Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm.

1 5,448 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lí 1

Hàm số y = xⁿ có đạo hàm tại mọi $x \in ℝ$ và (xⁿ)’ = n.x^n-1.

2. Định lí 2

Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x³;

b) Tính đạo hàm $y = \sqrt{x}$ tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x²;

b) Ta có: $y' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: $y' (5) = \frac{1}{2 \sqrt{5}} .$

II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u' v - u . v'}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0)$ .

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. ${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v'}{v^{2}} .$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x⁵ – 2x² + 3x + 6;

b) y = (x² + 1)(2x – 3);

c) $y = \frac{7 x^{2}}{x - 1}$ .

Lời giải

a) y = x⁵ – 2x² + 3x

$\Rightarrow$ y’ = (x⁵ – 2x² + 3x)’

= (x⁵)’ – (2x²)’ + (3x)’

= 5x⁴ – 4x + 3.

b) y = (x² + x).2x

$\Rightarrow$ y’ = (x² + x)’.2x + (x² + 1)(2x)’

= [(x²)’ + x’].2x + (x² + 1).2

= (2x + 1).2x + 2x² + 2

= 4x² + 2x + 2x² + 2

= 6x² + 2x + 2.

$y = \frac{7 x^{2}}{x - 1} \Rightarrow y = \frac{{(7 x^{2})}^{'} (x^{3} - 2 x) - (7 x^{2}) {(x^{3} - 2 x)}^{'}}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}} = \frac{14 x (x^{3} - 2 x) - 7 x^{2} (2 x^{2} - 2)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}} = \frac{14 x^{4} - 28 x^{2} - 14 x^{2} + 14 x}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}} = \frac{- 28 x^{2} + 14 x}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

III. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'}$ .

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: $y = \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Lời giải

Đặt $u = x^{2} + 2 x$ thì $y = \sqrt{u}$

$y' = \frac{u'}{2 \sqrt{u}} = \frac{(x^{2} + 2 x)'}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x}}$ $= \frac{2 x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x}}$ .

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$

2. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

3. $y = \frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 1$

4. $y = - 2 x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 1$

5. $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$

6. $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1}$

Lời giải

1. Ta có: $y' = {(- x^{3} + 3 x + 1)}^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 2$

2. Ta có: $y' = {(- x^{3} + 3 x + 1)}^{'} = - 3 x^{2} + 3$

3. Ta có: $y' = {(\frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 1)}^{'} = x^{3} - 2 x$

4. Ta có: $y' = {(- 2 x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 1)}^{'} = - 8 x^{3} + 3 x$

5. Ta có:

$y' = \frac{(2 x + 1)' (x - 3) - (x - 3)' (2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{- 7}{{(x - 3)}^{2}}$

6. Ta có:

$y' = \frac{(x^{2} - 2 x + 2)' (x + 1) - (x^{2} - 2 x + 2) (x + 1)'}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(2 x - 2) (x + 1) - (x^{2} - 2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 4}{{(x + 1)}^{2}}$

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y = {(x^{7} + x)}^{2}$

b) $y = \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Lời giải

a) Đặt u = (x⁷ + x)²

$\Rightarrow y' (u) = 2 (x^{7} + x) {(x^{7} + x)}^{'} = 2 (x^{7} + x) (7 x + 1)$

b) Đặt u = 2x² + 3x + 1

$\Rightarrow y' (u) = \frac{u'}{2 \sqrt{u}} = \frac{{(2 x^{2} + 3 x + 1)}^{'}}{2 \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 1}} = \frac{4 x + 3}{2 \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 1}}$

Bài 3. Cho $f (x) = 2 x^{3} - x^{2} + \sqrt{32}$ và $g (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 10 \sqrt{3}$ . Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

Lời giải

Ta có:

$f' (x) = {(2 x^{3} - x^{2} + \sqrt{32})}^{'} = 6 x^{2} - 2 x g' (x) = {(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 10 \sqrt{3})}^{'} = x^{2} + x$

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

$\Leftrightarrow 6 x^{2} - 2 x > x^{2} + x \Leftrightarrow 5 x^{2} - 3 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 0 \\ x > \frac{3}{5} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $(- \infty; 0) \cup (\frac{3}{5}; + \infty)$ .

Bài 4. Cho f(x) = x⁵ + x³ – 2x – 3. Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x⁵ + x³ – 2x – 3)’ = 5x⁴ + 3x² – 2.

Khi đó:

f’(1) = 5.1⁴ + 3.1² – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f’(-1) = 5.(-1)⁴ + 3.(-1)² – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f(0) = 0⁵ + 0³ – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = - 3.

f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12.

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + x}{x - 2}$ đạo hàm của hàm số tại $x = 1$ là:

A. $y^{'} (1) = - 4$

B. $y^{'} (1) = - 5$

C. $y^{'} (1) = - 3$

D. $y^{'} (1) = - 2$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :

$\begin{array}{l} y' = \frac{(x^{2} + x)' . (x - 2) - (x^{2} + x) . (x - 2)'}{{(x - 2)}^{2}} \\ = \frac{(2 x + 1) (x - 2) - (x^{2} + x)}{{(x - 2)}^{2}} \\ = \frac{x^{2} - 4 x - 2}{{(x - 2)}^{2}} \end{array}$

$\Rightarrow y' (1) = \frac{1^{2} - 4.1 - 2}{{(1 - 2)}^{2}} = - 5$

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$

A. $y^{'} = 4 x^{3} - 6 x + 3$

B. $y^{'} = 4 x^{4} - 6 x + 2$

C. $y^{'} = 4 x^{3} - 3 x + 2$

D. $y^{'} = 4 x^{3} - 6 x + 2$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l} y = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 \\ \Rightarrow y' = 4 x^{3} - 3.2 x + 2 \\ = 4 x^{3} - 6 x + 2 \end{array}$

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{1 - 2 x^{2}} .$

A. $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - 2 x^{2}}} .$

B. $y^{'} = \frac{- 4 x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} .$

C. $y^{'} = \frac{- 2 x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} .$

D. $y^{'} = \frac{2 x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

$y^{'} = \frac{{(1 - 2 x^{2})}^{'}}{2 \sqrt{1 - 2 x^{2}}} = \frac{- 4 x}{2 \sqrt{1 - 2 x^{2}}} = \frac{- 2 x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}$ .

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ tại điểm $x = - 1$ .

A. $f^{'} (- 1) = 4.$

B. $f^{'} (- 1) = 14.$

C. $f^{'} (- 1) = 15.$

D. $f^{'} (- 1) = 24.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$f^{'} (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x + 2$

Suy ra

$f' (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} - 6 (- 1) + 2 = 24$ .

Câu 5: Cho hàm số $f (x)$ xác định trên R bởi $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ . Giá trị $f' (0)$ bằng

A. 0.

B. 2

C. 1

D. Không tồn tại

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có :

$f' (x) = \frac{(x^{2})'}{2 \sqrt{x^{2}}} = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}}$

$\Rightarrow f' (x)$ không xác định tại $x = 0$

Suy ra, hàm số không có đạo hàm tại .

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số sau $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x + 1 k h i x > 1 \\ 2 x + 2 k h i x \leq 1 \end{cases}$ ta được:

A. $f' (x) = \{\begin{cases} 2 x - 3 k h i x > 1 \\ 2 k h i x \leq 1 \end{cases}$

B. $f' (x) = \{\begin{cases} 2 x - 3 k h i x > 1 \\ 2 k h i x < 1 \end{cases}$

C. Không tồn tại đạo hàm

D. $f^{'} (x) = 2 x - 3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Với $x > 1$ ta có:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - 3 x + 1 \\ \Rightarrow f' (x) = 2 x - 3 \end{array}$

Với $x < 1$ ta có :

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x + 2 \\ \Leftrightarrow f' (x) = 2 \end{array}$

Với $x = 1$ ta có :

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} - 3 x + 1) \\ = - 1 \neq f (1) = 4 \end{array}$

Hàm số không liên tục tại $x = 1$ , do đó không có đạo hàm tại $x = 1$ .

Vậy $f' (x) = \{\begin{cases} 2 x - 3 k h i x > 1 \\ 2 k h i x < 1 \end{cases}$

Câu 7. Đạo hàm của hàm số $y = {(x^{3} - 2 x^{2})}^{2}^{016}$ là:

A. $y^{'} = 2016 {(x^{3} - 2 x^{2})}^{2}^{015} .$

B. $y^{'} = 2016 {(x^{3} - 2 x^{2})}^{2015} (3 x^{2} - 4 x) .$

C. $y^{'} = 2016 (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 4 x) .$

D. $y^{'} = 2016 (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 2 x) .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt $u = x^{3} - 2 x^{2}$ thì $y = u^{2016},$ ${y^{'}}_{u} = 2016. u^{2015},$

${u^{'}}_{x} = 3 x^{2} - 4 x .$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: ${y^{'}}_{x} = {y^{'}}_{u} . {u^{'}}_{x}$ .

Vậy: $y^{'} =$ $2016. {(x^{3} - 2 x^{2})}^{2}^{015} . (3 x^{2} - 4 x) .$

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = (1 + 2 x) (2 + 3 x^{2}) (3 - 4 x^{3})$

Trắc nghiệm Quy tắc tính đạo hàm có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$y' = {(1 + 2 x)}^{/} (2 + 3 x^{2}) (3 - 4 x^{3}) + (1 + 2 x) {(2 + 3 x^{2})}^{/} (3 - 4 x^{3}) + (1 + 2 x) (2 + 3 x^{2}) {(3 - 4 x^{3})}^{/}$

$y' = 2 (2 + 3 x^{2}) (3 - 4 x^{3}) + (1 + 2 x) (6 x) (3 - 4 x^{3}) + (1 + 2 x) (2 + 3 x^{2}) (- 12 x^{2})$

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số $y = (x + 1) \sqrt{x^{2} + x + 1}$ .

A. $\frac{4 x^{2} - 5 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

B. $\frac{4 x^{2} + 5 x - 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

C. $\frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

D. $\frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l} y' = (x + 1)' . \sqrt{x^{2} + x + 1} + (x + 1) . (\sqrt{x^{2} + x + 1})' \\ = \sqrt{x^{2} + x + 1} + (x + 1) \frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} \\ = \frac{2. (x^{2} + x + 1) + (x + 1) . (2 x + 1)}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} \\ = \frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}} \end{array}$

Câu 10: Đạo hàm cấp một của hàm số $y = {(1 - x^{3})}^{5}$ là:

A. $y^{'} = 5 {(1 - x^{3})}^{4}$

B. $y^{'} = - 15 x^{2} {(1 - x^{3})}^{4}$

C. $y^{'} = - 3 {(1 - x^{3})}^{4}$

D. $y^{'} = - 5 x^{2} {(1 - x^{3})}^{4}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :

$\begin{array}{l} y^{'} = 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(1 - x^{3})}^{'} \\ = 5 {(1 - x^{3})}^{4} . (- 3 x^{2}) \\ = - 15 x^{2} {(1 - x^{3})}^{4} \end{array}$ .

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

Lý thuyết Ôn tập chương 5

1 5,448 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3