$u_{2} = u_{1} . q = - 2. \frac{- 1}{2} = 1 u_{3} = u_{2} . q = 1. \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2} u_{4} = u_{3} . q = - \frac{1}{2} . \frac{- 1}{2} = \frac{1}{4} u_{5} = u_{4} . q = \frac{1}{4} . \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{8}$
b) Ta có: $u_{2}^{2} = 1^{2} = 1$

$u_{1} . u_{3} = - 2. \frac{- 1}{2} = 1 \Rightarrow u_{2}^{2} = u_{1} . u_{3}$

Lại có: $u_{3}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

$u_{2} . u_{4} = 1. \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow u_{3}^{2} = u_{2} . u_{4}$

Do đó $u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ ; $k \geq 2$ .

Hoạt động 4 trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng số các hạt thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1.

Lời giải:

Ta có:

u₁ = 1

u₂ = 2

u₃ = 2²

...

u₁₁ = 2¹⁰

Suy ra S = u₁ + u₂ +...+ u₁₀ = 1 + 2 + 2² +...+ 2¹⁰

Suy ra 2S = 2 + 2² +...+ 2¹⁰ + 2¹¹

Suy ra 2S – S = (2 + 2² +...+ 2¹⁰ + 2¹¹) − (1 + 2 + 2² +...+ 2¹⁰)

Suy ra S = 2¹¹ – 1 = 2047

Cách tổng quát:

Ta có:

S = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ + u₇ + u₈ + u₉ + u₁₀ + u₁₁

= u₁ + u₁.q + u₁.q² +⋯+ u₁.q⁹ + u₁.q¹⁰ (1)

Suy ra S.q = u₁.q + u₁.q² +⋯+ u₁.q⁹ + u₁.q¹⁰ + u₁.q¹¹ (2)

Lấy (1) trừ (2), ta được:

(1− q)S = u₁(1 − q¹¹)

$\Rightarrow S = \frac{u_{1} (1 - q^{11})}{1 - q}$

Vậy tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là

$S = \frac{1 (1 - 2^{11})}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$

Hoạt động 5 trang 102 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}}$ .

Lời giải:

Cách 1:

Cấp số nhân có u₁ = 1, $q = \frac{1}{3}$

S là tổng của (n + 1) số hạng đầu tiên.

$\Rightarrow S = \frac{u_{1} (1 - q^{n + 1})}{1 - q} = \frac{1. [1 - {(\frac{1}{3})}^{n + 1}]}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} [1 - {(\frac{1}{3})}^{n + 1}]$

Cách 2:

Ta có:

$S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} ... + \frac{1}{3^{n}} \Rightarrow 3 S = 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n - 1}} \Rightarrow 3 S = 3 + S - \frac{1}{3^{n}} \Rightarrow 2 S = 3 - \frac{1}{3^{n}} \Rightarrow S = \frac{1}{2} . (3 - \frac{1}{3^{n}}) = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$

Bài tập 1 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các dãy số $(\frac{3}{5} {.2}^{n})$ , $(\frac{5}{2^{n}})$ , $({(- \frac{1}{2})}^{n})$ là các cấp số nhân.

Lời giải:

+ Ta có: $u_{n} = \frac{3}{5} {.2}^{n}$

$u_{1} = \frac{3}{5} \cdot 2^{1} = \frac{6}{5}$

Với mọi $\forall n \in ℕ *$ , ta có: $u_{n + 1} = \frac{3}{5} \cdot 2^{n + 1}$

$\Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{3}{5} \cdot 2^{n + 1}}{\frac{3}{5} \cdot 2^{n}} = \frac{2^{n + 1}}{2^{n}} = \frac{2^{n} \cdot 2}{2^{n}} = 2$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_{1} = \frac{6}{5}$ và q = 2.

+ Ta có: $u_{n} = \frac{5}{2^{n}}$

$u_{1} = \frac{5}{2^{1}} = \frac{5}{2}$

Với mọi $\forall n \in ℕ *$ , ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{5}{2^{n + 1}}}{\frac{5}{2^{n}}} = \frac{5}{2^{n + 1}} : \frac{5}{2^{n}} = \frac{5}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^{n}}{5} = \frac{2^{n}}{2^{n + 1}} = \frac{2^{n}}{2^{n} \cdot 2} = \frac{1}{2} (k h ô n g đ ổ i)$

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_{1} = \frac{5}{2}$ và $q = \frac{1}{2}$

+ Ta có: $u_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n}$ suy ra $u_{1} = {(- \frac{1}{2})}^{1} = - \frac{1}{2}$

Với mọi $\forall n \in ℕ *$ , ta có:

Chứng minh các dãy số (ảnh 1)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_{1} = \frac{- 1}{2}$ và $q = \frac{- 1}{2}$

Bài tập 2 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q.

a) Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q.

b) Biết $q = \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tìm u₁.

c) Biết u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Lời giải:

a) Ta có: u₆ = u₁.q⁵

$\Rightarrow 486 = 2. q^{5} \Leftrightarrow q^{5} = 243 \Leftrightarrow q = 3$

b) Ta có: u₄ = u₁.q³

$\Rightarrow \frac{8}{21} = u_{1} \cdot {(\frac{2}{3})}^{3} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{9}{7}$

c) Ta có:

u_n = u₁.q^n-1

$\Rightarrow 192 = 3. {(- 2)}^{n - 1} \Leftrightarrow {(- 2)}^{n - 1} = 64 \Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

Bài tập 3 SGK trang 103 Toán lớp 11 Đại số: Tìm các số hạng của cấp số nhân (u_n) có năm số hạng, biết:

a) u₃ = 3 và u₅ = 27;

b) u₄ – u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50.

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{cases} u_{3} = 3 \\ u_{5} = 27 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{1} . q^{2} = 3 \\ u_{1} . q^{4} = 27 \end{cases} \Rightarrow q^{2} = 9 \Leftrightarrow q = \pm 3$

Với q = 3 ta có: $u_{1} = \frac{1}{3}$ . Ta có cấp số nhân:

$u_{1} = \frac{1}{3}$ , u₂ = 1, u₃ = 3, u₄ = 9, u₅ = 27

Với q = -3 ta có: $u_{1} = \frac{1}{3}$ . Ta có cấp số nhân:

$u_{1} = \frac{1}{3}$ , u₂ = -1, u₃ = 3, u₄ = -9, u₅ = 27

b) Ta có:

$\{\begin{cases} u_{4} - u_{2} = 25 \\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} q^{3} - u_{1} q = 25 \\ u_{1} q^{2} - u_{1} = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} q (q^{2} - 1) = 25 \\ u_{1} (q^{2} - 1) = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} q .50 = 25 \\ u_{1} (q^{2} - 1) = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} q = \frac{1}{2} \\ u_{1} (\frac{1}{4} - 1) = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} q = \frac{1}{2} \\ u_{1} = \frac{- 200}{3} \end{cases}$

Ta có năm số hạng của cấp số nhân:

$\frac{- 200}{3}; \frac{- 100}{3}; \frac{- 50}{3}; \frac{- 25}{3}; \frac{- 25}{6}$ .

Bài tập 4 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Giả sử có cấp số nhân: u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆

Theo giả thiết ta có:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31 (1)

u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 62 (2)

Nhân hai vế của (1) với q, ta được:

u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 31q

$\Leftrightarrow$ u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q (3)

Từ (2) và (3) suy ra 62 = 31.q

Suy ra q = 2

Ta có S₅ = 31

$\Leftrightarrow \frac{u_{1} (1 - 2^{5})}{1 - 2} = 31$

$\Leftrightarrow 31 u_{1} = 31 \Leftrightarrow u_{1} = 1$

Vậy ta có cấp số nhân là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Cách khác:

Ta có: $S_{5} = \frac{u_{1} . (1 - q^{5})}{1 - q}$

S₅’= u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q.( u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅)

= q. S₅

Mà S₅ = 31, S₅’= 62

Khi đó q = 2

$\Rightarrow u_{1} = \frac{S_{5} . (1 - q)}{1 - q^{5}} = 1$

Vậy ta có cấp số nhân là 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Bài tập 5 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

$N + 1, 4 % . N = 101, 4 % . N = \frac{101, 4}{100} \cdot N$

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân. Hiện tại: u₁ = N

Sau 1 năm: $u_{2} = \frac{101, 4}{100} \cdot N$

Sau 2 năm: $u_{3} = {(\frac{101, 4}{100})}^{2} \cdot N$ ; ...

Vậy nếu N = 1,8 triệu người

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:

Sau 5 năm số dân của tỉnh là

$u_{6} = {(\frac{101, 4}{100})}^{5} \cdot 1, 8 \approx 1, 9$ (triệu người)

Vậy sau 10 năm số dân của tỉnh là

$u_{11} = {(\frac{101, 4}{100})}^{10} \cdot 1, 8 \approx 2, 1$ (triệu người).

Bài tập 6 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (h.44). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục như trên để được hình vuông C₃,… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …,C_n,…

Gọi a_n là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân.

Lời giải:

Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4 (ảnh 1)

Xét dãy số (a_n), ta có a₁ = 4.

Gọi a_n là cạnh hình vuông C_n.

Ta tính cạnh hình vuông a_n+1như sau:

Xét tam giác BEF vuông tại B có:

$B E = \frac{3}{4} B A = \frac{3 a_{n}}{4}$ , $B F = \frac{1}{4} B C = \frac{a_{n}}{4}$

Do đó

$E F = \sqrt{B E^{2} + B F^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 a_{n}}{4})}^{2} + {(\frac{a_{n}}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4} a_{n}$

hay $a_{n + 1} = \frac{\sqrt{10}}{4} a_{n}$

Vậy dãy số (a_n) là cấp số nhân với số hạng đầu là a₁ = 4 và công bội $q = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Bài giảng Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Ôn tập chương 3

Bài 1: Phép biến hình

Bài 2: Phép tịnh tiến

Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Cấp số nhân

1 1,895 10/11/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3