Toán 11 Ôn tập chương 3

Với giải bài tập Toán lớp 11 Ôn tập chương 3 chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.

1 1,285 10/11/2022
Tải về


Mục lục Giải Toán 11 Ôn tập chương 3

Video giải Toán 11 Ôn tập chương 3

Bài tập 1 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Xét cấp số cộng (un) với un+1 = u+ d,

Ta có: un+1 - u= d

Nếu d > 0 thì un+1 > unn*, khi đó (un) là dãy số tăng.

Nếu d < 0 thì un+1 < unn*, khi đó (un) là dãy số giảm.

Bài tập 2 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân có u1 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a) q > 0

b) q < 0

Lời giải:

Ta có: un = u1.qn-1

a) Vì u1 < 0 nên với q > 0 thì un < 0, n*

b) Vì u1 < 0 nên với q < 0:

Xét n > 1

Nếu n là số chẵn thì n – 1 là số lẻ

qn1<0

u1.qn1>0 (vì u1 < 0)

un>0

Nếu n là số lẻ thì n – 1 là số chẵn

qn1>0

 u1.qn1<0 (vì u1 < 0)

un<0

Vậy nếu q < 0, u1 < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Bài tập 3 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số cộng có cùng số số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.

un+1un=d1vn+1vn=d2

Xét dãy (an) với an = un + vn

Ta có: an + 1 – a= (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)

= (un+1 – un ) + (vn+1 - vn)

= d1 + d= const

Vậy (an) là cấp số cộng có số hạng đầu là a1 = u1 + v1 và công sai là d1 + d2

Ví dụ:

1, 3, 5, 7,... là cấp số cộng có u1 = 1 và d1 = 2

0, 5, 10, 15,... là cấp số cộng có v1 = 0 và d2 = 5

Suy ra (an): 1, 8, 15, 22,... là cấp số cộng có

a1 = 1 + 0 = 1 và d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7

Bài tập 4 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Gọi (an) là cấp số nhân công bội q1 và (bn) là cấp số nhân công bội q2 tương ứng.

Xét (un) với un = an.bn

Ta có:

un+1 = an+1.bn+1

un+1un=an+1bn+1anbn=an+1anbn+1bn=q1q2

Vậy dãy số (un)  là một cấp số nhân có công bội: q = q1.q2

Ví dụ:

1, 2, 4,… là cấp số nhân có công bội q1 = 2

3, 9, 27,… là cấp số nhân có công bội q2 = 3

Suy ra: 3, 18, 108... là cấp số nhân có công bội: q = q1.q= 2.3 = 6

Bài tập 5 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi n* , ta có: 

a) 13n  - 1 chia hết cho 6;

b) 3n3 + 15n chia hết cho 9.

Lời giải:

a) Với n = 1, ta có: 1311=131=126

Giả sử: 13k1  6  với mọi k1

Ta chứng minh: 13k+11  6

Thật vậy:

13k+1 – 1 = 13k+1 − 13k + 13k – 1

= (13k+1 − 13k) + (13k − 1)

= 13k(13 − 1) + (13k − 1)

= 12.13k + 13k − 1

Vì  12.13k 6 và  13k1 6 (theo giả thiết quy nạp)

Nên 13k+11 6

Vậy 13n − 1 chia hết cho 6 với mọi n* .

b) Với n = 1, ta có: 3.13+15.1=18 9

Giả sử: 3k3+15k 9,k1 .

Ta chứng minh: 3k+13+15k+19

Thật vậy:

3(k + 1)3 + 15(k + 1)

= 3.(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= 3k+ 9k2 + 9k + 15k + 18

= (3k3 + 15k) + 9(k+ k + 2)

Vì 3k3+15k 9  (theo giả thiết quy nạp) và 9k2+k+2 9

Nên 3k+13+15k+19

Vậy 3n3 + 15n chia hết cho 9 với mọi  n*.

Bài tập 6 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết u1 2 un+2un − 1 (với n1 ).

a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy.

b) Chứng minh un = 2n–1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) u1 = 2

u2 = 2u1 – 1 = 2.2 – 1 = 3

u3 = 2u2 – 1 = 2.3 – 1 = 5

u4 = 2u3 – 1 = 2.5 – 1 = 9

u5 = 2u4 – 1 = 2.9 – 1 = 17

b) Với n = 1, ta có: u1 = 21−1 + 1 = 2 công thức đúng

Giả sử công thức đúng với mọi n=k1 . Nghĩa là: uk = 2k−1 + 1

Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh:

uk+1 = 2(k+1)−1 + 1 = 2k + 1

Ta có: uk+1 = 2uk – 1 = 2(2k−1 + 1) – 1

= 2.2k–1 + 2 – 1 = 2k + 1 (điều phải chứng minh)

Vậy un = 2n−1 + 1 với mọi  n*.

