Lý thuyết Đạo hàm cấp hai (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai.

1 2,891 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x4 + 8x + 12. Tính y(5)

Lời giải

Ta có: y’ = 28x3 + 8, y” = 84x2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.

Vậy y(5) = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia Δt tại t thì v(t) có số gia tương ứng là Δv

Tỉ số ΔvΔt được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian Δt. Nếu tồn tại: v'(t)=limΔt0ΔvΔt=γt.

Ta gọi v't=γt là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: γt=f"t.

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do s=12gt2.

Lời giải

Ta có: s'=gt.

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: γ=s"t=s'(t)=g9,8m/s2.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: g9,8m/s2.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạp hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = sin5x.cos2x;

b) y=xx2+1;

c) y = (1 – x2)cosx;

d) y = y=2x+1x2+x2.

Lời giải

a) y’ = (sin5x.cos2x)’ = 5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x

y” = (5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x)’

= - 25sin5x.cos2x – 10cos5xsin2x – 10cos5xsin2x – 4sin5x.cos2x.

b)

y'=xx2+1'=x'x2+1+x.2x2x2+1=x2+1+x2x2+1=2x2+1x2+1y"=2x2+1x2+1'=4xx2+12x2+1.2x2x2+1x2+12=2x3+3xx2+13.

c) y’ = [(1 – x2)cosx]’ = -2x.cosx – (1- x2).sinx

y” = [-2x.cosx – (1- x2).sinx]’

= -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x2).cosx.

d)

y'=2x+1x2+x2'=2x2+x22x+12x+1x2+x22=2x2+2x44x24x1x2+x22=2x22x5x2+x22y"=2x22x5x2+x22'=4x2x2+x22x2+x24-2x22x52.x2+x22x+1x2+x24

Bài 2. Cho hàm số y = (3x – 4)6. Tính y”(2) và y(4)(2).

Lời giải

Ta có: y’ = 6(3x – 4)5.3 = 18(3x – 4)5

y"=18.5(3x4)4.3=270(3x4)4y"'=270.4.(3x4)3.3=3240(3x4)3y(4)=3240.3.(3x4)2.3=29160(3x4)2

Khi đó, ta có:

y"2=270(3.24)4=4320;y(4)2=29160(3.24)2=116640.

Vậy y”(2) = 4320 và y(4)(2) = 116640.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Câu 1: Cho hàm số y=3x21x. Giải bất phương trình y''>0.

A. x>1. 

B. x<1. 

C. x1. 

D. Vô nghiệm..

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

y'=3.(1x)(1).(3x2)(1x)2=1(1x)2y''=  [(1-x)2]'(1x)4=2(1x)(1x)4=2(1x)3

Bất phương trình y''>0

21x3>01x3>01x>  0x<1

Câu 2: Cho hàm số y=sin3x. Rút gọn biểu thức M=y''+9y.

A. M=sinx. 

B. M=6sinx.

C. M=6cosx.

D. M=6sinx.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 

y=sin3x  y'=3sin2x.cosx và 

y''=  3.2sinx.cosx.cosx +​3sin2x.(sinx)=6sinx.cos2x3sin3x

Khi đó

M=y''+9y=6sinx.cos2x3sin3x+9sin3x=6sinx.cos2x+  6sin3x=6sinx(cos2x+sin2x)=6sinx.

Câu 3: Hàm số y=xx2 có đạo hàm cấp hai là:

A. y''=0

B. y''=1x22

C. y''=4x23

D. y''=4x23

Đáp án: D

Giải thích:

y'=1.(x2)x.1(x2)2=2(x2)2y''=(2)'(x2)2(2).((x2)2)'(x2)4=4(x2)(x2)4=4(x2)3

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y=tanx bằng:

A. y''=2sinxcos3x 

B. y''=1cos2x 

C. y''=1cos2x 

D. y''=2sinxcos3x 

Đáp án: D

Giải thích:

y'=1cos2xy''=(cos2x)'cos4x=2cosx(cosx)'cos4x=2sinxcos3x

Câu 5: Hàm số y=x2+x+1x+1 có đạo hàm cấp 5 bằng:

A. y(5)=120(x+1)6

B. y(5)=120(x+1)6

C. y(5)=1(x+1)6

D. y(5)=1(x+1)6

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có 

y=x+1x+1y'=11(x+1)2

y''=02(x+1)(x+1)4=2(x+1)3y(3)=2.3(x+1)2(x+1)6=6(x+1)4y(4)=6.4(x+1)3(x+1)8=24(x+1)5y(5)=  24.  5.(x+1)4(x+1)10=120(x+1)6

Câu 6: Hàm số y=x2+13có đạo hàm cấp ba là:

A. y'''=12xx2+1

B. y'''=24xx2+1

C. y'''=24x5x2+3

D. y'''=12xx2+1

Đáp án: C

Giải thích:

Cách 1:

y'=3(x2+1)'x2+1'=6xx2+12

y''=6x2+12+6x.2(x2+1).2x=6x2+12+24x2(x2+1)y'''=12(x2+1).2x+24.2x.(x2+1)+24x2.2x=24x(x2+1)+48x(x2+1)+48x3=24x.[x2+1+2(x2+1)+2x2]=24x.(5x2+3)

Cách 2:

y=x2+13=x6+3x4+3x2+1y'=6x5+12x3+6x

y''=30x4+36x2+6y'''=120x3+72x=24x(5x2+3)

Câu 7: Cho hàm số fx=2x+55. Có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. f'''x=802x+53

B. f'''x=4802x+52

C. f'''x=4802x+52

D. f'''x=802x+53

Đáp án: B

Giải thích:

f'(x)=52x+542x+5)'=102x+54f''(x)=402x+53(2x+5)'=802x+53f'''(x)=2402x+52(2x+5)'=4802x+52

Câu 8. Cho hàm số y=cos2x. Tính giá trị của y'''π3

A. y'''π3=2.

B. y'''π3=23.

C. y'''π3=23.

D. y'''π3=2.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 

y'=2sinxcosx=sin2xy''=2cos2xy'''=4sin2x

y'''(π3)=23.

Câu 9: Cho hàm số y=x212.

Tính giá trị biểu thức M=y(4)+2xy'''4y''

A. M=0.

B. M=20.

C. M=40.

D. M=100.

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số viết lại: y=x42x2+1

Ta có

y'=4x34xy''=12x24y'''=24xy(4)=24

Khi đó

M=y(4)+2xy'''4y''=24+2x.24x4(12x24)=40.

Câu 10: Hàm số y=2x+5 có đạo hàm cấp hai bằng

A. y''=12x+52x+5

B. y''=12x+5

C. y''=12x+52x+5

D. y''=12x+5

Đáp án: C

Giải thích:

y'=(2x+5)'22x+5=12x+5=2x+5-12y''=12.2x+5-12-1(2x+5)'=122x+5-32.2=1(2x+5)32=1(2x+5)2x+5

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4 

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác 

Lý thuyết Ôn tập chương 5 

1 2,891 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: