Lý thuyết Phép đối xứng tâm (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11
Lý thuyết Phép đối xứng tâm của dãy số lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm.
Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm
Bài giảng Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm
A. Lý thuyết.
I. Định nghĩa.
- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác điểm I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
Điểm I được gọi là tâm đối xứng.
Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.
- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ qua ĐI thì ta còn nói ℋ đối xứng với ℋ ' qua tâm I, hay ℋ và ℋ ' đối xứng với nhau qua I.
Từ định nghĩa trên ta suy ra, M’ = ĐI(M) .
- Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau. Các điểm A và B là ảnh của điểm A’ và B’ qua phép đối xứng tâm I và ngược lại.
II. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(x ; y), M’= ĐO(M) = (x’; y’). Khi đó:
, đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ.
- Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7 ; – 4). Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.
Lời giải:
Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:
III. Tính chất.
- Tính chất 1. Nếu ĐI(M) = M’ và ĐI(N) = N’ thì , từ đó suy ra M’N’ = MN.
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
- Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1; 2).
Lời giải:
Giả sử phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến điểm thành điểm M’(x’ ; y’).
Khi đó I là trung điểm của MM’. Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:
Vì điểm M thuộc d nên: x + y – 2 = 0 (2).
Thay (1) vào (2) ta được:
(2 – x’) + (4 – y’) – 2 = 0 hay – x’ – y’ + 4 = 0.
Do đó, phương trình đường thẳng d’ là – x – y + 4 = 0 hay x + y – 4 =0.
IV. Tâm đối xứng của một hình.
Định nghĩa. Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm I biến hình ℋ thành chính nó.
- Khi đó, ta nói ℋ là hình có tâm đối xứng.
- Ví dụ 4. Các hình sau đây đều có tâm đối xứng:
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm ảnh của điểm M(2 ; 1) qua phép đối xứng tâm I(1 ; – 3).
Lời giải:
Gọi ĐI(M) = M’(x’ ; y’)
Khi đó, I là trung điểm của MM’. Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có:
Vậy ảnh của M qua phép đối xứng tâm I là M’(0 ; – 7).
Bài 2. Cho điểm I(2 ; 0)và đường thẳng d: 2x – 5y + 1 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.
Lời giải:
Lấy điểm M(x ; y) thuộc d. Suy ra: 2x – 5y + 1 = 0 (1)
Gọi ĐI(M) = M’(x’ ; y’).
Khi đó, I là trung điểm của MM’. Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có tọa độ của M’ là:
Thay (2) vào (1) ta được:
2.(4 – x’) – 5.(– y’) + 1 = 0 hay – 2x’ + 5y’ + 9 = 0
Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: – 2x + 5y + 9 = 0.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16 qua phép đối xứng tâm O(0; 0).
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(3 ; – 1) bán kính R = 4.
Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0 ; 0) nên
đường tròn (C’) có bán kính R’ = R = 4 và tâm I’(– 3; 1) (tâm I’ đối xứng với tâm I qua O).
Vậy phương trình đường tròn (C’) là (x + 3)2 + (y – 1)2 = 16.
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm
Câu 1. Hình nào sau đây có tâm đối xứng?
A. Hình thang.
B. Hình tròn.
C. Parabol.
D. Tam giác bất kì.
Đáp án: B
Giải thích:
Tâm đối xứng của hình tròn là tâm của hình tròn đó.
Câu 2. Cho tam giác có cố định; điểm di động trên đường thẳng d . Dựng hình bình hành . Quỹ tích điểm là:
A. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm A
B. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm B
C. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB
D. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AC
Đáp án: C
Giải thích:
M là ảnh của C qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB.
Mà C di động trên đường thẳng d nên quỹ tích điểm M là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I.
Câu 3. Cho hình bình hành ( không là hình thoi). Trên đường chéo lấy hai điểm sao cho .
Gọi lần lượt là giao điểm của và ; và . Tìm mệnh đề sai.
A. P và Q đối xứng qua O
B. M và N đối xứng qua O
C. M là trọng tâm tam giác ABC
D. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Đáp án: D
Giải thích:
Từ giả thiết suy ra , mà O là trung điểm AC
N là trọng tâm .
Mà AN cắt CD tại P P là trung điểm CD .
Tương tự , ta có : Q là trung điểm AB .
Do và
là hình bình hành
O là trung điểm của PQ
P và Q đối xứng qua O.
Do
O là trung điểm MN
M và N đối xứng qua O.
Chứng minh tương tự M là trọng tâm tam giác ABC .
Tam giác ABC không phải là tam giác đều nên không đủ kết luận M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 4. Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng?
A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
C. Hình lục giác đều.
D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.
Đáp án: B
Giải thích:
Vì tam giác đều không có tâm đối xứng.
Câu 5. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Đường elip.
B. Đường hypebol.
C. Đường parabol.
D. Đồ thị hàm số
Đáp án: C
Câu 6. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: B
Giải thích:
Có một tâm đối xứng chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đường tròn.
Câu 7. Cho hai đường thẳng song song và Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thằng đó thành chính nó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: A
Giải thích:
Tâm đối xứng phải nằm trên cả và nên không có.
Câu 8. Cho hai đường thẳng cắt nhau và Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: B
Giải thích:
Tâm đối xứng là giao điểm của và .
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ cho elip có phương trình Viết phương trình elip là ảnh của elip qua phép đối xứng tâm
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm là
.Thay vào ta được :
Câu 10. Cho tam giác không cân. Hai điểm lần lượt là trung điểm của . Gọi O là trung điểm của . Điểm đối xứng với A qua O . Tìm mệnh đề sai.
A. là hình bình hành
B. là hình bình hành
C. đối xứng với nhau qua
D. là hình thoi.
Đáp án: D
Giải thích:
đối xứng với A qua O O là trung điểm .
MO là đường trung bình của
NO là đường trung bình của
thẳng hàng
là trung điểm BC
Do O đồng thời là trung điểm của MN và nên là hình bình hành.
Do và ( MN là đường trung bình của ) nên là hình bình hành. Do là trung điểm BC nên B,C đối xứng với nhau qua .
Không đủ điều kiện kết luận là hình thoi.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11