Bài tập 7 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

a) un=n+1n

b) un=1n1sin1n

c) un=n+1n

Lời giải:

a) Xét hiệu:

un+1un=n+1+1n+1n+1n=n+1+1n+1n1n =1+1n+11n=n2+n+nn1n(n+1)=n2+n1n(n+1)>0,nN*

Do n2+n112+11=1>0 và n(n + 1) > 0 với n*

Vậy un là dãy số tăng.

Mặt khác:

 un=n+1n2n1n=2,n*

Vậy un là dãy số bị chặn dưới.

Khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn trên.

Vậy un là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có: u1 = (-1)1-1.sin1 = sin1 > 0

u2=(1)21sin12=sin12<0u3=(1)31sin13=sin13>0

Suy ra u1 > u2 và u2 < u3

Vậy un là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có:

 un=(1)n1sin1n=sin1n11un1

Vậy un là dãy số bị chặn.

c) Ta có:

un=n+1n=(n+1n)(n+1+n)n+1+n=n+1nn+1+n=1n+1+n

Xét hiệu:

un+1un=1(n+1)+1+n+11n+1+n=1n+2+n+11n+1+n

Ta có: 

Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (ảnh 1)

Suy ra un+1 – u< 0

Vậy un là là dãy số giảm.

Mặt khác:   un=1n+1+n>0,n*

Suy ra un là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với n1 thì n+1+n2+1

Suy ra un=1n+1+n12+1

Suy ra un là là dãy số bị chặn trên 

Vậy un là là dãy số giảm và bị chặn.

Bài tập 8 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un), biết:

a) 5u1+10u5=0S4=14

b) u7+u15=60u42+u122=1170

Lời giải:

a) 5u1+10u5=0S4=14 u1+2u1+4d=04u1+u1+3d2=143u1+8d=04u1+6d=14 u1=8d=3

Vậy số hạng đầu u1 = 8, công sai d = -3.

b)

 Tìm số hạng đầu (ảnh 1)

Vậy số hạng đầu và công sai là u1=0d=3 hoặc u1=12d=215

Bài tập 9 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un), biết: 

a) u6=192u7=384

b) u4u2=72u5u3=144

c) u2+u5u4=10u3+u6u5=20

Lời giải:

a)  u6=192u7=384u1q5=192  (1)u1q6=384  (2)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được:

q=2u1.26=384q=2u1=6

Vậy u1 = 6 và q = 2.

b)

 u4u2=72u5u3=144 u1q3u1q=72u1q4u1q2=144u1qq21=72       (1)u1q2q21=144    (2)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được:

u1qq21=72       (1)u1q2q21=144    (2)q=212u1=144 q=2u1=12

Vậy u1 = 12 và q = 2.

c) 

u2+u5u4=10u3+u6u5=20u1q+u1q4u1q3=10u1q2+u1q5u1q4=20u1q1+q3q2=10     (1)u1q21+q3q2=20   (2)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được:

q=2u1.2.1+2322=10 q=2u1=1

Vậy u1 = 1 và q = 2.

Bài tập 10 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 5 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số cộng và C^=5A^

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: d.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

B^=A^+d,C^=A^+2d,D^=A^+3d

A^+2d=5A ^ 4A^2d=0  4A^=2d

Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng 360o nên:

Tính các góc của tứ giác (ảnh 1)

Thay 4A^=2d vào ta được: 8d = 360o

Suy ra d = 45o

Suy ra 4A^2.45°=0

A^=22,5°=22°30'B^=A^+45°=67°30'C^=A^+2.45°=112°30'D^=A^+3.45°=157°30'

Bài tập 11 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Biết rằng ba số xyz lập thành một cấp số nhân và ba số x2y3lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Lời giải:

Giả sử ba số xyz  lập thành một cấp số nhân với công bội q ta có: y = x.q và z = y.q = x.q2

Ba số x2y3lập thành một cấp số cộng nên:

x + 3z = 2.2y

x + 3.(xq2) = 4.(xq)

x + 3xq2 − 4xq = 0

x.(1 + 3q2 – 4q) = 0

Suy ra x = 0 hoặc 3q2 – 4q + 1 = 0

Nếu x = 0 thì x = y = z = 0, q không xác định (loại)

Nếu  x0 thì 3q24q+1=0q=1q=13
Cách khác:

Gọi công bội của cấp số nhân x, y, z là q.

Suy ra  y = x.q, z = x.q2

Lại có: x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng

 Khi đó 2y – x = 3z – 2y

2.xq – x = 3.xq2 – 2.xq

x(2q – 1) = x.(3q2 – 2q)

x.(3q2 – 4q + 1) = 0

Nếu x = 0 suy ra y = z = 0

Suy ra q không xác định (loại).

Nếu x0 thì 3q2 – 4q + 1 = 0  q=1q=13

Vậy cấp số nhân có công bội q = 1 hoặc q=13 .

Bài tập 12 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m2. Tính diện tích mặt trên cùng.

Lời giải:

Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; …; tầng 11 lần lượt là S1; S2; S3; …; S11.

Ta có:

Diện tích đế tháp: S0 = 12288 m2

Diện tích tầng 1: S1=12S0=12.12288=6144 (m2)

Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.

