Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

- Đường thẳng d được gọi là vuông góc vơi mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

- Khi d vuông góc với (α) ta còn nói (α) vuông góc với d hoặc d và (α) vuông góc với nhau và kí hiệu là $d\perp \left(\alpha \right)$

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng

- Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

- Hệ quả. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minhh AB vuông góc với mặt phẳng (CDI).

Lời giải

Khi đó, $AB\perp \left(CDI\right)$ trong đó I là trung điểm của AB.

Thật vậy, vì ABC và ABD là các tam giác đều nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao : $CI\perp AB;DI\perp AB$

Suy ra: $AB\perp \left(CDI\right)$.

III. Tính chất.

- Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

- Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

- Tính chất 1.

a) Cho hai đường thẳng song song.Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc  với một mặt phẳng thì song song với nhau.

- Tính chất 2.

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông  góc với mặt phẳng này thì cũng vuông  góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

-  Tính chất 3.

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của  AB, BC và  SB. Chứng minh:

a) (IJK) // (SAC).

b) $BD\perp \left(SAC\right)$

c) $BD\perp \left(IJ\text{}K\right)$.

 Lời giải:

a) Tam giác ABC có IJ Là  đường trung bình của tam  giác  nên  IJ // AC   (1)

Tam giác  SAB có IK là đường trung bình của tam giác  nên IK// SA  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJK) // (SAC) .

b) Do  $BD\perp AC;BD\perp SA$

Mà BD, AC $\subset$ (SAC) nên  $BD\perp \left(SAC\right)$

c) Do $BD\perp \left(SAC\right)$ và (IJK) // ( SAC) nên $BD\perp \left(IJ\text{}K\right)$

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

1. Phép chiếu vuông góc.

Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

2. Định lí ba đường vuông góc.

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).

+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90⁰.

+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Khi d không vuông góc với (α) thì d cắt (α) tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác điểm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (α) và $\hspace{0.17em}\phi$ là góc giữa d và (α) thì $\widehat{AOH}=\phi$

- Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: $0^0\le \phi \le {90}^0$.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC).

Lời  giải:

Gọi H  là trung điểm của  BC.

Vì tam giác ABC vuông góc tại A có đường trung tuyến AH nên suy ra $AH=BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$

Ta có: 

$$\begin{gathered} SH\perp \left(ABC\right) \\ \Rightarrow SH=\sqrt{S{B}^2-B{H}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ \widehat{\left(SA,\left(ABC\right)\right)}=(SA;AH)=\widehat{SAH}=\alpha \\ \Rightarrow \tan \alpha =\frac{SH}{AH}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60° \end{gathered}$$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$ và tam giác ABC vuông  ở B , AH là đường cao của  tam  giác SAB. Chứng minh:

a) $BC\perp \left(SAB\right)$

b) $AH\perp \left(SBC\right)$

Lời giải:

a)  

Do $SA\perp \left(ABC\right)$ và BC ⊂ ( ABC)  nên $SA\perp BC$.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\\ AB;SA\subset \left(SAB\right)\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$

b)Vì $BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH$

Lại có: SB $\perp AH\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)$

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC  đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên ( ABC). Chứng minh :

a) $OA\perp BC$                                  

b) $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}.$

c) H là trực tâm tam giác ABC                                                                     

Lời giải :

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}OA\perp OB\\ OA\perp OC\end{array}\right.\\ \Rightarrow OA\perp \left(OBC\right)\Rightarrow OA\perp BC\end{array}$

b) Hạ $\left\{\begin{array}{l}OI\perp BC\\ OH\perp AI\end{array}\right..$

Ta có:

 $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}OI\perp BC\\ BC\perp OA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(OAI\right)\\ \Rightarrow BC\perp OH\Rightarrow OH\perp \left(ABC\right).\end{array}$

Xét tam giác  AOI vuông tại O có OH đường cao :

 $$\begin{gathered} \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{I}^2} \\ =\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2} \end{gathered}$$

c) Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OC\\ AB\perp OH\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(OCH\right)$$\Rightarrow AB\perp HC\left(1\right).$

Tương tự  $BC\perp OH\left(2\right).$

Từ (1) và (2) suy ra: H  là trực tâm  tam  giác  ABC 

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Chứng minh:

a) $BC\perp \left(SAH\right)$

b) $HK\perp \left(SBC\right)$.

c) SH ; AK và BC đồng quy.

a) Ta có

  $$\begin{gathered} BC\perp SA,BC\perp SH \\ \Rightarrow BC\perp \left(SAH\right) \end{gathered}$$

b)Ta có

$\begin{array}{l}CK\perp AB,CK\perp SA\\ \Rightarrow CK\perp \left(SAB\right)\Rightarrow CK\perp SB\end{array}$

Mặt khác có  $\mathrm{CH}\perp \mathrm{SB}\mathrm{nên}\mathrm{suy}\mathrm{ra}\mathrm{SB}\perp \left(\mathrm{CHK}\right)$ $\Rightarrow SB\perp HK$

Tương tự,  $SC\perp HK$ $\Rightarrow HK\perp \left(SBC\right)$

c)  Gọi M  là giao điểm của SH và  BC.

 Do $BC\perp \left(SAH\right)\Rightarrow BC\perp AM$ hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK .

Suy ra, SH, AK và BC đồng quy.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD  là hình vuông cạnh bằng a  và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Tính góc giữa SC  và ( ABCD) .

Lời giải :

Ta có:

$$\begin{gathered} SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC \\ \Rightarrow \widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=(SC\text{};CA)=\widehat{SCA}=\alpha \end{gathered}$$

+ Do ABCD là hình vuông cạnh a 

$$\begin{gathered} \Rightarrow AC=\sqrt{A{B}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}B{C}^2}=a\sqrt{2}, \\ SA=\frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \Rightarrow \tan \alpha =\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \alpha =30° \end{gathered}$$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(P\right)$ và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng $\left(P\right)$ thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(P\right)$ và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$ thì a vuông góc với b

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử xét hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ như hình vẽ có $\left\{\begin{array}{l}A\text{'}B\text{'}//\left(ABCD\right)\\ B\text{'}C\text{'}\perp A\text{'}B\text{'}\end{array}\right.$

 nhưng  $B\text{'}C\text{'}//\left(ABCD\right).$

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC$ và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ $SH\perp \left(ABC\right)$, $H\in \left(ABC\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC

B. H trùng với trực tâm tam giác ABC

C. H trùng với trung điểm của AC

D. H trùng với trung điểm của BC

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

 

Do $SA=SB=SC$ nên $HA=HB=HC$.

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Mà $\Delta ABC$ vuông tại B nên H là trung điểm của AC.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn $SA=SB=SC$. Tam giác AC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên $mp\left(ABC\right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. $\left(SBH\right)\cap \left(SCH\right)=SH$

B. $\left(SAH\right)\cap \left(SBH\right)=SH$

C. $AB\perp SH$

D. $\left(SAH\right)\cap \left(SCH\right)=SH$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$\left(SBH\right)\cap \left(SCH\right)=\left(SBC\right)$

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau $SA=SB=SC=SD$. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $HA=HB=HC=HD$

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.

D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau

$SA=SB=SC=SD$ và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD

Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Suy ra $HA=HB=HC=HD$.

Nên đáp án B sai.

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và $\left(BCD\right)$ là góc ACB.

B. Góc giữa AD và $\left(ABC\right)$ là góc ADB.

C. Góc giữa AC và $\left(ABD\right)$ là góc CAB.

D. Góc giữa CD và $\left(ABD\right)$ là góc CBD.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}AB\perp BC\\ AB\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(BCD\right)$

Do đó $\left(AC,\left(BCD\right)\right)=\widehat{ACB}$

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và $BC=a$. Trên đường thẳng qua A vuông góc với $\left(ABC\right)$ lấy điểm S sao cho $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và $\left(ABC\right)$.

A. $30°$.

B. $45°$.

C. $60°$.

D. $90°$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \left(SA,\left(ABC\right)\right)=90°$

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có cạnh $AB,BC,BD$ vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Góc giữa CD và $\left(ABD\right)$ là góc $\widehat{CBD}$

B. Góc giữa AC và $\left(BCD\right)$ là góc $\widehat{ACB}$

C. Góc giữa AD và $\left(ABC\right)$ là góc $\widehat{ADB}$

D. Góc giữa AC và $\left(ABD\right)$ là góc $\widehat{CBA}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Do $AB,BC,BD$ vuông góc với nhau từng đôi một nên $AB\perp \left(BCD\right)$, suy ra BC là hình chiếu của AC lên $\left(BCD\right)$.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền $BC=a$. Hình chiếu vuông góc của S lên $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm BC. Biết $SB=a$. Tính số đo của góc giữa SA và $\left(ABC\right)$.

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $75°$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

$AH=BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$

Ta có: $SH\perp \left(ABC\right)$

$\Rightarrow SH=\sqrt{S{B}^2-B{H}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\widehat{\left(SA,\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SAH}=\alpha$

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{SH}{AH}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow \alpha =60°$

Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Tính góc giữa SC và $\left(ABCD\right)$.

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $75°$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{SCA}=\alpha$

ABCD là hình vuông cạnh a

 $\Rightarrow AC=a\sqrt{2},SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \alpha =30°$

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và $\left(ABC\right).$   

A. ${60}^0$

B. ${75}^0$

C. ${45}^0$

D. ${30}^0$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ nên $SH\perp \left(ABC\right)$ 

 Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp $\left(ABC\right)$ 

$\Rightarrow \left(SA;\left(ABC\right)\right)=\left(SA;AH\right)=\widehat{SAH}$

Ta có: $SH\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SH\perp AH$ 

 Mà: $△ABC=△SBC\Rightarrow SH=AH$.

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H  $\Rightarrow \widehat{SAH}={45}^0$ 

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Vectơ trong không gian 

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc 

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc 

Lý thuyết Khoảng cách 

Lý thuyết Ôn tập chương 5