Lý thuyết Cấp số nhân (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Cấp số nhân lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân.

1 4,410 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Bài giảng Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n \in ℕ *$ .

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2.

II. Số hạng tổng quát.

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁= – 1; q = – 2.

a) Tính u₆;

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: u₆ = u₁. q⁵ = –1. (– 2)⁵ = 32.

b) Ta có: u_n = u₁.q^{n - 1} nên 128 = – 1. (– 2)^{n - 1}

$\Leftrightarrow$ (– 2)^{n - 1} = – 128 = (– 2)⁷.

$\Leftrightarrow$ n – 1 = 7 nên n = 8.

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}; k \geq 2$

( hay $|u_{k}| = \sqrt{u_{k - 1} . u_{k + 1}}$ ).

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁= 3; u₂ = 9. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: u₂ = u₁.q nên 9 = 3q.

Suy ra, công bội q = 3.

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

$S_{8} = \frac{u_{1} (1 - q^{8})}{1 - q} = \frac{3. (1 - 3^{8})}{1 - 3} = 9840$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Lời giải:

Theo đầu bài ta có:

$\{\begin{matrix} u_{4} = 108 \\ u {}_{2} = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} u_{1} . q^{3} = 108 (1) \\ u {}_{1}. q = 3 (2) \end{matrix}$

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được:

$\frac{u_{1}^{} q^{3}}{u_{1} q} = \frac{108}{3}$ hay q² = 36.

Suy ra; q = 6 (vì q > 0)

Thay vào (2) ta được: u₁. 6 = 3 nên $u_{1} = \frac{1}{2}$ .

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là: $u_{n} = \frac{1}{2} . 6^{n}$ .

Bài 2. Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm bốn số đó?

Lời giải:

Khi chèn thêm 4 số nữa vào giữa các số 160 và 5, ta được cấp số nhân với:

u₁ = 160 và u₆ = 5.

Vì u₆ = u₁.q⁵ nên 5 = 160.q⁵.

Lý thuyết Cấp số nhân chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 3. Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn $\{\begin{matrix} u_{2} = 6 \\ S_{3} = 43 \end{matrix}$ . Tính u₁?

Lời giải:

Ta có:

Lý thuyết Cấp số nhân chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 4. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\{\begin{matrix} u_{4} + u_{6} = 120 \\ u_{3} + u_{5} = 60 \end{matrix}$ . Tính S₇?

Lời giải:

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: q = 2.

Thay q = 2 vào (1) ta được: u₁. 2³. (1 + 2²) = 120 nên u₁ = 3.

Khi đó:

$S_{7} = \frac{u_{1} (1 - q^{7})}{1 - q} = \frac{3. (1 - 2^{7})}{1 - 2} = 381$

Vậy S₇ = 381.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Câu 1: Tìm x biết : $1, x^{2}, 6 - x^{2}$ lập thành cấp số nhân.
A. $x = \pm 1$

B. $x = \pm \sqrt{2}$

C. $x = \pm 2$

D. $x = \pm \sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $1, x^{2}, 6 - x^{2}$ lập thành cấp số nhân

$\Leftrightarrow x^{4} = 6 - x^{2}$

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Câu 2: Các số $x + 6 y, 5 x + 2 y, 8 x + y$ lập thành cấp số cộng và các số $x + \frac{5}{3} y, y - 1, 2 x - 3 y$ lập thành cấp số nhân.
A. $(x; y) = (- 3; - 1); (\frac{3}{8}; \frac{1}{8})$

B. $(x; y) = (- 3; - 1); (\frac{1}{8}; \frac{1}{8})$

C. $(x; y) = (3; 1); (\frac{3}{8}; \frac{1}{8})$

D. $(x; y) = (- 3; - 1); (\frac{12}{8}; \frac{1}{8})$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có hệ: $\{\begin{cases} x + 6 y + 8 x + y = 2 (5 x + 2 y) \\ (x + \frac{5}{3} y) (2 x - 3 y) = {(y - 1)}^{2} \end{cases}$

giải hệ này ta tìm được $(x; y) = (- 3; - 1); (\frac{3}{8}; \frac{1}{8})$

Câu 3: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm $u_{1}$ biết: $\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11 \\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}$

A. $u_{1} = \frac{1}{11}, u_{1} = \frac{81}{11}$

B. $u_{1} = \frac{1}{12}, u_{1} = \frac{81}{12}$

C. $u_{1} = \frac{1}{13}, u_{1} = \frac{81}{13}$

D. $u_{1} = \frac{2}{11}, u_{1} = \frac{81}{11}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\{\begin{cases} u_{1} (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \\ u_{1} (1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} q (1 + q + q^{2}) = \frac{39}{11} \\ u_{1} (1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} + q} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow q = 3, q = \frac{1}{3}$
Với q = 3 thì $u_{1} (1 + 3^{4}) = \frac{82}{11}$

$\Leftrightarrow u_{1} .82 = \frac{82}{11}$

$\Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{11}$
Với $q = \frac{1}{3}$ thì $u_{1} [1 + {(\frac{1}{3})}^{4}] = \frac{82}{11}$

$\Leftrightarrow u_{1} . \frac{82}{81} = \frac{82}{11}$

$\Leftrightarrow u_{1} = \frac{81}{11}$

Câu 4: Dãy số $(u_{n})$ có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: $u_{n} = 2 n$

A. $q = 3$

B. $q = 2$

C. $q = 4$

D. $q = \emptyset$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{n + 1}{n}$ phụ thuộc vào n suy ra dãy $(u_{n})$ không phải là cấp số nhân.

Câu 5: Dãy số $(u_{n})$ có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết: $u_{n} = {4.3}^{n}$

A. $q = 3$

B. $q = 2$

C. $q = 4$

D. $q = \emptyset$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{{4.3}^{n + 1}}{{4.3}^{n}} = 3$ không phụ thuộc vào n suy ra dãy $(u_{n})$ là một cấp số nhân với công bội $q = 3$ .

Câu 6: Dãy số $(u_{n})$ có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết: $u_{n} = \frac{2}{n}$ .

A. $q = 3$

B. $q = \frac{1}{2}$

C. $q = 4$

D. $q = \emptyset$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2}{n + 1} : \frac{2}{n} = \frac{n}{n + 1}$ phụ thuộc vào n.

Suy ra dãy $(u_{n})$ không phải là cấp số nhân.

Câu 7: Cho dãy số $\frac{- 1}{\sqrt{2}}; \sqrt{b}; \sqrt{2}$ . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
A. $b = - 1$

B. $b = 1$

C. $b = 2$

D. Không có giá trị nào của b.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi $\{\begin{cases} b \geq 0 \\ b = - \frac{1}{\sqrt{2}} . \sqrt{2} = - 1 \end{cases} .$

Vậy không có giá trị nào của b.

Câu 8: Cho cấp số nhân: $\frac{- 1}{5}; a; \frac{- 1}{125}$ . Giá trị của a là:
A. $a = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} .$

B. $a = \pm \frac{1}{25} .$

C. $a = \pm \frac{1}{5} .$

D. $a = \pm 5.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $a^{2} = (- \frac{1}{5}) . (- \frac{1}{125}) = \frac{1}{625}$

$\Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{25}$

Câu 9: Cho dãy số: $-1; x; 0,64$ . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. Không có giá trị nào của x

B. $x = - 0, 008.$

C. $x = 0, 008.$

D. $x = 0, 004.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Dãy số: $-1; x; 0,64$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân

$\Leftrightarrow x^{2} = - 0, 64$ ( Phương trình vô nghiệm)

Câu 10: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:

A. $u_{n} = \frac{1}{4^{n}} - 1$

B. $u_{n} = \frac{1}{4^{n - 2}}$

C. $u_{n} = n^{2} + \frac{1}{4}$

D. $u_{n} = n^{2} - \frac{1}{4}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $u_{n} = \frac{1}{4^{n - 2}} \Rightarrow u_{n - 1} = \frac{1}{4^{n - 3}}$ .

Suy ra $\frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = \frac{1}{4}$ ( Không đổi).

Vậy $u_{n} = \frac{1}{4^{n - 2}}$ là một cấp số nhân có công bội $q = \frac{1}{4} .$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Hàm số liên tục

Lý thuyết Ôn tập chương 4

1 4,410 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3