Lý thuyết Ôn tập chương 5 (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Ôn tập chương 5

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x₀ và được kí hiệu là f^'(x₀). Vậy $\boxed{\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}.}$

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x₀)= f(x₀ + ∆x) –  f(x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: $\mathrm{y}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀ tính:

∆y= f(x₀ + ∆x) – f( x₀) .

+ Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}.$.

+ Bước 3: Tìm $\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}.$

Ví dụ 1. Cho hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{2\mathrm{x}-3}$, có $\mathrm{\Delta x}$ là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$ bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: $\mathrm{D}=\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀ = 2. Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta y}=\mathrm{f}\left(2+\mathrm{\Delta x}\right)-\mathrm{f}\left(2\right) \\ =\sqrt{2.\left(2+\mathrm{\Delta x}\right)-3}-\sqrt{2.2-3}=\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1 \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1}{\mathrm{\Delta x}} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1}{\mathrm{\Delta x}}= \\ \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1\right).\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)}{\mathrm{\Delta x}.\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}.\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1}=1 \end{gathered}$$

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}-{\mathrm{x}}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{x}\mathrm{khi}\mathrm{x}<0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y – y₀= f’(x₀) ( x- x₀) trong đó y₀= f(x₀).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³ – 3x² + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t₀: v(t₀) = s’(t₀).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t₀: I(t₀) = Q’(t₀) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t² + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:

 $$\begin{gathered} \left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\to \mathrm{ℝ} \\ \mathrm{x}\mapsto \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x² – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{\mathrm{x}}$ có đạo hàm $\mathrm{y}\text{'}=-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}$ trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$.

III. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lý 1

Hàm số y = xⁿ  có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (xⁿ)’ = n.x^n-1.

2. Định lý 2

Hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x³;

b) Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x²;

b) Ta có: $\mathrm{y}\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: $\mathrm{y}\text{'}\left(5\right)=\frac{1}{2\sqrt{5}}.$

IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

${\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{u}\text{'}\mathrm{v}-\mathrm{u}.\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}\left(\mathrm{v}=\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0\right)$.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. ${\left(\frac{1}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x⁵ – 2x² + 3x + 6;

b) y = (x² + 1)(2x – 3);

c) $\mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1}$.

Lời giải

a) y = x⁵ – 2x² + 3x

$\Rightarrow$y’ = (x⁵ – 2x² + 3x)’

    = (x⁵)’ – (2x²)’ + (3x)’

   = 5x⁴ – 4x + 3.

b) y = (x² + x).2x

$\Rightarrow$y’ = (x² + x)’.2x + (x² + 1)(2x)’

   = [(x²)’ + x’].2x + (x² + 1).2

   = (2x + 1).2x + 2x² + 2

   = 4x² + 2x + 2x² + 2

   = 6x² + 2x + 2.

c)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{{\left(7{\mathrm{x}}^2\right)}^{\text{'}}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-\left(7{\mathrm{x}}^2\right){\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{14\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-7{\mathrm{x}}^2\left(2{\mathrm{x}}^2-2\right)}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{14{\mathrm{x}}^4-28{\mathrm{x}}^2-14{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{-28{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \end{gathered}$$

V. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là  thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: ${\text{y}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}={\mathrm{y}}_{\mathrm{u}}^{\text{'}}.{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}$.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: $\mathrm{y}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}$

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ thì $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{u}}$

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right)\text{'}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}=\frac{2\mathrm{x}+2}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}$.

VI. Đạo hàm hàm lượng giác

1. Giới hạn $\frac{\mathbf{s}\mathbf{\text{inx}}}{\mathbf{x}}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1.$

Ví dụ 1. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(\mathrm{x}-1\right)}{{\mathrm{x}}^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+2\right)}=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\frac{1}{\mathrm{t}+2}\right) \\ =\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{t}+2} \\ =1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}={\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=2{\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ =2\left[\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ \mathrm{y}\text{'}=4\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \end{gathered}$$

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)$ tại $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=\left(\mathrm{cosu}\right)\text{'}=-\mathrm{u}\text{'}.\mathrm{sinu}= \\ -{\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right). \end{gathered}$$

Thay $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ vào y’ ta được:

$\mathrm{y}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại $\text{x=}\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\text{cos}}^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left(2+\mathrm{tanx}\right)\text{'}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \\ =\frac{\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}=\frac{1}{2.{\cos }^2\mathrm{x}\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \end{gathered}$$

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\sin }^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x².

Lời giải

y’ = (cot x²)’ = (x²)’.$\frac{-1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$=$-\frac{2\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

VII. Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f⁽³⁾(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f^(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y⁽ⁿ⁾ hoặc f⁽ⁿ⁾(x).

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x⁴ + 8x + 12. Tính y⁽⁵⁾

Lời giải

Ta có: y’ = 28x³ + 8, y” = 84x², y”’ = 168x, y⁽⁴⁾ = 168, y⁽⁵⁾ = 0.

Vậy y⁽⁵⁾ = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $\mathrm{\Delta t}$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $\mathrm{\Delta v}$

Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $\mathrm{\Delta t}$. Nếu tồn tại: $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$.

Ta gọi $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $\boxed{\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{f}"\left(\mathrm{t}\right)}$.

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $\mathrm{s}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.$

Lời giải

Ta có: $\mathrm{s}\text{'}=\mathrm{gt}.$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $\mathrm{\gamma }=\mathrm{s}"\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{s}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{g}\approx 9,8\left(\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\right)$.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: $\mathrm{g}\approx 9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$

B. BÀI TẬP

Bài 1. Cho hàm số: $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2}$ (C)

a) Hãy tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số đã cho tại x = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) tại điểm A(1;-2).

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: $\text{D=}\mathbb{\text{ℝ}}\text{}\left\{2\right\}$.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀ = 1. Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta y}=\mathrm{f}\left(1+\mathrm{\Delta x}\right)-\mathrm{f}\left(1\right) \\ =\frac{{\left(1+\mathrm{\Delta x}\right)}^2+1+\mathrm{\Delta x}}{1+\mathrm{\Delta x}-2}-\frac{1^2+1}{1-2} \\ =\frac{{\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2+2\mathrm{\Delta x}+1+1+\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}-1}+2 \\ =\frac{{\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2+3\mathrm{\Delta x}+2}{\mathrm{\Delta x}-1}+2 \\ =\frac{{\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2+3\mathrm{\Delta x}+2}{\mathrm{\Delta x}-1}+\frac{2\mathrm{\Delta x}-2}{\mathrm{\Delta x}-1} \\ =\frac{{\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2+5\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}-1} \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\frac{{\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2+5\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}-1}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\frac{\mathrm{\Delta x}\left(\mathrm{\Delta x}+5\right)}{\mathrm{\Delta x}-1}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\mathrm{\Delta x}+5}{\mathrm{\Delta x}-1} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta x}+5}{\mathrm{\Delta x}-1}=-5. \end{gathered}$$

Vậy f’(1) = - 5.

b) Bằng định nghĩa ta tính được: y’(1) = -5.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là -5.

Ta có: y(1) = - 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm A(1;-2) là:

y = -5(x – 1) - 2 = -5x + 5 - 2 = -5x + 3.

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}\ge 0\\ {\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}<0\end{array}\right.$ không có đạo hàm tại x = 0 nhưng liên tục tại điểm đó.

Lời giải

Ta có f(0) = 1.

Trước hết, ta tính giới hạn bên phải của tỉ số $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(0\right)}{\mathrm{x}-0}$. Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left(x-1\right)}^2-1}{x} \\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=-2. \left(x\ne 0\right) \end{gathered}$$

Giới hạn bên trái của tỉ số $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(0\right)}{\mathrm{x}-0}$, ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(0\right)}{\mathrm{x}-0}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2-1}{\mathrm{x}} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+2\right)}{\mathrm{x}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\left(\mathrm{x}+2\right)=2. \end{gathered}$$

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(0\right)}{\mathrm{x}-0}$. Điều này chứng tỏ hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2=1 \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2=1 \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\Rightarrow \lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2=1 \end{gathered}$$

Do đó hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại x = 1.

Bài 3. Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = 2t² + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

Lời giải

Cường độ dòng điện tại t = 4 là: I(4) = Q’(4).

Đạo hàm của hàm Q(t) tại t = 4 bằng 17.

Vậy cường độ dòng điện tại t = 4 là 17 A.

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số:

a) $\mathrm{y}=\sqrt{2\mathrm{x}+1}$, biết hệ số góc của tiếp tuyến là $\frac{1}{3}$;

b) y = x³ + 2x tại điểm có hoành độ bằng  2.

Lời giải

a)

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0} \\ =\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\sqrt{2\mathrm{x}+1}-\sqrt{2{\mathrm{x}}_0+1}}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0} \\ =\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{2\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)}{\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)\left(\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\sqrt{2{\mathrm{x}}_0+1}\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\sqrt{2{\mathrm{x}}_0+1}}=\frac{1}{\sqrt{2{\mathrm{x}}_0+1}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2{\mathrm{x}}_0+1}}=\frac{1}{3} \\ \iff \sqrt{2{\mathrm{x}}_0+1}=3 \\ \iff 2{\mathrm{x}}_0+1=9 \\ \iff {\mathrm{x}}_0=4\Rightarrow \mathrm{y}\left(4\right)=\sqrt{2.4+1}=3 \end{gathered}$$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đã cho là: $\mathrm{y}=\frac{1}{3}\left(\mathrm{x}-4\right)+3=\frac{1}{3}\mathrm{x}-\frac{4}{3}+3$$=\frac{1}{3}\mathrm{x}+\frac{5}{3}.$

b)

 $$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(2\right)}{\mathrm{x}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^3+2\mathrm{x}-\left(2^3+2.2\right)}{\mathrm{x}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^3+2\mathrm{x}-12}{\mathrm{x}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-2\right)\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+6\right)}{\mathrm{x}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+6\right)=14 \end{gathered}$$

Ta có y(2) = 12.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là:

y = 14(x – 2) + 12 = 14x – 28 + 12 = 14x – 16.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là y = 14x – 16.

Bài 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1$

2. $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1$

3. $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}-{\mathrm{x}}^2+1$

4. $\mathrm{y}=-2{\mathrm{x}}^4+\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2+1$

5. $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-3}$                                                      

6. $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}+1}$

Lời giải

1. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(-{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}=3{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+2$

2. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(-{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}=-3{\mathrm{x}}^2+3$

3. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}-{\mathrm{x}}^2+1\right)}^{\text{'}}={\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}$

4. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(-2{\mathrm{x}}^4+\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2+1\right)}^{\text{'}}=-8{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}$

5. Ta có:

 $$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{(2\mathrm{x}+1)\text{'}(\mathrm{x}-3)-(\mathrm{x}-3)\text{'}(2\mathrm{x}+1)}{{(\mathrm{x}-3)}^2} \\ =\frac{-7}{{(\mathrm{x}-3)}^2} \end{gathered}$$

6. Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2)\text{'}(\mathrm{x}+1)-({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}+1)\text{'}}{{(\mathrm{x}+1)}^2} \\ =\frac{(2\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+1)-({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2)}{{(\mathrm{x}+1)}^2} \\ =\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-4}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2} \end{gathered}$$

Bài 6. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $\mathrm{y}={\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right)}^2$

b) $\mathrm{y}=\sqrt{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}$

Lời giải

a) Đặt u = (x⁷ + x)²

$\Rightarrow \mathrm{y}\text{'}\left(\mathrm{u}\right)=2\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right){\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}=2\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right)\left(7\mathrm{x}+1\right)$

b) Đặt u = 2x² + 3x + 1

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}\text{'}\left(\mathrm{u}\right)=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{{\left(2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}} \\ =\frac{4\mathrm{x}+3}{2\sqrt{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}} \end{gathered}$$

Bài 7. Cho $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+\sqrt{32}$ và $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+10\sqrt{3}$. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\left(2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+\sqrt{32}\right)}^{\text{'}}=6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x} \\ \mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+10\sqrt{3}\right)}^{\text{'}}={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x} \end{gathered}$$

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

$$\begin{gathered} \iff 6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}>{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x} \\ \iff 5{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}>0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}<0\\ \mathrm{x}>\frac{3}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(\frac{3}{5};+\infty \right)$.

Bài 8. Cho f(x) = x⁵ + x³ – 2x – 3. Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x⁵ + x³ – 2x – 3)’ = 5x⁴ + 3x² – 2.

Khi đó:

f’(1) = 5.1⁴ + 3.1² – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f’(-1) = 5.(-1)⁴ + 3.(-1)² – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f(0) = 0⁵ + 0³ – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = - 3.

$\Rightarrow$f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12.

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Bài 9. Tính các đạo hàm sau:

a) $\mathrm{y}=\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}$

b) $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{cosx}}{3{\sin }^3\mathrm{x}}+\frac{4}{3}\mathrm{cotx}$                   

c)  $\mathrm{y}={\cos }^2\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)$        

d) $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}$

Lời giải

a)    

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{\left(3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}\right)\text{'}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}} \\ =\frac{6\mathrm{tanx}.\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}-\frac{2}{{\sin }^{2}2\mathrm{x}}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}} \\ =\frac{\frac{6\mathrm{sinx}}{{\text{cos}}^3\mathrm{x}}-\frac{1}{2.{\sin }^2\mathrm{x}.{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}} \end{gathered}$$

b)              

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(-\frac{\mathrm{cosx}}{3{\sin }^3\mathrm{x}}+\frac{4}{3}\mathrm{cotx}\right)}^{\text{'}} \\ =\frac{\mathrm{sinx}.3{\sin }^3\mathrm{x}+\mathrm{c}{\text{osx.9.sin}}^2\mathrm{x}.\mathrm{c}\text{osx}}{{\left(3{\sin }^3\mathrm{x}\right)}^2} \\ -\frac{4}{3{\sin }^2\mathrm{x}} \\ =\frac{{\sin }^2\mathrm{x}+3{\cos }^2\mathrm{x}}{3{\sin }^4\mathrm{x}}-\frac{4}{3{\sin }^2\mathrm{x}} \\ =\frac{3{\cos }^2\mathrm{x}-3{\sin }^2\mathrm{x}}{3{\sin }^4\mathrm{x}} \\ =\frac{{\text{cos}}^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}}{{\sin }^4\mathrm{x}} \end{gathered}$$

c)      

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left({\cos }^2\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right)}^{\text{'}} \\ =2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).{\left[\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]}^{\text{'}} \\ =2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).{\left[\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]}^{\text{'}} \\ =2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\left[-\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]{\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)}^{\text{'}} \\ =-2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)3{\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx} \\ =-6.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right){\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx} \end{gathered}$$

d) 

$\text{y'=}\frac{\mathrm{x}\text{'}.\mathrm{sinx}-\mathrm{x}.{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^2}=\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}.\mathrm{cosx}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^2}$

Bài 10. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.

a) $\mathrm{y}={\sin }^6\mathrm{x}+{\cos }^6\mathrm{x}+3{\sin }^2{\mathrm{xcos}}^2\mathrm{x}$

b) $\mathrm{y}={\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)+{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)+$ ${\cos }^2\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)$$-2{\sin }^2\mathrm{x}$

Lời giải

a)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left({\sin }^6\mathrm{x}+{\cos }^6\mathrm{x}+3{\sin }^2{\mathrm{xcos}}^2\mathrm{x}\right)}^{\text{'}} \\ =6{\sin }^5\mathrm{xcosx}-6{\cos }^5\mathrm{x}.\mathrm{s}\text{inx}+6{\mathrm{sinxcos}}^3\mathrm{x} \\ -6{\sin }^3\mathrm{xcosx} \\ =6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^4\mathrm{x}-{\cos }^4\mathrm{x}\right)+ \\ 6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^2\mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}\right)\left({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}\right) \\ +6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^2\mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}\right)+ \\ 6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =-6\mathrm{sinxcosx}\left({\text{cos}}^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right)+ \\ 6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right) \\ =0 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} y\text{'}=2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right) \\ -2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right) \\ +2\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right) \\ -2\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)-4\mathrm{sinxc}\text{osx} \\ =\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-2\mathrm{x}\right)-\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{x}\right)+ \\ \sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}-2\mathrm{x}\right)-\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{x}\right)-2\sin 2\mathrm{x} \\ =-2\mathrm{c}\text{os}\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)\sin 2\mathrm{x}-2\cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)\text{sin2x} \\ -2\sin 2\mathrm{x} \\ =\sin 2\mathrm{x}+\sin \text{2x}-2\sin 2\mathrm{x} \\ =0 \end{gathered}$$

Bài 11. Tìm f’(2) biết f(x) = x².sin(x – 2).

Lời giải

Ta có : f’(x) = 2x.sin(x – 2) + x²cos(x – 2)

Khi đó: f’(2) = 2.2.sin(2 – 2) + 2².cos(2 – 2)

                     = 4.0 + 4.1

                     = 0 + 4

                     = 4.

Vậy f’(2) = 4.

Bài 12: Tính đạp hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = sin5x.cos2x;

b) $\mathrm{y}=\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}$;

c) y = (1 – x²)cosx;

d) y = $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}$.

Lời giải

a) y’ = (sin5x.cos2x)’ = 5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x

$\Rightarrow$y” = (5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x)’

= - 25sin5x.cos2x – 10cos5xsin2x – 10cos5xsin2x – 4sin5x.cos2x.

b)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^{\text{'}} \\ =\mathrm{x}\text{'}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\mathrm{x}.\frac{2\mathrm{x}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ =\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ =\frac{2{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ \Rightarrow \mathrm{y}"={\left(\frac{2{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}\right)}^{\text{'}}= \\ \frac{4\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}-\left(2{\mathrm{x}}^2+1\right).\frac{2\mathrm{x}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^2} \\ =\frac{2{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}}{{\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^3}. \end{gathered}$$

c) y’ = [(1 – x²)cosx]’ = -2x.cosx – (1- x²).sinx

$\Rightarrow$y” = [-2x.cosx – (1- x²).sinx]’ = -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x²).cosx.

d)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}={\left(\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\right)}^{\text{'}} \\ =\frac{2\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)-\left(2\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ =\frac{2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-4-4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ =\frac{-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2} \\ \mathrm{y}"={\left[\frac{-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2}\right]}^{\text{'}} \\ =\frac{\left(-4\mathrm{x}-2\right){\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^2}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^4}- \\ \frac{\left(-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5\right)2.\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right)}^4} \end{gathered}$$

Bài 13. Cho hàm số y = (3x – 4)⁶. Tính y”(2) và y⁽⁴⁾(2).

Lời giải

Ta có: y’ = 6(3x – 4)⁵.3 = 18(3x – 4)⁵

^{$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}"=18.5{(3\mathrm{x}-4)}^4.3=270{(3\mathrm{x}-4)}^4 \\ \Rightarrow \mathrm{y}"\text{'}=270.4.{(3\mathrm{x}-4)}^3.3=3240{(3\mathrm{x}-4)}^3 \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^{\left(4\right)}=3240.3.{(3\mathrm{x}-4)}^2.3=29160{(3\mathrm{x}-4)}^2 \end{gathered}$$}

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{y}"\left(2\right)=270{(3.2-4)}^4=4320; \\ {\mathrm{y}}^{\left(4\right)}\left(2\right)=29160{(3.2-4)}^2=116640. \end{gathered}$$

Vậy y”(2) = 4320 và y⁽⁴⁾(2) = 116640.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài: Ôn tập chương 5

Câu 1: Đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x+1$ tại $x_0=1$ là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 2: Vi phân của hàm số $y=2x^5-\frac{2}{x}+5$ là biểu thức nào dưới đây?

A. $\left(10x^4-\frac{2}{x^2}\right)dx.$

B. $\left(10x^4+\frac{2}{x^2}+5\right)dx.$

C. $\left(10x+\frac{2}{x^2}\right)dx.$

D. $\left(10x^4+\frac{2}{x^2}\right)dx.$   

Câu 3: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $\left(C\right)$ và điểm $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$. Khi đó, tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm M có hệ số góc là

A. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$

B. $f^{\text{'}}\left(x\right).$

C. $f^{\text{'}}\left(x-x_0\right).$

D. $f^{\text{'}}\left(x+x_0\right).$

Câu 4: Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ là

A. $y^{\text{'}}=\frac{2}{\sqrt{x}}.$

B. $y^{\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

C. $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

D. $y^{\text{'}}=2\sqrt{x}.$

Câu 5: Đạo hàm của hàm số $y=\cos x$ là

A.$y^{\text{'}}=\sin x.$

B. $y^{\text{'}}=\tan x.$

C. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\tan }^{2}x}.$

D.  $y^{\text{'}}=-\sin x.$

Câu 6: Hàm số $y=\sin x+x$ có đạo hàm là

A. $-\cos x+1.$

B. $\cos x+1.$

C. $\sin x+x.$

D.  $\sin x+1.$

Câu 7: Đâu là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$?

A. $y-y_0=f\left(x_0\right)\left(x-x_0\right).$

B. $y=f\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0.$

C. $y+y_0=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right).$

D. $y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0.$

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số  $y=x^2+1$

A. $y^{\text{'}}=x^2+1.$

B. $y^{\text{'}}=2x+1.$

C. $y^{\text{'}}=2x.$

D. $y^{\text{'}}=2x-1.$

Câu 9: Cho hàm số $y=\sin x$. Tính $y^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)$

A. $y^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0.$

B. $y^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=1.$

C. $y^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=2.$

D. $y^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=-2.$

Câu 10: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng.

A. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}.$

B. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x-1}.$

C. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}.$

D. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(1\right)}{x-1}.$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4 

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm 

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai