Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.

1 1552 lượt xem
Tải về


Mục lục Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3n < n + 100” và Q(n): “2n > n” với n*.

 a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với n* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Lời giải:

a)

Với n = 1 thì P(1): “3< 1 + 100” đúng, Q(1): “2> 1” đúng.

Với n = 2 thì P(2): “32 < 2 + 100” đúng, Q(2): “22 > 2” đúng.

Với n = 3 thì P(3): “33 < 3 + 100” đúng, Q(3): “23 > 3” đúng.

Với n = 4 thì P(4): “34 < 4 + 100” đúng, Q(4): “24 > 4” đúng.

Với n = 5 thì P(5): “35 < 5 + 100” sai, Q(5): “25 > 5” đúng.

b) Với P(n): Do với n = 5 thì P(n) sai nên P(n) không đúng với mọi n*

Với Q(n): Quan sát 2n ta thấy 2n tăng rất nhanh so với n nên 2n > n với mọi  n* hay Q(n) đúng với n* .

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n* thì1+2+3+...+n=nn+12.

Lời giải:

Khi n = 1, VT = 1

Suy ra VP=1(1+1)2=1

Giả sử đẳng thức đúng với n=k1, nghĩa là:

Sk=1+2+3++k=k(k+1)2

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

Sk+1=1+2+3++k+(k+1)=(k+1)(k+2)2

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

Sk+1=Sk+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2

Vậy đẳng thức đúng với mọi n*.

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3n và 8n với n*.

a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a)

n = 1 suy ra 31 = 3 < 8 = 8.1

n = 2 suy ra 32 = 9 < 16 = 8.2

n = 3 suy ra 33 = 27 > 24 = 8.3

n = 4 suy ra 34 = 81 > 32 = 8.4

n = 5 suy ra 35 = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả bằng tổng quát: 3n > 8n với mọi n3

Với n = 3, bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k3, nghĩa là: 3k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3k+1 > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

Với k3 suy ra 16k16.3=48>8

Suy ra 3k+1 > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n3.

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n*, ta có các đẳng thức:

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng 1.(3.1+1)2=2.

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k1, tức là

Sk=2+5+8++3k1=k(3k+1)2

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, nghĩa là phải chứng minh

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n*.

b)  12+14+18+...+12n=2n12n (2)

Với n = 1 thì vế trái bằng 12, vế phải bằng 12

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn

Giả sử đẳng thức (2) đúng với n=k1, tức là

Sk=12+14+18+...+12k=2k12k

Ta phải chứng minh

 Sk+1=2k+112k+1

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Sk+1=12+14+18+...+12k+12k+1 =Sk+12k+1=2k12k+12k+1 =22k1+12k+1

=2k+12+12k+1 =2k+112k+1 (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi n*.

c) 12+22+32+...+n2=nn+12n+16  (3)

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1)6=1

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n=k1, tức là

Sk=12+22+32+...+k2=kk+12k+16

Ta phải chứng minh

 Sk+1=k+1k+22k+1+16

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Sk+1 = 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2

= Sk + (k + 1)2

=kk+12k+16+k+12=kk+12k+1+6k+126=k+1k2k+1+6k+16=k+12k2+k+6k+66=k+12k2+7k+66=k+1k+22k+36=k+1k+22k+2+16

=k+1k+22k+1+16 (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi n*.

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với  n* ta có:

a) n3 3n5n chia hết cho 3;

b) 4n 15− 1 chia hết cho 9;

c) n3 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a) n3 3n5n chia hết cho 3;

Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với

 n=k1,Sk=k3+3k2+5k3

Ta phải chứng minh rằng Sk+13

Thật vậy :

Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 +5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

= Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk3

Mà 3k2+3k+33 nên Sk+13

Vậy n3 3n5n  chia hết cho 3 với mọi n*.

Cách khác: chứng minh trực tiếp

Có: n3 3n5n

= n.(n2 3n 5)

= n.(n2 3n 2 + 3)

= n.(n2 3n 2) + 3n

= n(n + 1)(n + 2) + 3n

Mà nn+1n+23  (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) và 3n3

Suy ra

 n3+3n2+5n=nn+1n+2+3n3

Vậy n3 3n5n chia hết cho 3 với mọi n* .

b) 4n 15− 1 chia hết cho 9;

Đặt Sn = 4n + 15n – 1

Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S19

Giả sử với 

n=k1,Sk=4k+15k19

Ta phải chứng minh Sk+19

Thật vậy, ta có:

Sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4k + 15k + 15 – 1

= 4.4k + 15k + 14

= 4.4k + 60k – 45k + 18 – 4

= (4.4k + 60k – 4) – 45k + 18

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18

= 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk9 nên 4Sk9

Mặt khác 95k  29 nên Sk+19

Vậy 4n+15n19 với mọi n*.

c) n3 11n chia hết cho 6

Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, S1 = 13 + 11.1 = 12 nên S16

Giả sử với n=k1,Sk=k3+11k6

Ta phải chứng minh Sk+16

Thật vậy, ta có:

Sk+1 = (k + 1)+ 11(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + (3k2 + 3k + 12)

= (k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4)

= Sk + 3(k2 + k + 4)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk6

Mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên 3k2+k+46

Do đó Sk+16

Vậy n3+11n 6 với mọi n*.

Cách khác: Chứng minh trực tiếp

Có: n3 11n 

n– n + 12n

= n(n2 – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.

Suy ra nn1n+16

Lại có 12n6

Vậy n3+11n =nn1n+1+12n6  với mọi n*

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1

b) 2n+1 > 2n + 3

Lời giải:

a) 3n > 3n + 1

Với n = 2 ta có: 32 = 9 > 7 = 3.2 + 1 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k2, tức là: 3> 3k + 1  (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

3k+1 > 3(k + 1) + 1 = 3k + 4

Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:

3k+1 > 9k + 3

3k+1 > 3k + 4 + 6k – 1

Vì k2 suy ra 6k111>0 nên 3k+1 > 3k + 4 + 11 > 3k + 4 = 3(k + 1) + 1

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 3n > 3n + 1 đúng với mọi số tự nhiên n2.

b) 2n+1 > 2n + 3

Với n = 2 ta có: 22+1 = 8 > 7 = 2.2 + 3 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k2, tức là: 2k+1 > 2k + 3 (2)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

2k+2 > 2(k + 1) + 3 = 2k + 5

Nhân hai vế của (2) với 2, ta được:

2k+2 > 4k + 6

2k+2 > 2k + 5 + 2k + 1

Vì k2 suy ra 2k + 1 > 0 nên 2k+2 > 2k + 5

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 2n+1 > 2n + 3 đúng với mọi số tự nhiên n2.

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho tổng

Dự đoán công thức tính tổng (ảnh 1)

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

a) 

S1=11.2=12S2=11.2+12.3=23S3=11.2+12.3+13.4=34

b) Từ câu a) ta dự đoán Sn=nn+1 (1), với mọi n*

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1=12 vế phải bằng 11+1=12.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức  đúng với n=k1, tức là:

 Sk=11.2+12.3++1k(k+1)=kk+1

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: 

Sk+1=k+1k+2

Ta có: 

Sk+1=Sk+1(k+1)(k+2) =k k+1+1(k+1)(k+2) =k(k+2)+1(k+1)(k+2) =k2+2k+1k+1k+2=k+12k+1k+2 =k+1k+2

Tức là đẳng thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n3)2.

Lời giải:

Kí hiệu đường chéo của đa giác n cạnh là Cn.

Ta chứng minh Cn=nn32  (1) với mọi  n*,n4.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác 4(4 − 3) : 2 = 2 nên (1) đúng với n = 4.

Vậy khẳng định đúng với n = 4.

Giả sử (1) đúng với  n=k4, tức là

 Ck=k(k3)2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Tức là 

Ck+1=k+1k+132

Xét đa giác lồi k + 1 cạnh 

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh (ảnh 1)

Đa giác k cạnh A1A2...Ak có kk32  đường chéo (giả thiết quy nạp).

Nối Ak + 1với các đỉnh A2,...,Ak−1, ta được thêm k − 2 đường chéo.

Ngoài ra A1Ak cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

kk32+k2+1=k23k2+k1=k23k+2k22=k2k22=k+1k22=k+1k+132

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh.

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài 2: Dãy số

Bài 3: Cấp số cộng

Bài 4: Cấp số nhân

Ôn tập chương 3

Bài 1: Phép biến hình

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

1 1552 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: