Nội dung bài viết

    Xem thêm

    n^3 + 3n^2 + 5n chia hết cho 3

    Với giải Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:

    1 1,795 29/10/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

    Video Giải Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

    Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với  n∈ℕ* ta có:

    a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;

    b) 4n + 15n − 1 chia hết cho 9;

    c) n3 + 11n chia hết cho 6.

    Lời giải:

    a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;

    Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

    Với n = 1 thì S1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 chia hết cho 3

    Giả sử với

     n=k≥1,Sk=k3+3k2+5k⋮3

    Ta phải chứng minh rằng Sk+1⋮3

    Thật vậy :

    Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 +5(k + 1)

    = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

    = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

    = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

    Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮3

    Mà 3k2+3k+3⋮3 nên Sk+1⋮3

    Vậy n3 + 3n2 + 5n  chia hết cho 3 với mọi n∈ℕ*.

    Cách khác: chứng minh trực tiếp

    Có: n3 + 3n2 + 5n

    = n.(n2 + 3n + 5)

    = n.(n2 + 3n + 2 + 3)

    = n.(n2 + 3n + 2) + 3n

    = n(n + 1)(n + 2) + 3n

    Mà nn+1n+2⋮3  (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) và 3n⋮3

    Suy ra

     n3+3n2+5n=nn+1n+2+3n⋮3

    Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi n∈ℕ* .

    b) 4n + 15n − 1 chia hết cho 9;

    Đặt Sn = 4n + 15n – 1

    Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1⋮9

    Giả sử với 

    n=k≥1,Sk=4k+15k−1⋮9

    Ta phải chứng minh Sk+1⋮9

    Thật vậy, ta có:

    Sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1

    = 4.4k + 15k + 15 – 1

    = 4.4k + 15k + 14

    = 4.4k + 60k – 45k + 18 – 4

    = (4.4k + 60k – 4) – 45k + 18

    = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18

    = 4Sk – 9(5k – 2)

    Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮9 nên 4Sk⋮9

    Mặt khác 95k – 2⋮9 nên Sk+1⋮9

    Vậy 4n+15n–1⋮9 với mọi n∈ℕ*.

    c) n3 + 11n chia hết cho 6

    Đặt Sn = n3 + 11n

    Với n = 1, S1 = 13 + 11.1 = 12 nên S1⋮6

    Giả sử với n=k≥1,Sk=k3+11k⋮6

    Ta phải chứng minh Sk+1⋮6

    Thật vậy, ta có:

    Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1)

    = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

    = (k3 + 11k) + (3k2 + 3k + 12)

    = (k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4)

    = Sk + 3(k2 + k + 4)

    Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮6

    Mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên 3k2+k+4⋮6

    Do đó Sk+1⋮6

    Vậy n3+11n ⋮6 với mọi n∈ℕ*.

    Cách khác: Chứng minh trực tiếp

    Có: n3 + 11n 

    = n3 – n + 12n

    = n(n2 – 1) + 12n

    = n(n – 1)(n + 1) + 12n

    Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.

    Suy ra nn–1n+1⋮6

    Lại có 12n⋮6

    Vậy n3+11n =nn–1n+1+12n⋮6  với mọi n∈ℕ*

    Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

    Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai...

    Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với n∈ℕ* thìn(n+1)2...

    Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: So sánh 3nvới 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5...

    Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: 2+5+8+...+3n−1=n(3n+1)2...

    Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta có các bất đẳng thức...

    Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp...

    Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)2...

    Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

    Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,795 29/10/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: