Lý thuyết Ôn tập chương 1 (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Ôn tập chương 1 lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Ôn tập chương 1.

1 3,386 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Ôn tập chương 1

A. Lý thuyết

1. Hàm số sin và hàm số côsin

a) Hàm số sin

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là .

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Hàm số côsin

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là .

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2. Hàm số tang và hàm số côtang

a) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức: y  =  sinxcosx        (cosx0)

Kí hiệu là y = tanx.

Vì cosx ≠ 0 khi và chỉ khi x  π2+  kπ   (k  ) nên tập xác định của hàm số y = tanx là D  =  \π2  +  kπ;k  .

b) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức: y  =  cosxsin x    (sin x0)

Kí hiệu là y = cot x.

Vì sinx ≠ 0 khi và chỉ khi x    kπ   (k) nên tập xác định của hàm số y = cotx là D  =  \kπ;k   .

- Nhận xét:

Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Từ đó, suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx là những hàm số lẻ.

3. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

- Số T = 2π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức: Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Hàm số y = sinx thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Tương tự; hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Các hàm số y = tanx và y = cotx cũng là những hàm số tuần hoàn, với chu kì π.

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác.

4.1 Hàm số y = sinx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :

+ Xác định với mọi x và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên 0;  π2 và nghịch biến trên π2;  π.

Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Chú ý:

Vì y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [– π;  0].

Đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Đồ thị hàm số y = sinx trên .

Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π nên với mọi x ta có:

sin  (x+​ k2π)=sinx;   k  

Do đó, muốn có đồ thị  hàm số y = sinx trên toàn bộ tập xác định , ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [– π; π] theo các vecto v=  (2π;  0) và v=  (2π;  0), nghĩa là tịnh tiến song song với trục hoành từng đoạn có độ dài 2π.

Dưới đây là đồ thị hàm số y = sinx trên :

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

4.2 Hàm số y = cosx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:

+ Xác định với mọi x  và – 1 ≤  cosx  ≤  1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Với mọi x ta có: sinx  +​  π2  =  cos x.

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto u=  π2;0 (sang trái một đoạn có độ dài bằng π2, song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số  y = cos x.

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].

+ Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.

4.3 Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = tan x:

+ Có tập xác định: D  =  \π2  +kπ;  k.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng 0;  π2

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng 0;  π2.

+ Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Bảng giá trị:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng 0;  π2 đi qua các điểm tìm được.

b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D.

Vì y = tanx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Lấy  đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng 0;  π2, ta được đồ thị hàm số trên nửa khoảng π2;  0.

Từ đó, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng π2;  π2.

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π nên tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng π2;  π2 song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên D.

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Tập giá trị của hàm số y = tanx là (;  +).

4.4 Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx: 

+ Có tập xác định là D  =\kπ;k.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

a) Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; π).

Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D.

Đồ thị hàm số y = cotx trên D được biểu diễn như hình sau:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Tập giá trị của hàm số y = cotx là ;+.

5. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

 

 

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: π2απ2sinα  =a thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x  =  α  +​  k2π và x  =π   α  +​  k2π  ;  k

Tổng quát: 

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là x  =  π2  +​  k2π;  k.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là x  =  π2  +​  k2π;  k.

+ Khi a = 0:  Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là x  =  kπ;  k.

- Ví dụ 1. Giải các phương trình: 

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Vì 32=  sinπ3 nên

sinx  =32  sinx=  sinπ3

Vậy phương trình có các nghiệm là:

x=   π3+k2π;  k và x=  π  π3+k2π=2π3+k2π;  k

b) Ta có: sinx=  23 khi x=arcsin23.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

x=  arcsin23  +  k2π;  k và x=π  arcsin23  +  k2π;  k

6. Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì cosx   1 với mọi x.

- Trường hợp  a   1.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: x  =  ±α  +  k2π;  k

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: 

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Phương trình cos x= cosβ0 có các nghiệm là x=  ±β0  +​ k3600;  k

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: 0απcosα  =a thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

x=  ±  arccosa​ +  k2π  ;  k

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: x  =  k2π;  k.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: x  =π+  k2π;  k

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: x  =π2+​  kπ;  k.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

7. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác định của phương trình là xπ2+  kπ;  k.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: x=arctana+​ kπ;  k

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+​ kπ;  k

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) f(x)​  =g(x)+​ kπ;  k.

b) Phương trình tanx = tanβ0 có các nghiệm là: x=  β0  +k.1800;  k.

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

8. Phương trình cotx = a

Điều kiện xác định của phương trình x  kπ  ;  k.

Kí hiệu x = arccota (đọc là ac– côtang – a; nghĩa là cung có côtang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình cotx = a là: x=arccota+​ kπ;  k

- Chú ý:

a) Phương trình cotx = cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+​ kπ;  k

Tổng quát; cot f(x) = cot g(x) f(x)​  =g(x)+​ kπ;  k.

b) Phương trình cot x = cot β0 có các nghiệm là: x=  β0  +k.1800;  k

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Ghi nhớ.

Mỗi phương trình sinx = a (|a| ≤ 1); cosx = a (|a| ≤ 1), tanx = a; cotx = a có vô số nghiệm.

Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.

9. Phương  trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

9.1 Định nghĩa.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b =  0   (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 1.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình bậc nhất đối với cotx.

9.2 Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Từ 2sinx – 4 = 0, chuyển vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) cho 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Từ 3tanx3=0, chuyển vế ta có: 3tanx=3 (3)

Chia cả 2 vế của phương trình (3) cho ta được: tanx=33.

tanx=tanπ6x=π6+​ kπ;  k

9.3 Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

- Ví dụ 3. Giải các phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. cosx. cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

2sinx. cosx – cosx = 0

cosx. (2sinx – 1) = 0

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x  =  π2  +  kπ; x  =  π6  +  k2π và x  =  5π6  +  k2π;  k.

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

10. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

10.1 Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at2 + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 4.

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai đối với cosx.

b) – 10tan2x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai đối với tanx.

10.2 Cách giải.

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos2x – 4 cosx = 0.

Lời giải:

Đặt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc hai ẩn t là: 2t2 – 4t = 0 t=0t  =2

Trong hai nghiệm này chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

x=  π2  +  kπ;  k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=  π2  +  kπ;  k.

10.3 Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Ví dụ 6. Giải phương trình 3sin2x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin2x = 1 – cos2x nên phương trình đã cho tương đương:

3(1 – cos2x) – 6cosx – 3 = 0

– 3cos2 x – 6cosx = 0  (*)

Đăt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t2 – 6t = 0 t=0t=2.

Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 vx=  π2  +  kπ;  k.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=  π2  +  kπ;  k.

- Ví dụ 7. Giải phương trình: sin2x – 3sinx. cosx + 2cos2x = 0  (1).

Lời giải:

+ Nếu cosx = 0 thì sin2x = 1 nên phương trình (1) có :

VT(1) = 1 và VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1) cho cos2 x, ta được:

tan2x – 3tanx + 2 = 0  (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t2 – 3t + 2 =  0

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

11. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

11.1 Công thức biến đổi biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta có công thức biến đổi sau:

asinx+ ​b.cosx  =   a  2+​  b2.sin(x+α)  1

Trong đó; 

cosα  =   aa2+b2;  sinα=  ba2+b2

11.2 Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c  (2)

Với a; b; c ; a, b không đồng thời bằng 0.

- Nếu a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

- Nếu a ≠ 0; b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1).

Ví dụ 8. Giải phương trình: 3sinx  cosx =  2.

Lời giải:

Theo công thức (1) ta có:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Điều kiện: cosx ≠ 0

xπ2  +  kπ;  k

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: 

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: 

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: D=\π4    kπ;  k

Bài 2. Chứng minh rằng: hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ.

Lời giải:

Tập xác định:  D = .

Với mọi x  ​D  xD

Ta có: f(x) = sin2x + 2sinx

Và f(– x) = sin(– 2x) + 2sin(– x) = – sin2x – 2sinx = – (sin2x + 2sinx)

Suy ra: f(– x) = – f(x).

Do đó, hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ. (đpcm).

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của các hàm số.

a) y = 2sinx – 3;

b) y = sin2x – 4sinx + 3.

Lời giải:

Với mọi x ta có: – 1 ≤ sinx ≤ 1

Suy ra: – 2 ≤ 2sinx ≤  2.

Do đó;  – 2 – 3 ≤ 2sinx – 3  ≤ 2 – 3

hay – 5 ≤ 2 sinx – 3 ≤  – 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là – 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 5.

b) Ta có: sin2x – 4sinx + 3 = (sinx – 2)2 – 1.

Vì – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên – 3 ≤ sinx – 2 ≤  – 1

 1  ≤ (sinx – 2)2  ≤ 9

 1 – 1  ≤ (sinx – 2)2  – 1 ≤ 9 – 1

hay 0 ≤  sin2x – 4sinx + 3 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 8 và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0.

Bài 4. Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx,  tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = sinx :

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Ta xét trên khoảng (– π; π):

Để hàm số nhận giá trị dương tức là sinx > 0.

Dựa vào đồ thị suy ra: x0;  π.

+ Xét trên tập xác định:

Vì tính tuần hoàn với chu kì là 2π, suy ra hàm số y = sinx nhận giá trị dương khi xk2π;  π  +k2π;  k.

Bài 5. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 6. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 7. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Khi đó:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm phương trình đã cho là x=  kπ2;  k.

Bài 8. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm phương trình là

x=π6+kπ3;  k3m  +1;  k;m

Bài 9. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Trong hai nghiệm thì chỉ có nghiệm t = 1 thỏa mãn.

Với t = 1 thì sinx = 1x  =  π2+​ k2π;  k .

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đặt t = tan x (với t ≠ 0), phương trình (3) trở thành:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 10. Giải các phương trình:

a) 2sin2 x + 2sinx. cosx – 4cos2x = 0;

b) 3sin2x + sin2x + 3cos2x = 2.

Lời giải:

a) 2sin2 x + 2sinx. cosx – 4cos2x = 0   (1)

+ Nếu cosx = 0 thì sin2x = 1 nên phương trình (1) có :

VT(1) = 2 và VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1) cho cos2 x, ta được:

2tan2x + 2tanx – 4 = 0  (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: 2t2 + 2t – 4 =  0

t  =1t=2

Với t = 1 thì tanx = 1 x  =π4  +  kπ;  k.

Với t = –2 thì tanx = – 2x  =arctan2+  kπ;  k

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Nếu cosx = 0 thì sin2x = 1 nên phương trình (2) có :

VT(2) = 3 và VP(2) = 2

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (2) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (2) cho cos2 x, ta được:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đặt t = tanx, phương trình (3) trở thành:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 11. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Ta có:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vì  413> 1 nên phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 12. Giải phương trình: 

sin2x  3cosx  =sinx3cos2x

Lời giải:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy nghiệm của phương trình là

 x=k2π;   x=π9+k2π3    k

Trắc nghiệm Toán 11 Bài: Ôn tập chương 1

Câu 1: Tập xác định của hàm số y=1cosxcos2x là:

A. D=\π2+k2π,k

B. D=

C. D=\π2+kπ,k

D. D=\kπ,k

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số xác định khi  1cosx0cosx0

1cosx0,x nên  

*cosx0xπ2+kπ,k

Vậy D=\π2+kπ,k.

Câu 2: Hàm số y=2sin2xmcosx+1 có tập xác định  khi

A. m>0

B. 0<m<1

C. m1

D. 1<m<1

Đáp án: D

Giải thích:

Hàm số có tập xác định  khi mcosx+1>0,x .

Khi m=0 thì (*) luôn đúng nên nhận giá trị m=0.

Khi m>0 thì mcosx+1m+1;m+1 nên * đúng khi

m+1>00<m<1.

Khi m<0 thì mcosx+1m+1;m+1 nên * đúng khi

m+1>01<m<0.

Vậy giá trị  thoả 1<m<1.

Câu 3: Tập xác định của hàm số y=tanxcosx1 là:

A. xk2π

B. x=π3+k2π

C. xπ2+kπxk2π

D. xπ2+kπxπ3+kπ

Đáp án: C

Giải thích:

 Hàm số xác định khi cosx10xπ2+kπ,k 

cosx10cosx1

xk2π,k

Vậy xk2π, xπ2+kπ,k.

Câu 4: Tập xác định của hàm số y=cotxcosx là:

A. x=π2+kπ

B. x=k2π

C. x=kπ

D. xkπ2

Đáp án: D

Giải thích:

 Hàm số xác định khi  xkπ,kcosx0

cosx0xπ2+kπ,k

Vậy xkπ2,k.

Câu 5: Tập xác định của hàm số y=tan3x+π4 là

A. D=

B. D=\π12+kπ3,k

C. D=\π12+kπ,k

D. D=\kπ,k

Đáp án: B

Giải thích:

Hàm số xác định khi 

3x+π4π2+kπ,k

xπ12+kπ3,k

Vậy, tập xác định D=\π12+kπ3,k.

Câu 6: Hàm số y=tanx đồng biến trên khoảng:

A. 0;π2

B. 0;π2

C. 0;3π2

D. 3π2;π2

Đáp án: A

Giải thích:

Do hàm số y=tanx đồng biến trên 0;π2.

Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y=sinx đồng biến trong khoảng π4;3π4

B. Hàm số y=cosx đồng biến trong khoảng π4;3π4

C. Hàm số y=sinx đồng biến trong khoảng 3π4;π4

D. Hàm số y=cosx đồng biến trong khoảng 3π4;π4

Đáp án: D

Giải thích:

Do hàm số y=cosx đồng biến trên π+k2π;  k2π,

cho k=0π;0 suy ra đồng biến trên 3π4;π4.

Câu 8: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=41+2sin2x

A. miny=43,  maxy=4

B. miny=43, maxy=3

C. miny=43,  maxy=2

D. miny=12, maxy=4

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 0sin2x1

43y4

 y=43sin2x=1

x=π2+kπ.

Câu 9: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=3sinx+4cosx+1

A. maxy=6,  miny=2

B. maxy=4miny=4

C. maxy=6miny=4

D. maxy=6 miny=1

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng BĐT (ac+bd)2(c2+d2)(a2+b2).

Đẳng thức xảy ra khi ac=bd.

Ta có:

(3sinx+4cosx)2(32+42)(sin2x+cos2x)=25

53sinx+4cosx54y6

Vậy maxy=6, đạt được khi tanx=34

miny=4, đạt được khi tanx=34

Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau

max(asinx+bcosx)=a2+b2 ,

min(asinx+bcosx)=a2+b2

Tức là:

a2+b2asinx+bcosxa2+b2

Câu 10: Xét các phương trình lượng giác:

I sinx+cosx=3

II 2sinx+3cosx=12

III cos2x+cos22x=2

Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

C. (I) và (III)

D. Chỉ (II)

Đáp án: A

Giải thích:

Xét (I) sinx+cosx=3

2sinx+π4=3

sinx+π4=32 vô nghiệm

Xét (II)  2sinx+3cosx=12

ta có 22+32=13>122

 phương trình đang xét có nghiệm

Xét (III)  cos2x+cos22x=2

1cos2x+1cos22x=0

sin2x+sin22x=0

sinx=0sin2x=0x=kπ2x=kπ

x=kπx=kπ2x=kπ

Vậy chỉ phương tình (I) vô nghiệm.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Quy tắc đếm

Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn

Lý thuyết Phép thử và biến cố

Lý thuyết Xác suất của biến cố

1 3,386 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: