Lý thuyết Cấp số nhân (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Cấp số nhân lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân.

1 3958 lượt xem
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Bài giảng Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

un + 1 = un. q với n  *.

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1, …., u1,…

Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 2.

II. Số hạng tổng quát.

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1.qn - 1 với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (un) với u1 = – 1; q = – 2.

a) Tính u6;

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: u6 = u1. q5 = –1. (– 2)5 = 32.

b) Ta có: un = u1.qn - 1 nên 128 = – 1. (– 2)n - 1

(– 2)n - 1 = – 128 = (– 2)7.

n – 1 = 7 nên n = 8.

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

uk2  =uk1.uk+1  ;  k2

( hay uk  =  uk1.uk+1).

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + …+ un .

Khi đó: Sn  =   u1(1qn)1  q.

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,….u1,….Khi đó, Sn = n.u1.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 3; u2 = 9. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: u2 = u1.q nên 9 = 3q.

Suy ra, công bội q = 3.

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

S8  =   u1(1q8)1  q=  3.(138)13  =  9840

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 và u2 = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Lời giải:

Theo đầu bài ta có:

u4  =108u  2=  3  u1.q3  =108    (1)u.1q  =  3    (2)  

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được:

u1q3u1q  =  1083   hay q2 = 36.

Suy ra; q = 6 (vì q > 0)

Thay vào (2) ta được: u1. 6 = 3 nên u1  =  12.

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là: un=  12.6n.

Bài 2. Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm bốn số đó?

Lời giải:

Khi chèn thêm 4 số nữa vào giữa các số 160 và 5, ta được cấp số nhân với:

u1 = 160 và u6 = 5.

Vì u6 = u1.q5 nên 5 = 160.q5.

Lý thuyết Cấp số nhân chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 3. Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u2=6S3  =43. Tính u1?

Lời giải: 

Ta có:

Lý thuyết Cấp số nhân chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Cấp số nhân chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4​ +​  u6  =120u3+  u5  =  60. Tính S7?

Lời giải:

Lý thuyết Cấp số nhân chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: q = 2.

Thay q = 2 vào (1) ta được: u1. 23. (1 + 22) = 120 nên u1 = 3.

Khi đó:

S7  =   u1(1q7)1  q=  3.(127)12  =381

Vậy S7 = 381.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Câu 1: Tìm  x biết : 1,x2,6x2  lập thành cấp số nhân.
A. x=±1

B. x=±2

C. x=±2

D. x=±3

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: 1,x2,6x2  lập thành cấp số nhân  

x4=6x2

x=±2

Câu 2: Các số x+6y, 5x+2y, 8x+y lập thành cấp số cộng và các số x+53y, y1, 2x3y  lập thành cấp số nhân.
A. (x;y)=3;1;38;18

B. (x;y)=3;1;18;18

C. (x;y)=3;1;38;18

D. (x;y)=3;1;128;18       

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có hệ:  x+6y+8x+y=2(5x+2y)(x+53y)(2x3y)=y-12

 giải hệ này ta tìm được (x;y)=3;1;38;18

Câu 3: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết: u1+u2+u3+u4+u5=11u1+u5=8211

A. u1=111,u1=8111

B. u1=112,u1=8112

C. u1=113,u1=8113

D.  u1=211,u1=8111

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

 u11+q+q2+q3+q4=11u1(1+q4)=8211

u1q(1+q+q2)=3911u1(1+q4)=8211

q4+1q3+q2+q=8239

q=3,q=13
Với q = 3 thì u1(1+34)=8211

u1.82=8211

u1=111 
Với q=13 thì u11+134=8211

u1.8281=8211

u1=8111 

Câu 4: Dãy số  (un) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: un=2n

A.  q=3

B.  q=2

C. q=4

D.  q=

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:  un+1un=n+1n phụ thuộc vào n suy ra dãy (un)  không phải là cấp số nhân.

Câu 5: Dãy số (un) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết:  un=4.3n 

A. q=3

B. q=2

C. q=4

D.  q=

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: un+1un=4.3n+14.3n=3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (un) là một cấp số nhân với công bội q=3 .


Câu 6: Dãy số  (un) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết: un=2n .

A. q=3

B. q=12

C. q=4

D. q=

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:  un+1un=2n+1:2n=nn+1 phụ thuộc vào n.

Suy ra dãy (un) không phải là cấp số nhân.

Câu 7: Cho dãy số 12; b; 2 . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
A.  b=1

B.  b=1

C.  b=2

D. Không có giá trị nào của b.

Đáp án: D

Giải thích:

Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi b0b=12.2=1.  

Vậy không có giá trị nào của b.

Câu 8: Cho cấp số nhân: 15; a; 1125 . Giá trị của a  là:
A. a=±15.

B. a=±125.

C. a=±15.

D.  a=±5.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:  a2=15.1125=1625

a=±125 

Câu 9: Cho dãy số: -1; x; 0,64. Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. Không có giá trị nào của x

B. x=0,008.

C. x=0,008.

D.  x=0,004.

Đáp án: A

Giải thích:

Dãy số: -1; x; 0,64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân

x2=0,64  ( Phương trình vô nghiệm)

Câu 10: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:

A. un=14n1

B. un=14n2

C. un=n2+14

D.  un=n214

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:  un=14n2un1=14n3.

Suy ra  unun1=14( Không đổi).

Vậy un=14n2 là một cấp số nhân có công bội q=14.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Hàm số liên tục 

Lý thuyết Ôn tập chương 4

1 3958 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: