n^3 + 3n^2 + 5n chia hết cho 3
Với giải Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Video Giải Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số
Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với ta có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4n + 15n − 1 chia hết cho 9;
c) n3 + 11n chia hết cho 6.
Lời giải:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với
Ta phải chứng minh rằng
Thật vậy :
Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 +5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9
= Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì
Mà nên
Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi .
Cách khác: chứng minh trực tiếp
Có: n3 + 3n2 + 5n
= n.(n2 + 3n + 5)
= n.(n2 + 3n + 2 + 3)
= n.(n2 + 3n + 2) + 3n
= n(n + 1)(n + 2) + 3n
Mà (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) và
Suy ra
Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi .
b) 4n + 15n − 1 chia hết cho 9;
Đặt Sn = 4n + 15n – 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên
Giả sử với
Ta phải chứng minh
Thật vậy, ta có:
Sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1
= 4.4k + 15k + 15 – 1
= 4.4k + 15k + 14
= 4.4k + 60k – 45k + 18 – 4
= (4.4k + 60k – 4) – 45k + 18
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18
= 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì nên
Mặt khác nên
Vậy với mọi .
c) n3 + 11n chia hết cho 6
Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, S1 = 13 + 11.1 = 12 nên
Giả sử với
Ta phải chứng minh
Thật vậy, ta có:
Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11
= (k3 + 11k) + (3k2 + 3k + 12)
= (k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4)
= Sk + 3(k2 + k + 4)
Theo giả thiết quy nạp thì
Mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên
Do đó
Vậy với mọi .
Cách khác: Chứng minh trực tiếp
Có: n3 + 11n
= n3 – n + 12n
= n(n2 – 1) + 12n
= n(n – 1)(n + 1) + 12n
Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.
Suy ra
Lại có
Vậy với mọi
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai...
Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với thì...
Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: So sánh với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5...
Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: 2+5+8+...+3n−1=...
Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có các bất đẳng thức...
Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức tính tổng và chứng minh bằng quy nạp...
Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là ...
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11