Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11
Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song.
Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
A. Lý thuyết.
I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:
- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.
- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu .
- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu .
II. Tính chất
- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).
- Định lí. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.
- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
- Định lí. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O1 lần lượt là tâm của ABCD và ABEF, gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh:
a) OO1 // mp (BEC).
b) OO1 // mp (AFD)
Lời giải.
a) Xét tam giác ACE có O; O1 lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành).
Suy ra OO1 là đường trung bình trong tam giác ACE và OO1 // EC.
Mà EC thuộc mp (BEC) nên OO1 // mp (BEC) (đpcm).
b) Tương tự; OO1 là đường trung bình của tam giác BFD nên OO1 // FD.
Mà FD nằm trong mp(AFD)
Suy ra: OO1 // mp (AFD) (đpcm).
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC và (α) là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là hình gì?
Lời giải:
+ Qua H kẻ đường thẳng song song AB và đường thẳng này cắt BC, AC lần lượt tại M, N.
+ Từ N kẻ NP song song với CD
Từ P kẻ PQ song song với AB .
+ Ta có: MN // PQ // AB
Suy ra 4 điểm M; N; P và Q đồng phẳng .
Suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là tứ giác MNPQ.
+ Ta chứng minh MNPQ là hình bình hành.
Trước tiên, ta chứng minh PN // QM.
Ta có:
Suy ra: QM // PN // CD
Lại có: PQ // MN
Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB. Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh: GQ // mp (BCD).
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BD.
Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên (1)
Điểm Q thuộc AB thỏa mãn: AQ = 2QB nên (2).
Từ (1) và (2) suy ra .
Suy ra, GQ // BD (định lí Ta-let đảo)
Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD).
Do đó, GQ // mp(BCD) (đpcm).
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC, AC, BD. Chứng minh:
a) P, R, Q, S đồng phẳng
b) P, M, N, Q đồng phẳng.
c) M, R, N, S đồng phẳng.
Lời giải:
a) Tam giác ABD có PS là đường trung bình nên PS // AB. (1)
Tam giác ABC có RQ là đường trung bình nên RQ // AB (2).
Từ (1) và (2) suy ra PS // RQ nên 4 điểm P, R, Q, S đồng phẳng (đpcm).
b) Tương tự ý a, ta có được PM // NQ // BD
Suy ra 4 điểm P, M, N, Q đồng phẳng.
c) Ta có NR // AD // MS suy ra M, R, N, S đồng phẳng.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // mp(BCD) . Tính tỉ số ?
Lời giải:
- Từ MN // mp( BCD) ta chứng minh MN // BC .
Thật vậy, giả sử MN cắt BC tại P.
Mà BC ⊂ mp(BCD)
Đường thẳng MN cắt mp(BCD) tại P (mâu thuẫn với MN // mp(BCD)).
Vậy MN // BC.
- Xét tam giác ABC có: MN // BC
( định lí Ta- let).
.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(SAD) và chứng minh giao tuyến đó song song với mp(SBC).
Lời giải:
- Ta tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(SAD) .
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Câu 1: Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số.
Đáp án: D
Giải thích:
Theo tính chất: Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có . Mặt phẳng qua trung điểm của AC và song song với AB, CD cắt theo thiết diện là
A. hình tam giác.
B. hình vuông.
C. hình thoi.
D. hình chữ nhật.
Đáp án: C
Giải thích:
Gọi M là trung điểm của AC .
Ta có:
, N là trung điểm BC .
, P là trung điểm BD .
, Q là trung điểm AD.
Khi đó thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Lại có: suy ra .
Vậy thiết diện cần tìm là hình thoi MNPQ .
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA (M không trùng với S và A). qua ba điểm M, B, C cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là:
A. Tam giác.
B. Hình thang.
C. Hình bình hành.
D. Hình chữ nhật.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có
Ta có nên và có giao tuyến song song AD
Trong , vẽ
Thiết diện của S.ABCD cắt bởi là tứ giác BCNM. Do (cùng song song AD) nên BCNM là hình thang.
Câu 4: Cho đường thẳng a nằm trong và đường thẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu thì
B. Nếu b cắt thì b cắt a
C. Nếu thì
D. Nếu b cắt và chứa b thì giao tuyến của và là đường thẳng cắt cả a và b.
Đáp án: C
Giải thích:
Câu 5: Cho mặt phẳng và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu thì trong tồn tại đường thẳng sao cho
B. Nếu và đường thẳng thì
C. Nếu thì
D. Nếu và đường thẳng thì d và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Đáp án: B
Giải thích:
Khi và đường thẳng thì ngoài trường hợp còn có trường hợp và chéo nhau.
Câu 6: Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với . Khẳng định nào sau đây không sai?
A.
B. a và b cắt nhau.
C. a và b chéo nhau.
D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b
Đáp án: D
Giải thích:
Cho qua không thẳng hàng.
Giả sử phân biệt là các đường thẳng nằm ngoài thỏa mãn
Trong trường hợp này
Nếu a và c đồng phẳng thì a cắt c
Nếu a và c không đồng phẳng thì a và c chéo nhau.
Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đường thẳng và đường thẳng
B. Tồn tại đường thẳng
C. Nếu đường thẳng song song với và cắt đường thẳng a thì cắt đường thẳng
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì 2 đường thẳng đó song song nhau.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có
Câu 8: Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Đáp án: C
Giải thích:
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng là
• Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
• Đường thẳng song song với mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng.
Câu 9: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Đáp án: B
Giải thích:
Theo định lý 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Câu 10: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: B
Giải thích:
Gọi là mp chứa a và song song b. có vtpt
Đồng thời qua A với
Do đó xác định duy nhất.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Hai mặt phẳng song song
Lý thuyết Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11