Do đó (Sn) là cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 6144 m2 công bội q=12 .

Diện tích tầng 11 là S11=S1q10=6144.1210=6 (m2)

Bài tập 13 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng nếu a2b2c2 lập thành một cấp số cộng  thì các số  1b+c1c+a , 1a+b cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Ta phải chứng minh:

1b+c1c+a=1c+a1a+b  

Thật vậy,

1b+c1c+a=1c+a1a+bc+abc(c+a)(b+c)=a+bca(c+a)(a+b)abb+c=bca+baba+b=b+cbca2b2=b2c2 

Do a2b2c2 lập thành cấp số cộng

Vậy điều kiện để 1b+c1c+a , 1a+b là cấp số cộng là a2b2c2 là cấp số cộng.

Bài tập 14 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) biết un = 3n. Hãy chọn phương án đúng:

a) Số hạng un+1 bằng:

(A) 3n + 1                   

(B) 3n + 3               

(C) 3n.3                  

(D) 3(n + 1)

b) Số hạng u2n bằng:

(A) 2.3n                      

(B) 9n                     

(C) 3n + 3               

(D) 6n

c) Số hạng un-1 bằng:

(A) 3n – 1                   

(B) 13.3n                 

(C) 3n – 3               

(D) 3n – 1

d) Số hạng u2n-1 bằng:

(A) 32.3n – 1               

(B) 3n.3n-1               

(C) 32n – 1              

(D) 32(n – 1)

Lời giải:

a) Thay n thành n + 1

Ta được un+1 = 3n+1 = 3n.3

Chọn đáp án C.

b) Thay n thành 2n

Ta được u2n = 32n = (32)n = 9n

Chọn đáp án B.

c) Thay n thành n – 1

Ta được un1= 3n1= 31.3n=13.3n

Chọn đáp án B.

d) Thay n thành 2n – 1

Ta được u2n-1 = 32n-1 = 3n.3n-1

Chọn đáp án B.

Bài tập 15 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là: 

(A) 1n+1.sinπn

(B) (−1)2n(5n + 1)

(C) 1n+1+n

(D) nn2+1

Lời giải:

(A) Ta có: 

u1=sinπu2=sinπ2u3=sinπ3

Do vậy (un) không tăng cũng không giảm.

(B) Ta có:

un+– un = (−1)2(n+1)(5n+1) − (−1)2n(5n 1)

5n+− 5n – 1

5n+− 5n 0

Vậy (un) là dãy tăng.

(C) Ta có:

un+1=1n+2+n+1<1n+1+n=un

Nên (un)  là dãy giảm.

(D) Ta có:

un+1un=n+1(n+1)2+1nn2+1=n2n+1n2+1(n+1)2+1<0,n*

Nên (un) là dãy giảm.

Chọn đáp án B

Bài tập 16 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng −2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

(A) x = −6; y = −2

(B) x = 1; y = 7

(C) x = 2; y = 8

(D) x = 2; y = 10

Lời giải:

Theo giả thiết: -2, x, 6, y là cấp số cộng

2x=(2)+62.6=x+y x=2y=10

Chọn đáp án D.

Bài tập 17 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân −4, x, −9. Hãy chọn đáp án đúng trong các kết quả sau:

(A) x = 36

(B) x = −6,5

(C) x = 6

(D) x = −36

Lời giải:

Ta có:

−4, x, −9 là ba số hạng của một cấp số nhân nên:

x2 = (−4).( −9) = 36  x=6x=6

Chọn đáp án C

Bài tập 18 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

(A) u10+u202=u5+u10

(B) u90 + u210 = 2u150

(C) u10.u30 = u20

(D) u10.u302=u20

Lời giải:

Giả sử (un) là cấp số cộng có công sai là d. Ta có:

u10+u202=u1+9d+u1+19d2=u1+4d+u1+9d+15d2=u5+u102+15d2u5+u10

Suy ra (A) sai.

u90 + u210 = u+ 89d + u+ 209d

= 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d) = 2u150

Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau (ảnh 1)

Suy ra (D) sai.

Chọn đáp án B

Bài tập 19 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:

(A) u1=2un+1=un2

(B) u1=1un+1=3un

(C) u1=3un+1=un+1

(D) 7,77,777,,777...7nchuso7

Lời giải:

Ta có:

u1=2un+1=un2un+1un=un un+1unun+2un+1

Suy ra (un) không phải cấp số nhân.

u1=1un+1=3unun+1un=3n .

(un) là cấp số nhân với công bội q = 3, u1 = -1.

u1=3un+1=un+1

Đây là cấp số cộng với u1 = 3; công sai d = 1.

+ 7; 77; 777;…; 777…77

u2u1=11u3u2=77777=11111u2u1u3u2

Suy ra (un) không là cấp số nhân.

Chọn đán án B.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Ôn tập chương 2

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2: Dãy số

Bài 3: Cấp số cộng

Bài 4: Cấp số nhân

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Trắc nghiệm Bài ôn tập chương 3 có đáp án

1 1,285 10/11/2022
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: