Lý thuyết Đạo hàm cấp hai (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f⁽³⁾(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f^(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y⁽ⁿ⁾ hoặc f⁽ⁿ⁾(x).

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x⁴ + 8x + 12. Tính y⁽⁵⁾

Lời giải

Ta có: y’ = 28x³ + 8, y” = 84x², y”’ = 168x, y⁽⁴⁾ = 168, y⁽⁵⁾ = 0.

Vậy y⁽⁵⁾ = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $\mathrm{\Delta t}$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $\mathrm{\Delta v}$

Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $\mathrm{\Delta t}$. Nếu tồn tại: $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$.

Ta gọi $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $\boxed{\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{f}"\left(\mathrm{t}\right)}$.

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $\mathrm{s}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.$

Lời giải

Ta có: $\mathrm{s}\text{'}=\mathrm{gt}.$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $\mathrm{\gamma }=\mathrm{s}"\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{s}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{g}\approx 9,8\left(\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\right)$.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: $\mathrm{g}\approx 9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạp hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = sin5x.cos2x;

b) $\mathrm{y}=\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}$;

c) y = (1 – x²)cosx;

d) y = $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}$.

Lời giải

a) y’ = (sin5x.cos2x)’ = 5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x

$\Rightarrow$y” = (5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x)’

= - 25sin5x.cos2x – 10cos5xsin2x – 10cos5xsin2x – 4sin5x.cos2x.

b)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^{\text{'}} \\ =\mathrm{x}\text{'}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\mathrm{x}.\frac{2\mathrm{x}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ =\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ \Rightarrow \mathrm{y}"={\left(\frac{2{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}\right)}^{\text{'}}= \\ \frac{4\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}-\left(2{\mathrm{x}}^2+1\right).\frac{2\mathrm{x}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^2} \\ =\frac{2{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^3}. \end{gathered}$$

c) y’ = [(1 – x²)cosx]’ = -2x.cosx – (1- x²).sinx

$\Rightarrow$y” = [-2x.cosx – (1- x²).sinx]’

= -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x²).cosx.

d)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\right)}^{\text{'}} \\ =\frac{2\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)-\left(2\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ =\frac{2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-4-4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ =\frac{-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ \mathrm{y}"={\left[\frac{-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2}\right]}^{\text{'}} \\ =\frac{\left(-4\mathrm{x}-2\right){\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^4}- \\ \frac{\left(-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5\right)2.\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^4} \end{gathered}$$

Bài 2. Cho hàm số y = (3x – 4)⁶. Tính y”(2) và y⁽⁴⁾(2).

Lời giải

Ta có: y’ = 6(3x – 4)⁵.3 = 18(3x – 4)⁵

^{$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}"=18.5{(3\mathrm{x}-4)}^4.3=270{(3\mathrm{x}-4)}^4 \\ \Rightarrow \mathrm{y}"\text{'}=270.4.{(3\mathrm{x}-4)}^3.3=3240{(3\mathrm{x}-4)}^3 \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^{\left(4\right)}=3240.3.{(3\mathrm{x}-4)}^2.3=29160{(3\mathrm{x}-4)}^2 \end{gathered}$$}

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{y}"\left(2\right)=270{(3.2-4)}^4=4320; \\ {\mathrm{y}}^{\left(4\right)}\left(2\right)=29160{(3.2-4)}^2=116640. \end{gathered}$$

Vậy y”(2) = 4320 và y⁽⁴⁾(2) = 116640.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Câu 1: Cho hàm số $y=\frac{3x-2}{1-x}$. Giải bất phương trình $y\text{'}\text{'}>0$.

A. $x>1.$ 

B. $x<1.$ 

C. $x\ne 1.$ 

D. Vô nghiệm..

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{3.(1-x)-(-1).(3x-2)}{{(1-x)}^2}\\ =\frac{1}{{(1-x)}^2}\\ \Rightarrow y\text{'}\text{'}=-\frac{{\text{[(1-x)}}^2\text{]}\text{'}}{{(1-x)}^4}\\ =-\frac{-2(1-x)}{{(1-x)}^4}\\ =\frac{2}{{(1-x)}^3}\end{array}$

Bất phương trình $y^{\text{'}\text{'}}>0$

$\begin{array}{l}\iff \frac{2}{{\left(1-x\right)}^3}>0\iff {\left(1-x\right)}^3>0\\ \iff 1-x>0\iff x<1\end{array}$

Câu 2: Cho hàm số $y={\sin }^{3}x$. Rút gọn biểu thức $M=y\text{'}\text{'}+9y$.

A. $M=\sin x.$ 

B. $M=6\sin x.$

C. $M=6\cos x.$

D. $M=-6\sin x.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 

$y={\sin }^{3}x\Rightarrow y^{\text{'}}=3{\sin }^{2}x.\cos x$ và 

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}=3.2\sin x.c{\text{osx.cosx +3sin}}^{2}x.(-\sin x) \\ =6sinx.co{s}^{2}x-3si{n}^{3}x \end{gathered}$$

Khi đó

$\begin{array}{l}M=y\text{'}\text{'}+9y\\ =6sinx.co{s}^{2}x-3si{n}^{3}x+9si{n}^{3}x\\ =6sinx.co{s}^{2}x+6si{n}^{3}x\\ =6sinx(c{\text{os}}^{2}x+{\sin }^{2}x)\\ =6sinx.\end{array}$

Câu 3: Hàm số $y=\frac{x}{x-2}$ có đạo hàm cấp hai là:

A. $y^{\text{'}\text{'}}=0$

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}$

C. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{4}{{\left(x-2\right)}^3}$

D. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{4}{{\left(x-2\right)}^3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{1.(x-2)-x.1}{{(x-2)}^2}=\frac{-2}{{(x-2)}^2}\\ y\text{'}\text{'}=\frac{(-2)\text{'}{(x-2)}^2-(-2).\left({(x-2)}^2\right)\text{'}}{{(x-2)}^4}\\ =\frac{4(x-2)}{{(x-2)}^4}=\frac{4}{{(x-2)}^3}\end{array}$

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\tan x$ bằng:

A. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$ 

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ 

C. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ 

D. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{1}{co{s}^{2}x}\\ y\text{'}\text{'}=\frac{-\left(co{s}^{2}x\right)\text{'}}{co{s}^{4}x}\\ =\frac{-2cosx\left(cosx\right)\text{'}}{co{s}^{4}x}\\ =\frac{2sinx}{co{s}^{3}x}\end{array}$

Câu 5: Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đạo hàm cấp 5 bằng:

A. $y^{\left(5\right)}=-\frac{120}{{(x+1)}^6}$

B. $y^{\left(5\right)}=\frac{120}{{(x+1)}^6}$

C. $y^{\left(5\right)}=\frac{1}{{(x+1)}^6}$

D. $y^{\left(5\right)}=-\frac{1}{{(x+1)}^6}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có 

$y=x+\frac{1}{x+1}\Rightarrow y\text{'}=1-\frac{1}{{(x+1)}^2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow y\text{'}\text{'}=0-\frac{-2(x+\text{}1)}{{(x+\text{}1)}^4}=\frac{2}{{(x+1)}^3}\\ \Rightarrow y^{\left(3\right)}=2.\frac{-3{(x+\text{}1)}^2}{{(x+\text{}1)}^6}=\frac{-6}{{(x+1)}^4}\\ \Rightarrow y^{\left(4\right)}=-6.\frac{-4{(x\text{}+1)}^3}{{(x+\text{}1)}^8}=\frac{24}{{(x+1)}^5}\\ \Rightarrow y^{\left(5\right)}=24.\frac{-5.{(x+1)}^4}{{(x+1)}^{10}}=\frac{-120}{{(x+1)}^6}\end{array}$

Câu 6: Hàm số $y={\left(x^2+1\right)}^3$có đạo hàm cấp ba là:

A. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=12x\left(x^2+1\right)$

B. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=24x\left(x^2+1\right)$

C. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=24x\left(5x^2+3\right)$

D. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=-12x\left(x^2+1\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Cách 1:

$\begin{array}{l}y\text{'}=3(x^2+1)\text{'}\left(x^2+1\right)\text{'}\\ =6x{\left(x^2+1\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}y\text{'}\text{'}=6{\left(x^2+1\right)}^2+6x.2(x^2+1).2x\\ =6{\left(x^2+1\right)}^2+24x^2(x^2+1)\\ y\text{'}\text{'}\text{'}=12(x^2+1).2x+24.2x.(x^2+1)+24x^2.2x\\ =24x(x^2+1)+48x(x^2+1)+48x^3\\ =24x.\text{[}{x}^2+1+2(x^2+1)+2x^2\text{]}\\ =24x.(5x^2+3)\end{array}$

Cách 2:

$\begin{array}{l}y={\left(x^2+1\right)}^3\\ =x^6+3x^4+3x^2+1\\ y\text{'}=6x^5+12x^3+6x\end{array}$

$\begin{array}{l}y\text{'}\text{'}=30x^4+36x^2+6\\ y\text{'}\text{'}\text{'}=120x^3+72x\\ =24x(5x^2+3)\end{array}$

Câu 7: Cho hàm số $f\left(x\right)={\left(2x+5\right)}^5$. Có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=80{\left(2x+5\right)}^3$

B. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=480{\left(2x+5\right)}^2$

C. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-480{\left(2x+5\right)}^2$

D. $f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-80{\left(2x+5\right)}^3$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=5{\left(2x+5\right)}^{4}2x+5)\text{'}\\ =10{\left(2x+5\right)}^4\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=40{\left(2x+5\right)}^3(2x+5)\text{'}\\ =80{\left(2x+5\right)}^3\\ f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=240{\left(2x+5\right)}^2(2x+5)\text{'}\\ =480{\left(2x+5\right)}^2\end{array}$

Câu 8. Cho hàm số $y={\cos }^{2}x$. Tính giá trị của $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)$

A. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=2.$

B. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\sqrt{3}.$

C. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-2\sqrt{3}.$

D. $y^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-2.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 

$\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=-2\sin x\cos x\\ =-\sin 2x\\ \Rightarrow y\text{'}\text{'}=-2cos2x\\ \Rightarrow y\text{'}\text{'}\text{'}=4sin2x\end{array}$

$\Rightarrow y\text{'}\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\sqrt{3}.$

Câu 9: Cho hàm số $y={\left(x^2-1\right)}^2.$

Tính giá trị biểu thức $M=y^{\left(4\right)}+2xy\text{'}\text{'}\text{'}-4y\text{'}\text{'}$

A. $M=0.$

B. $M=20.$

C. $M=40.$

D. $M=100.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số viết lại: $y=x^4-2x^2+1$

Ta có

$\begin{array}{l}y\text{'}=4x^3-4x\\ y\text{'}\text{'}=12x^2-4\\ y\text{'}\text{'}\text{'}=24x\\ y^{\left(4\right)}=24\end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l}M=y^{\left(4\right)}+2xy\text{'}\text{'}\text{'}-4y\text{'}\text{'}\\ =24+2x.24x-4(12x^2-4)=40.\end{array}$

Câu 10: Hàm số $y=\sqrt{2x+5}$ có đạo hàm cấp hai bằng

A. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{\left(2x+5\right)\sqrt{2x+5}}$

B. $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$

C. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{1}{\left(2x+5\right)\sqrt{2x+5}}$

D. $y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(2x+5)\text{'}}{2\sqrt{2x+5}}\\ =\frac{1}{\sqrt{2x+5}}={\left(2x+5\right)}^{\frac{-1}{2}}\\ y\text{'}\text{'}=-\frac{1}{2}.{\left(2x+5\right)}^{\frac{-1}{2}-1}(2x+5)\text{'}\\ =-\frac{1}{2}{\left(2x+5\right)}^{\frac{-3}{2}}.2\\ =-\frac{1}{{(2x+5)}^{\frac{3}{2}}}\\ =-\frac{1}{(2x+5)\sqrt{2x+5}}\end{array}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4 

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác 

Lý thuyết Ôn tập chương 5