Lý thuyết Đạo hàm cấp hai (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai.

1 2,949 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f⁽³⁾(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f^(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y⁽ⁿ⁾ hoặc f⁽ⁿ⁾(x).

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x⁴ + 8x + 12. Tính y⁽⁵⁾

Lời giải

Ta có: y’ = 28x³ + 8, y” = 84x², y”’ = 168x, y⁽⁴⁾ = 168, y⁽⁵⁾ = 0.

Vậy y⁽⁵⁾ = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $Δt$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $Δv$

Tỉ số $\frac{Δv}{Δt}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $Δt$ . Nếu tồn tại: $v' (t) = \lim_{Δt \to 0} \frac{Δv}{Δt} = γ (t)$ .

Ta gọi $v' (t) = γ (t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $γ (t) = f " (t)$ .

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $s = \frac{1}{2} {gt}^{2} .$

Lời giải

Ta có: $s' = gt .$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $γ = s " (t) = s' (t) = g \approx 9, 8 (m / s^{2})$ .

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: $g \approx 9, 8 m / s^{2} .$

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạp hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = sin5x.cos2x;

b) $y = x \sqrt{x^{2} + 1}$ ;

c) y = (1 – x²)cosx;

d) y = $y = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Lời giải

a) y’ = (sin5x.cos2x)’ = 5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x

$\Rightarrow$ y” = (5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x)’

= - 25sin5x.cos2x – 10cos5xsin2x – 10cos5xsin2x – 4sin5x.cos2x.

$y' = {(x \sqrt{x^{2} + 1})}^{'} = x' \sqrt{x^{2} + 1} + x . \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} = \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y " = {(\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}})}^{'} = \frac{4 x \sqrt{x^{2} + 1} - (2 x^{2} + 1) . \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{{(\sqrt{x^{2} + 1})}^{2}} = \frac{2 x^{3} + 3 x}{{(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3}} .$

c) y’ = [(1 – x²)cosx]’ = -2x.cosx – (1- x²).sinx

$\Rightarrow$ y” = [-2x.cosx – (1- x²).sinx]’

= -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x²).cosx.

$y' = {(\frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2})}^{'} = \frac{2 (x^{2} + x - 2) - (2 x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x - 2)}^{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 x - 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1}{{(x^{2} + x - 2)}^{2}} = \frac{- 2 x^{2} - 2 x - 5}{{(x^{2} + x - 2)}^{2}} y " = {[\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 5}{{(x^{2} + x - 2)}^{2}}]}^{'} = \frac{(- 4 x - 2) {(x^{2} + x - 2)}^{2}}{{(x^{2} + x - 2)}^{4}} - \frac{(- 2 x^{2} - 2 x - 5) 2 . (x^{2} + x - 2) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x - 2)}^{4}}$

Bài 2. Cho hàm số y = (3x – 4)⁶. Tính y”(2) và y⁽⁴⁾(2).

Lời giải

Ta có: y’ = 6(3x – 4)⁵.3 = 18(3x – 4)⁵

^{$\Rightarrow y " = 18 .5 {(3 x - 4)}^{4} . 3 = 270 {(3 x - 4)}^{4} \Rightarrow y "' = 270 .4. {(3 x - 4)}^{3} . 3 = 3240 {(3 x - 4)}^{3} \Rightarrow y^{(4)} = 3240 .3. {(3 x - 4)}^{2} . 3 = 29160 {(3 x - 4)}^{2}$}

Khi đó, ta có:

$y " (2) = 270 {(3 .2 - 4)}^{4} = 4320; y^{(4)} (2) = 29160 {(3 .2 - 4)}^{2} = 116640 .$

Vậy y”(2) = 4320 và y⁽⁴⁾(2) = 116640.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{3 x - 2}{1 - x}$ . Giải bất phương trình $y'' > 0$ .

A. $x > 1.$

B. $x < 1.$

C. $x \neq 1.$

D. Vô nghiệm..

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l} y' = \frac{3. (1 - x) - (- 1) . (3 x - 2)}{{(1 - x)}^{2}} \\ = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \\ \Rightarrow y'' = - \frac{{[(1-x)}^{2}]'}{{(1 - x)}^{4}} \\ = - \frac{- 2 (1 - x)}{{(1 - x)}^{4}} \\ = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}} \end{array}$

Bất phương trình $y^{''} > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{2}{{(1 - x)}^{3}} > 0 \Leftrightarrow {(1 - x)}^{3} > 0 \\ \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1 \end{array}$

Câu 2: Cho hàm số $y = \sin^{3} x$ . Rút gọn biểu thức $M = y'' + 9 y$ .

A. $M = \sin x .$

B. $M = 6 \sin x .$

C. $M = 6 \cos x .$

D. $M = - 6 \sin x .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

$y = \sin^{3} x \Rightarrow y^{'} = 3 \sin^{2} x . \cos x$ và

$y'' = 3.2 \sin x . c {osx.cosx +3sin}^{2} x . (- \sin x) = 6 s i n x . c o s^{2} x - 3 s i n^{3} x$

Khi đó

$\begin{array}{l} M = y'' + 9 y \\ = 6 s i n x . c o s^{2} x - 3 s i n^{3} x + 9 s i n^{3} x \\ = 6 s i n x . c o s^{2} x + 6 s i n^{3} x \\ = 6 s i n x (c {os}^{2} x + \sin^{2} x) \\ = 6 s i n x . \end{array}$

Câu 3: Hàm số $y = \frac{x}{x - 2}$ có đạo hàm cấp hai là:

A. $y^{''} = 0$

B. $y^{''} = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

C. $y^{''} = - \frac{4}{{(x - 2)}^{3}}$

D. $y^{''} = \frac{4}{{(x - 2)}^{3}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l} y' = \frac{1. (x - 2) - x .1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}} \\ y'' = \frac{(- 2)' {(x - 2)}^{2} - (- 2) . ({(x - 2)}^{2})'}{{(x - 2)}^{4}} \\ = \frac{4 (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}} = \frac{4}{{(x - 2)}^{3}} \end{array}$

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \tan x$ bằng:

A. $y^{''} = - \frac{2 \sin x}{\cos^{3} x}$

B. $y^{''} = \frac{1}{\cos^{2} x}$

C. $y^{''} = - \frac{1}{\cos^{2} x}$

D. $y^{''} = \frac{2 \sin x}{\cos^{3} x}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l} y' = \frac{1}{c o s^{2} x} \\ y'' = \frac{- (c o s^{2} x)'}{c o s^{4} x} \\ = \frac{- 2 c o s x (c o s x)'}{c o s^{4} x} \\ = \frac{2 s i n x}{c o s^{3} x} \end{array}$

Câu 5: Hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ có đạo hàm cấp 5 bằng:

A. $y^{(5)} = - \frac{120}{{(x + 1)}^{6}}$

B. $y^{(5)} = \frac{120}{{(x + 1)}^{6}}$

C. $y^{(5)} = \frac{1}{{(x + 1)}^{6}}$

D. $y^{(5)} = - \frac{1}{{(x + 1)}^{6}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

$y = x + \frac{1}{x + 1} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y'' = 0 - \frac{- 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}} = \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} \\ \Rightarrow y^{(3)} = 2. \frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}} = \frac{- 6}{{(x + 1)}^{4}} \\ \Rightarrow y^{(4)} = - 6. \frac{- 4 {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{8}} = \frac{24}{{(x + 1)}^{5}} \\ \Rightarrow y^{(5)} = 24. \frac{- 5. {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{10}} = \frac{- 120}{{(x + 1)}^{6}} \end{array}$

Câu 6: Hàm số $y = {(x^{2} + 1)}^{3}$ có đạo hàm cấp ba là:

A. $y^{'''} = 12 x (x^{2} + 1)$

B. $y^{'''} = 24 x (x^{2} + 1)$

C. $y^{'''} = 24 x (5 x^{2} + 3)$

D. $y^{'''} = - 12 x (x^{2} + 1)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Cách 1:

$\begin{array}{l} y' = 3 (x^{2} + 1)' (x^{2} + 1)' \\ = 6 x {(x^{2} + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} y'' = 6 {(x^{2} + 1)}^{2} + 6 x .2 (x^{2} + 1) .2 x \\ = 6 {(x^{2} + 1)}^{2} + 24 x^{2} (x^{2} + 1) \\ y''' = 12 (x^{2} + 1) .2 x + 24.2 x . (x^{2} + 1) + 24 x^{2} .2 x \\ = 24 x (x^{2} + 1) + 48 x (x^{2} + 1) + 48 x^{3} \\ = 24 x . [x^{2} + 1 + 2 (x^{2} + 1) + 2 x^{2}] \\ = 24 x . (5 x^{2} + 3) \end{array}$

Cách 2:

$\begin{array}{l} y = {(x^{2} + 1)}^{3} \\ = x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \\ y' = 6 x^{5} + 12 x^{3} + 6 x \end{array}$

$\begin{array}{l} y'' = 30 x^{4} + 36 x^{2} + 6 \\ y''' = 120 x^{3} + 72 x \\ = 24 x (5 x^{2} + 3) \end{array}$

Câu 7: Cho hàm số $f (x) = {(2 x + 5)}^{5}$ . Có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. $f^{'''} (x) = 80 {(2 x + 5)}^{3}$

B. $f^{'''} (x) = 480 {(2 x + 5)}^{2}$

C. $f^{'''} (x) = - 480 {(2 x + 5)}^{2}$

D. $f^{'''} (x) = - 80 {(2 x + 5)}^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l} f' (x) = 5 {(2 x + 5)}^{4} 2 x + 5)' \\ = 10 {(2 x + 5)}^{4} \\ f'' (x) = 40 {(2 x + 5)}^{3} (2 x + 5)' \\ = 80 {(2 x + 5)}^{3} \\ f''' (x) = 240 {(2 x + 5)}^{2} (2 x + 5)' \\ = 480 {(2 x + 5)}^{2} \end{array}$

Câu 8. Cho hàm số $y = \cos^{2} x$ . Tính giá trị của $y^{'''} (\frac{π}{3})$

A. $y^{'''} (\frac{π}{3}) = 2.$

B. $y^{'''} (\frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3} .$

C. $y^{'''} (\frac{π}{3}) = - 2 \sqrt{3} .$

D. $y^{'''} (\frac{π}{3}) = - 2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l} y^{'} = - 2 \sin x \cos x \\ = - \sin 2 x \\ \Rightarrow y'' = - 2 c o s 2 x \\ \Rightarrow y''' = 4 s i n 2 x \end{array}$

$\Rightarrow y''' (\frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3} .$

Câu 9: Cho hàm số $y = {(x^{2} - 1)}^{2} .$

Tính giá trị biểu thức $M = y^{(4)} + 2 x y''' - 4 y''$

A. $M = 0.$

B. $M = 20.$

C. $M = 40.$

D. $M = 100.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số viết lại: $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Ta có

$\begin{array}{l} y' = 4 x^{3} - 4 x \\ y'' = 12 x^{2} - 4 \\ y''' = 24 x \\ y^{(4)} = 24 \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} M = y^{(4)} + 2 x y''' - 4 y'' \\ = 24 + 2 x .24 x - 4 (12 x^{2} - 4) = 40. \end{array}$

Câu 10: Hàm số $y = \sqrt{2 x + 5}$ có đạo hàm cấp hai bằng

A. $y^{''} = \frac{1}{(2 x + 5) \sqrt{2 x + 5}}$

B. $y^{''} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$

C. $y^{''} = - \frac{1}{(2 x + 5) \sqrt{2 x + 5}}$

D. $y^{''} = - \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\begin{array}{l} y' = \frac{(2 x + 5)'}{2 \sqrt{2 x + 5}} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} = {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \\ y'' = - \frac{1}{2} . {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2} - 1} (2 x + 5)' \\ = - \frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 3}{2}} .2 \\ = - \frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}} \\ = - \frac{1}{(2 x + 5) \sqrt{2 x + 5}} \end{array}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Ôn tập chương 5

1 2,949 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3