) Vì 12=cos2π3 

nên cosx=12 cosx=cos2π3 x=±2π3+k2π,k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=±2π3+k2π,k.

b) cosx=23x=±arccos23+k2π,k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=±arccos23+k2π,k.

c) Vì  32=cos30° 

nên cosx+300=32

cosx+30°=cos30°

x+300=±300+k3600,k

x=k360°x=60°+k360°,k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=k360°;x=60°+k360°,k.

Hoạt động 5 trang 24 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tan x = 1;

b) tan x = -1;

c) tan x = 0.

Lời giải:

a) tanx= 1tanx=tanπ4x=π4+kπ,  k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,  k.

b) tanx= 1tanx=tanπ4x=π4+kπ,  k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,  k.

c) tanx= 1tanx=tan0x=kπ,  k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=kπ,  k.

Hoạt động 6 trang 26 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cot x = 1;

b) cot x = -1;

c) cot x = 0.

Lời giải:

a) cotx= 1cotx=cotπ4

x=π4+kπ,  k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,  k.

b) cotx= 1cotx=cotπ4

x=π4+kπ,  k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,  k.

c) cotx= 0cotx=cotπ2

x=π2+kπ,  k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π2+kπ,  k.

Bài 1 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sin(x+2)=13;

b) sin 3x = 1;

c) sin2x3π3=0;

d) sin2x+20°=32.

Lời giải:

Giải các phương trình sau [sin (x+2)] = 1/3 (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình là:

Giải các phương trình sau [sin (x+2)] = 1/3 (ảnh 1)

b)  sin 3x = 1

3x=π2+k2πk

x=π6+2kπ3(k)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π6+2kπ3(k).

c) sin2x3π3=0

2x3π3=kπk

2x3=π3+kπ k

x=π2+k3π2(k)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π2+k3π2(k).

Giải các phương trình sau [sin (x+2)] = 1/3 (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x=40°+k180°;x=110°+k180°(k)

Bài 2 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số sin 3x và sin x bằng nhau?

Lời giải:

Giá trị x cần tìm là nghiệm của phương trình: sin 3sin x

Ta có: sin 3sin x

3x=x+k2π3x=πx+k2π k

2x=k2π4x=π+k2πk

x=kπx=π4+kπ2  k

Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán là x=kπ;  x=π4+kπ2(k).

Bài 3 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cos(x1)=23;

b) cos 3x = cos 120;

c) cos3x2π4=12;

d) cos22x=14.

Lời giải:

Giải các phương trình sau [ cos (x-1) ] = 2/3 (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình là

Giải các phương trình sau [ cos (x-1) ] = 2/3 (ảnh 1)

b) cos 3x = cos 12

3x=120+k36003x=120+k3600(k)

x=40+k1200x=40+k1200(k)

Vậy các nghiệm của phương trình là

x=40+k1200;x=40+k1200k

Giải các phương trình sau [ cos (x-1) ] = 2/3 (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình là

Giải các phương trình sau [ cos (x-1) ] = 2/3 (ảnh 1)

d) cos22x=14

cos2x=12cos2x=12

cos2x=cosπ3cos2x=cos2π3

2x=±π3+k2π2x=±2π3+k2π(k)

x=±π6+kπx=±π3+kπ(k)

Vậy các nghiệm của phương trình là

Giải các phương trình sau [ cos (x-1) ] = 2/3 (ảnh 1)

Bài 4 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình sau: 2cos2x1sin2x=0.

Lời giải:

Điều kiện: sin2x1 2xπ2+k2π xπ4+kπ(k).

Ta có:  2cos2x1sin2x=0

2cos2x=0

cos2x=0

2x=π2+kπ

x=π4+kπ2(k)

Kiểm tra điều kiện:

Cách 1: π4+kπ2π4+lπ kπ2lπ k2lk2l

Hay k không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên k = 2m+1.

Suy ra x=π4+(2m+1)π2=3π4+mπ.

Vậy phương trình có nghiệm x=3π4+mπ,m.

Cách 2: Nghiệm x=3π4+mπ cũng có thể viết thành  x=π4+nπ

Giải phương trình sau [ (2cos2x) / (1-sin2x) ] = 0 (ảnh 1)

Các điểm biểu diễn x=π4+kπ là M1, M2 nhưng điều kiện là xπ4+kπ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn x=π4+kπ2 là M1, M2, M3, M4  nhưng do không lấy hai điểm M1, M2  nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn M3, M4.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua O và AOM4^=π4 nên nghiệm của phương trình là

x=π4+kπ,k.

Bài 5 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tanx15°=33;

b) cot(3x1)=3;

c) cos 2x. tan x = 0;

d) sin3x. cotx = 0.

Lời giải:

a) Điều kiện: x15°90°+k180° x105°+k.180°  k.

Ta có: tanx15°=33

tanx15°=tan30°

x15°=30°+k180°,(k)

x=45°+k180°,(k) (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: x=45°+k180°,(k).

b) Điều kiện: sin3x10  3x1kπ(k) hay x1+kπ3(k)

Ta có: cot(3x1)=3

cot(3x1)=cotπ6

3x1=π6+kπ

3x=1π6+kπ

x=13π18+kπ3(k)  (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=13π18+kπ3,(k).

c) Điều kiện cosx0xπ2+kπ(k)

cos 2x. tan x = 0

cos2x=0tanx=0

2x=π2+kπx=kπ

x=π4+kπ2x=kπ(k)  (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: x=π4+kπ2(k)x=kπ(k)

d) Điều kiện: sinx0 xkπ(k)

Ta có: sin3x. cotx = 0

sin3x=0cotx=0

3x=kπx=π2+nπ

x=kπ3x=π2+nπ(k,n)

Kết hợp với điều kiện:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác đế loại nghiệm:

Giải các phương trình sau (ảnh 1)

Các nghiệm x=kπ3x=π2+kπ,k được biểu diễn bởi các điểm từ A1 đến A8 trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện  xkπ nên các điểm A1 và A4 bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A2, A3, A5, A6, A7, A8

Các nghiệm đó là: x=±π3+kπx=π2+kπ,k.

Bài 6 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y=tanπ4x và y = tan 2x bằng nhau?

Lời giải:

Ta có: tanπ4x=tan2x

Điểu kiện: π4xπ2+mπ2xπ2+mπ xπ4mπxπ4+mπ2 xπ4+mπ2(mZ)

Khi đó phương trình tương đương với:

2x=π4x+kπ

3x=π4+kπ

x=π12+kπ3(k)

Kết hợp điều kiện ta có:

π12+kπ3π4+mπ2

kπ3mπ2+π6

2kπ3mπ+π

2k3m+1

k3m+12(k,m) 

Vậy phương trình có các nghiệm: 

x=π12+kπ3 k3m+12,k,mZ 

Bài 7 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sin3x − cos5x = 0;

b) tan3x. tanx = 1.

Lời giải:

a) sin3x − cos5x = 0

cos5x=sin3x

cos5x=cosπ23x

5x=π23x+k2π5x=π2+3x+k2πk

8x=π2+k2π2x=π2+k2π k

x=π16+kπ4x=π4+kπ(k)

Vậy các nghiệm phương trình là: x=π16+kπ4(k) và x=π4+kπ,(k).

b) Điều kiện: cos3x0cosx0 3xπ2+kπxπ2+kπ xπ6+kπ3xπ2+kπ xπ6+kπ3  (k)

Ta có: tan 3x.tan x = 1

tan3x=1tanx

tan3x=cotx

tan3x=tanπ2x

3x=π2x+kπ

4x=π2+kπ

x=π8+kπ4  (k) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm phương trình là x=π8+kπ4,k.

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 2)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Ôn tập chương 1

Bài 1: Quy tắc đếm

Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

1 4,399 18/10/2022


Xem thêm các chương trình khác: