Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song.

1 2,450 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

A. Lý thuyết.

I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:

- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu d(α)  =M.

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu d(α).

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

II. Tính chất

- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Định lí. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

- Định lí. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O1 lần lượt là tâm của ABCD và ABEF, gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) OO1 // mp (BEC).

b) OO1 // mp (AFD)

Lời giải.

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a)  Xét tam giác ACE có O; O1 lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành).

Suy ra OO1 là đường trung bình trong tam giác ACE và OO1 // EC.

Mà EC thuộc mp (BEC) nên OO1 // mp (BEC)  (đpcm).

b) Tương tự; OO1 là đường trung bình của tam giác BFD nên OO1 // FD.

Mà FD nằm trong mp(AFD)

Suy ra: OO1 // mp (AFD) (đpcm).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC và (α)  là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là hình gì?

Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Qua H kẻ đường thẳng song song AB và đường thẳng này cắt BC, AC lần lượt tại M, N.

+ Từ N kẻ NP song song với CD PAD

 Từ P kẻ PQ song song với AB QBD.

+ Ta có: MN // PQ // AB

Suy ra 4 điểm M; N; P và Q đồng phẳng .

Suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là tứ giác MNPQ.

+ Ta chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Trước tiên, ta chứng minh  PN // QM.

Ta có:

PN  //  CDPN    mp(MNPQ),CDmp(BCD)QM  =mp(MNPQ)mp(BCD)

Suy ra: QM // PN // CD

Lại có: PQ // MN

Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB  sao cho AQ = 2QB. Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh: GQ // mp (BCD).

Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BD.

Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên  AGAM  =  23 (1)

Điểm Q thuộc AB  thỏa mãn: AQ = 2QB nên AQAB  =  23 (2).

Từ (1) và (2) suy ra  AGAM  =AQAB=  23.

Suy ra, GQ // BD  (định lí Ta-let đảo)

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD).

 Do đó, GQ // mp(BCD)   (đpcm).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC, AC, BD. Chứng minh:

a) P, R, Q, S  đồng phẳng

b) P, M, N, Q  đồng phẳng.

c) M, R, N, S  đồng phẳng.

Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Tam giác ABD có PS là đường trung bình nên PS // AB.   (1)

Tam giác ABC có RQ là đường trung bình nên RQ // AB  (2).

Từ (1) và (2) suy ra PS // RQ nên 4 điểm P, R, Q, S  đồng phẳng  (đpcm).

b) Tương tự ý a, ta có được PM // NQ // BD

Suy ra 4 điểm P, M, N, Q  đồng phẳng.

c) Ta có NR // AD // MS suy ra M, R, N, S  đồng phẳng.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: AMAB  =  14. Trên cạnh  AC lấy điểm N sao cho MN // mp(BCD) . Tính tỉ số ANNC?

Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Từ  MN // mp( BCD) ta chứng minh MN // BC .

Thật vậy, giả sử MN cắt BC  tại P.

Mà BC ⊂ mp(BCD)

 Đường thẳng MN cắt mp(BCD) tại P (mâu thuẫn với MN // mp(BCD)).

Vậy MN // BC.

- Xét tam giác ABC có: MN // BC

AMAB=  ANAC=  14 ( định lí Ta- let).

ANNC  =  13.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(SAD) và chứng minh giao tuyến đó song song với mp(SBC).

Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Ta tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(SAD) .

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Câu 1: Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a  và song song với b ?
A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số.

Đáp án: D

Giải thích:

Theo tính chất: Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 2: Cho tứ diện ABCD  có AB=CD . Mặt phẳng  α qua trung điểm của AC  và song song với AB, CD  cắt   theo thiết diện là

A. hình tam giác.

B. hình vuông.

C. hình thoi.

D. hình chữ nhật.

Đáp án: C

Giải thích:

 Trắc nghiệm Đường thẳng và mặt phẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 2)
Gọi M  là trung điểm của AC .
Ta có: MαABCα//ABABC

αABC=MN//AB , N  là trung điểm BC  .
 NαBCDα//CDBCD

αBCD=NP//CD,  P là trung điểm BD  .
PαBDAα//ABBDA

αBDA=PQ//AB ,  Q là trung điểm  AD.

MQ=αADCα//CDADCQM//CD
  
Khi đó thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Lại có: AB=CD  suy ra  MN=NP.

Vậy thiết diện cần tìm là hình thoi MNPQ .

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA (M không trùng với S và A). Mpα qua ba điểm M, B, C cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là:

A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Đáp án: B

Giải thích:

 Trắc nghiệm Đường thẳng và mặt phẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 3)
Ta có 

AD//BCMBCADMBCAD//MBC.

Ta có MBC//AD nên MBC và SAD có giao tuyến song song AD

Trong SAD, vẽ MN//ADNSD MN=MBCSAD.

Thiết diện của S.ABCD cắt bởi MBC là tứ giác BCNM. Do MN//BC (cùng song song AD) nên BCNM là hình thang.

Câu 4: Cho đường thẳng a nằm trong mpα và đường thẳng bα. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu b//α thì b//a.

B. Nếu b cắt α thì b cắt a 

C. Nếu b//a thì b//α.

D. Nếu b cắt αmpβ chứa b thì giao tuyến của α và β là đường thẳng cắt cả a và b.

Đáp án: C

Giải thích:

aαbαa//bb//α.

Câu 5: Cho mặt phẳng α và đường thẳng dα. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu d//α thì trong α tồn tại đường thẳng a sao cho a//d

B. Nếu d//α và đường thẳng bα thì b//d

C. Nếu d//cα thì d//α

D. Nếu dα=A và đường thẳng d'α thì d và d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Đường thẳng và mặt phẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 4)

Khi d//α và đường thẳng bα thì ngoài trường hợp b//d còn có trường hợp b và d chéo nhau.

Câu 6: Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mpP. Khẳng định nào sau đây không sai?

A.  a//b

B. a và  b cắt nhau.

C.  a và b chéo nhau.

D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Đường thẳng và mặt phẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 6)

Cho  mpP qua A,B,C  không thẳng hàng.

Giả sử a,b,c phân biệt là các đường thẳng nằm ngoài mpP thỏa mãn a//AB, b//AB, c//BC.  
Trong trường hợp này a//b.

Nếu a và c đồng phẳng thì a cắt c

Nếu  a và c không đồng phẳng thì a và c chéo nhau.

Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng ampP  và mpP// đường thẳng Δ a//Δ.

B. Δ//mpP Tồn tại đường thẳng Δ'mpP:Δ'//Δ.

C. Nếu đường thẳng Δ  song song với mpP và P cắt đường thẳng a thì Δ cắt đường thẳng

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì 2 đường thẳng đó song song nhau.

Đáp án: B

Giải thích:

 Trắc nghiệm Đường thẳng và mặt phẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 7)
Ta có   Δ//Δ'Δ'PΔ//P.

Câu 8: Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án: C

Giải thích:

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng là

• Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

• Đường thẳng song song với mặt phẳng.

• Đường thẳng cắt mặt phẳng.

Câu 9: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Đáp án: B

Giải thích:

Theo định lý 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 10: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ?

A.  0 

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi  α là  mp chứa a và song song b. α có vtpt nα=ua;ub 
Đồng thời α qua A với Aa.

Do đó α xác định duy nhất.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Vectơ trong không gian

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc 

1 2,450 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: