Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm.

1 5,390 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lí 1

Hàm số y = xn  có đạo hàm tại mọi x và (xn)’ = n.xn-1.

2. Định lí 2

Hàm số y=x có đạo hàm tại mọi x dương và x'=12x.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x3;

b) Tính đạo hàm y=x tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x2;

b) Ta có: y'=12x

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: y'5=125.

II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

uv'=u'vu.v'v2v=v(x)0.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. 1v'=v'v2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x5 – 2x2 + 3x + 6;

b) y = (x2 + 1)(2x – 3);

c) y=7x2x1.

Lời giải

a) y = x5 – 2x2 + 3x

y’ = (x5 – 2x2 + 3x)’

    = (x5)’ – (2x2)’ + (3x)’

   = 5x4 – 4x + 3.

b) y = (x2 + x).2x

y’ = (x2 + x)’.2x + (x2 + 1)(2x)’

   = [(x2)’ + x’].2x + (x2 + 1).2

   = (2x + 1).2x + 2x2 + 2

   = 4x2 + 2x + 2x2 + 2

   = 6x2 + 2x + 2.

c)

y=7x2x1y=7x2'x32x7x2x32x'x32x2=14xx32x7x22x22x32x2=14x428x214x2+14xx32x2=28x2+14xx32x2

III. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là  thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: yx'=yu'.ux'.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y=x2+2x

Lời giải

Đặt u=x2+2x thì y=u

y'=u'2u=x2+2x'2x2+2x=2x+22x2+2x.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. y=x33x2+2x+1

2. y=x3+3x+1

3. y=x44x2+1

4. y=2x4+32x2+1

5. y=2x+1x3                                                      

6. y=x22x+2x+1

Lời giải

1. Ta có: y'=x3+3x+1'=3x26x+2

2. Ta có: y'=x3+3x+1'=3x2+3

3. Ta có: y'=x44x2+1'=x32x

4. Ta có: y'=2x4+32x2+1'=8x3+3x

5. Ta có:

 y'=(2x+1)'(x3)(x3)'(2x+1)(x3)2=7(x3)2

6. Ta có:

y'=(x22x+2)'(x+1)(x22x+2)(x+1)'(x+1)2=(2x2)(x+1)(x22x+2)(x+1)2=x2+2x4x+12

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=x7+x2

b) y=2x2+3x+1

Lời giải

a) Đặt u = (x7 + x)2

y'u=2x7+xx7+x'=2x7+x7x+1

b) Đặt u = 2x2 + 3x + 1

y'u=u'2u=2x2+3x+1'22x2+3x+1=4x+322x2+3x+1

Bài 3. Cho f(x)=2x3x2+32 và g(x)=x33+x22+103. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

Lời giải

Ta có:

f'(x)=2x3x2+32'=6x22xg'(x)=x33+x22+103'=x2+x

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

6x22x>x2+x5x23x>0x<0x>35

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ;035;+.

Bài 4. Cho f(x) = x5 + x3 – 2x – 3. Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x5 + x3 – 2x – 3)’ = 5x4 + 3x2 – 2.

Khi đó:

f’(1) = 5.14 + 3.12 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f’(-1) = 5.(-1)4 + 3.(-1)2 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f(0) = 05 + 03 – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = - 3.

f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12.

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Câu 1: Cho hàm số y=x2+xx2 đạo hàm của hàm số tại x=1 là:

A. y'1=4

B. y'1=5

C. y'1=3

D. y'1=2 

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có : 

y'=(x2+x)'.(x2)(x2+x).(x2)'(x2)2=(2x+1)(x2)(x2+x)(x2)2=x24x2(x2)2

y'(1)=  124.12(12)2=5

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số sau: 

y=x43x2+2x1

A. y'=4x36x+3

B. y'=4x46x+2

C. y'=4x33x+2 

D. y'=4x36x+2 

Đáp án: D

Giải thích:

y=x43x2+2x1y'=4x33.2x+2=4x36x+2

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y=12x2.

A.  y'=1212x2.

B.  y'=4x12x2.

C.  y'=2x12x2.

D.  y'=2x12x2.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có 

y'=12x2'212x2=4x212x2=2x12x2.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số fx=x4+4x33x2+2x+1 tại điểm x=1

A. f'1=4. 

B. f'1=14.

C. f'1=15.

D. f'1=24. 

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 

f'x=4x3+12x26x+2

Suy ra 

f'(1)=4(1)3+12(1)26(1)+2=24.

Câu 5: Cho hàm số fx xác định trên R bởi f(x)=x2. Giá trị f'(0) bằng

A. 0.

B. 2

C. 1

D. Không tồn tại

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có : 

f'(x)=  (x2)'2x2=2x2x2  =xx2

f'(x) không xác định tại x=0

Suy ra, hàm số không có đạo hàm tại .

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số sau fx=x23x+1 khi x>12x+2 khi x1 ta được:

A. f'(x)=2x3 khi x>12 khi x1

B. f'(x)=2x3 khi x>12 khi x<1

C. Không tồn tại đạo hàm           

D. f'x=2x3

Đáp án: B

Giải thích:

Với x>1 ta có: 

f(x)=x23x+1f'(x)=2x3

Với x<1 ta có :

f(x)=2x+2f'(x)=2 

Với x=1 ta có : 

limx1+fx=limx1+x23x+1=1f1=4

Hàm số không liên tục tại x=1, do đó không có đạo hàm tại x=1.

Vậy f'(x)=2x3 khi x>12 khi x<1

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y=(x32x2)2016 là:

A. y'=2016(x32x2)2015.                           

B. y'=2016(x32x2)2015(3x24x).

C. y'=2016(x32x2)(3x24x).               

D. y'=2016(x32x2)(3x22x).

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt u=x32x2 thì y=u2016,y'u=2016.u2015,

u'x=3x24x.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: y'x=y'u.u'x.

Vậy: y'=2016.(x32x2)2015.(3x24x).

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số sau: y=1+2x2+3x234x3

Trắc nghiệm Quy tắc tính đạo hàm có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đáp án: C

Giải thích:

y'=1+2x/2+3x234x3+1+2x2+3x2/34x3+1+2x2+3x234x3/

y'=22+3x234x3+1+2x6x34x3+1+2x2+3x212x2

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y=(x+1)x2+x+1.

A. 4x25x+32x2+x+1        

B. 4x2+5x32x2+x+1       

C. 4x2+5x+3x2+x+1           

D. 4x2+5x+32x2+x+1

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

y'=(x+1)'.x2+x+1+(x+1).x2+x+1'=x2+x+1+(x+1)2x+12x2+x+1=2.(x2+x+1)+(x+1).(2x+1)2x2+x+1=4x2+5x+32x2+x+1

Câu 10: Đạo hàm cấp một của hàm số y=1x35 là:

A. y'=51x34 

B. y'=15x21x34 

C. y'=31x34 

D. y'=5x21x34 

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :  

y'=51x341x3'=51x34.(3x2)=15x21x34.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác 

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai 

Lý thuyết Ôn tập chương 5

1 5,390 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: