Lý thuyết Ôn tập chương 3 (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Ôn tập chương 3

A. Lý thuyết

1. Phương pháp quy nạp toán học

1.1 Định nghĩa

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

1.2 Ví dụ áp dụng

- Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}n=\frac{n(n+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$  (*)

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1 và vế phải = 1

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1  tức là:

 $1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k$$=\frac{k(k+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$ (1)

Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k+k+\text{}1$$=\frac{(k+\text{}1)(k+2)}{2}$  (2)

Thật vậy:

Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , ta có bất đẳng thức

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2n-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Lời giải:

- Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ (đúng).

Vậy bất đẳng thức cho đúng với n = 1.

- Giả sử bất đẳng thức cho  đúng với  mọi số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}$$<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$ (1)

-Ta chứng minh bất đẳng thức cho đúng với n = k + 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)(2k+\text{}1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k(2k+\text{\hspace{0.17em}}2)}$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$  (2)

Thật vậy, ta có :

$VT\left(2\right)=\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}=\frac{\sqrt{2k+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2k+\text{}2}$  (theo (1))

Ta chứng minh:

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

2. Định nghĩa dãy số.

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

$\begin{array}{l}u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ\\ n\mapsto u\left(n\right)\end{array}$

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃,…,u_n,..,

Trong đó, u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n), và gọi u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

- Ví dụ 1:

a) Dãy các số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; …có số hạng đầu u₁ = 2, số hạng tổng quát là u_n = 2n.

b) Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5 là 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u₁ = 5, số hạng tổng quát là u_n = 5n.

3. Định nghĩa dãy số hữu hạn.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,.., m} với  được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dạng khai triển của nó là u₁, u₂, u₃,…, u_m, trong đó u₁ là số hạng đầu, u_m là số hạng cuối.

- Ví dụ 2.

a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = 19.

b) $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}$ là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = $\frac{1}{6}$.

4. Cách cho một dãy số.

4.1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

- Ví dụ.

a) Cho dãy số (u_n) với u_n = n².   (1)

Từ công thức (1), ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn, u₁₀ = 10² = 100.

Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển ta được:

1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n²,….

b) Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{(-1)}^n}{n}$ có dạng khai triển là: $-1,\frac{1}{2},\frac{-1}{3},\frac{1}{4},\frac{-1}{5},$$\frac{1}{6},\mathrm{...},\frac{{(-1)}^n}{n},\mathrm{...}$

4.2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ. Số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Nếu lập dãy số (u_n) với u_n là giá trị gần đúng thiếu của số $\sqrt{2}$ với sai số tuyệt đối 10^-n thì:

u₁ = 1,4 ; u₂ = 1,41; u₃ = 1,414; u₄ = 1,4142,….

Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.

4.3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

- Ví dụ 5. Dãy số (u_n) được xác định như sau:

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=1;u_2=2\\ u_n=2u_{n-1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3u_{n-2}(n\ge 3)\end{array}\right.$

Dãy số như trên là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.

5. Biểu diễn hình học của dãy số.

Vì dãy số là một hàm số trên nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n ; u_n).

Ví dụ 6: Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{n}$ có biểu diễn hình học như sau:

6. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

6.1 Dãy số tăng, dãy số giảm.

- Định nghĩa 1:

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n +1} > u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Ví dụ 7. Dãy số (u_n) với u_n = 2 – 2n là dãy số giảm.

Thật vậy, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ xét hiệu u_{n +1} – u_n. Ta có:

u_{n +1} – u_n = 2 – 2(n + 1) – (2 – 2n) = – 2  < 0

Do u_{n +1} – u_n < 0 nên u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

- Chú ý:

Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn dãy số (u_n) với u_n = (– 1)ⁿ tức là dãy: – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1…không tăng cũng không giảm.

6.2 Dãy số bị chặn.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:

$u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:

$u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m; M sao cho:

$m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Ví dụ 8. Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$ bị chặn vì 0 < u_n ≤ 1.

7. Định nghĩa cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

u_n+1 = u_n + d với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$   (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; công sai d = 3.

8. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

- Định lí: Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = 1; d =5.

a) Tìm u₁₀.

b) Số 106 là số hạng thứ bao nhiêu?

Lời giải:

a) Số hạng thứ 10 là u₁₀ = u₁ + (10 – 1)d = 1 + 9.5 = 46.

b) Ta có: u_n = u₁ + (n – 1)d. Vì u_n =106 nên:

106 = 1 + (n – 1).5

105 = (n – 1).5

21 = n – 1 nên n = 22.

Vậy 106 là số hạng thứ 22.

9. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+\text{}1}}{2};k\ge 2$

10. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó:  $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

- Chú ý: vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên ta có: $S_n=n{u}_1^{}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{n(n-1)}{2}d$.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 2n + 5.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính tổng 40 số hạng đầu tiên.

c) Biết S_n = 187, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 2.1 + 5 = 7; u₂ = 2.2 + 5 = 9.

Suy ra, d = u₂ – u₁ = 2.

b) Tổng 40 số hạng đầu tiên là:

11. Định nghĩa cấp số nhân

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n\in \mathbb{N}*$.

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2.

12. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = – 1; q = – 2.

a) Tính u₆;

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: u₆ = u₁. q⁵ = –1. (– 2)⁵ = 32.

b) Ta có: u_n = u₁.q^{n - 1} nên 128 = – 1. (– 2)^{n - 1}

$\iff$(– 2)^{n - 1} = – 128 = (– 2)⁷.

$\iff$n – 1 = 7 nên n = 8.

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

13. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+\text{}1};k\ge 2$

( hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+\text{}1}}$).

14. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 3; u₂ = 9. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: u₂ = u₁.q nên 9 = 3q.

Suy ra, công bội q = 3.

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

$$\begin{gathered} S_8=\frac{u_1(1-q^8)}{1-q} \\ =\frac{3.(1-3^8)}{1-3}=9840 \end{gathered}$$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, chứng minh:

$$\begin{gathered} 1^2+\text{\hspace{0.17em}}{2}^2+3^2+\text{\hspace{0.17em}}\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}{n}^2= \\ \frac{n(n+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1).(2n+\text{\hspace{0.17em}}1)}{6} \end{gathered}$$

 Lời giải:

- Với n = 1 thì vế trái = 1² = 1 và vế phải = $\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6}=1$.

Vậy đẳng thức đúng với n = 1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:

$$\begin{gathered} 1^2+\text{\hspace{0.17em}}{2}^2+3^2+\text{\hspace{0.17em}}\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}{k}^2 \\ =\frac{k(k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1).(2k+\text{\hspace{0.17em}}1)}{6} \end{gathered}$$

- Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là chứng minh

Từ (1); (2) suy ra

$1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+k^2+{(k+1)}^2$$=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = k + 1. Suy ra có điều phải chứng minh.

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 4, ta có: 2^{n + 1} > n² + 3n.

Lời giải:

Bước 1: Với n = 4 thì vế trái bằng 2^{4 + 1} = 32 và vế phải bằng 4² + 3.4 = 28 .

Do 32 > 28 nên bất đẳng thức đúng với n = 4.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 4, nghĩa là 2^{k + 1} > k² + 3k.

Ta chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh

2^{(k + 1) + 1} > (k + 1)² + 3(k + 1) hay 2^{k + 2} > k² + 5k + 4

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2^{k + 1} > k² + 3k.

Suy ra, 2.2^{k + 1} > 2.(k² + 3k) hay 2^{k + 2} > 2k² + 6k.

Mặt khác: 2k² + 6k – (k² + 5k + 4) = k² + k – 4 ≥ 4² + 4 – 3 = 16 với mọi k ≥ 4.

Do đó, 2^{k + 2} > 2k² + 6k > k² + 5k + 4 hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Bài 3. Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng 7ⁿ + 5 chia hết cho 6 với n ≥ 1.

Lời giải:

Thật vậy: Với n = 1 thì 7¹ + 5 = 12 ⁝ 6.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 7^k + 5  chia hết cho 6.

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, nghĩa là phaỉ chứng minh 7^{k + 1} + 5 chia hết cho 6.

Ta có: 7^{k + 1} + 5 = 7(7^k + 5) – 30.

Theo giả thiết quy nạp thì (7^k + 5) ⁝ 6  nên 7(7^k + 5) ⁝ 6

Lại có: 30 ⁝ 6 nên (7^{k + 1} + 5) ⁝ 6

Vậy 7ⁿ + 5 chia hết cho 6 với mọi n ≥ 1 .

Bài 4. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

u₁ = 4 – 2.1 = 2;  u₂ = 4 – 2.2 = 0; u₃ = 4 – 2.3 = – 2;

u₄ = 4 – 2.4 = – 4; u₅ = 4 – 2.5 = – 6.

c) Ta có: 

$$\begin{gathered} u_1=\frac{1}{2};u_2=\frac{1}{3}; \\ {u}_3=\frac{1}{4};u_4=\frac{1}{5};u_5=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Bài 5. Cho dãy số (u_n) với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n}\end{array}\right.$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

Thật vậy, ta chứng minh u_n = n   (1)  bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n = 1 thì u₁ = 1.

Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với mọi n = k ≥ 1, ta có: u_k = k.

 Ta đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là: u_{k + 1} = k + 1.

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có:

u_{k+ 1} = u_k + (– 1)^2k = k + 1

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 6. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n) sau :

Lời giải:

a) Xét hiệu

Suy ra, u_{n + 1} > u_n $\forall n>1$. Do đó, dãy (u_n) là dãy tăng.

Mặt khác:

$\Rightarrow u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy (u_n) là dãy số tăng.

Lại có : $u_n>\frac{n^2+2n+\text{}1}{n+\text{\hspace{0.17em}}1}=n+1\ge 2$ nên dãy (u_n) bị chặn dưới.

Bài 7. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết:

Lời giải:

a) Ta có: u_n > 0 với mọi n ≥ 1.

Xét thương :

Suy ra: u_{n +1} < u_n với mọi n ≥ 1 nên dãy (u_n) là dãy số giảm.

- Lại có:

 $$\begin{gathered} \sqrt{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}n+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{n}^2}>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}n+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{n}^2}}<1 \end{gathered}$$

Vậy 0 < u_n < 1 nên dãy (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Ta có: u_n > 0 với mọi n ≥ 1.

Xét thương :

$$\begin{gathered} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}:\frac{2^n}{n!} \\ =\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}.\frac{n!}{2^n} \\ =\frac{2}{n+1}<1\forall n>1 \end{gathered}$$

Suy ra: u_{n +1} < u_n với mọi n ≥ 1 nên dãy (u_n) là dãy số giảm.

Vì $0<\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_n\le u_1=2\forall n\ge 1$ nên dãy (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 8. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn u₁ = 12; u₆ = – 18. Tìm u₈.

Lời giải:

Theo đề bài ta có;

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{u}_1=12\\ u_6=-18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1=12\\ u_1\text{}+\text{\hspace{0.17em}}5d=-18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1=12\\ d=-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra: u₈ = u₁ + 7d = 12 + 7.(– 6) = – 30.

Bài 9.Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau biết:

Lời giải:

Vậy số hạng đầu $u_1=\frac{21}{8}$ và công sai $d=\frac{9}{4}$.

b)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{u}_3+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_5=14\\ u_2.u_4=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1+\text{}2d+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_1+\text{\hspace{0.17em}}4d=14\\ (u_1+\text{}d).(u_1+\text{}3d)=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2u_1+\text{\hspace{0.17em}}6d=14\left(1\right)\\ (u_1+d).(u_1+\text{}3d)=21\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ (1) suy ra: u₁ = 7 – 3d thay vào (2) ta được:

(7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21

(7 – 2d). 7 = 21

7 – 2d = 3 nên d = 2

Suy ra: u₁ = 7 – 3.2 = 1.

Vậy u₁ = 1 và công sai d = 2.

Bài 10. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 3n + 1.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên.

c) Biết S_n = 209, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 3.1 + 1 = 4; u₂ = 3.2 + 1 = 7.

Suy ra, d = u₂ – u₁ = 3.

b) Tổng 20 số hạng đầu tiên là:

Bài 11. Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Lời giải:

Theo đầu bài ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{u}_4=108\\ u{}_2=3\end{array}\iff \right. \\ \left\{\begin{array}{c}{u}_1.q^3=108\left(1\right)\\ u{}_1.q=3\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được:

$\frac{u_1^{}{q}^3}{u_{1}q}=\frac{108}{3}$hay q² = 36.

Suy ra; q = 6 (vì q > 0)

Thay vào (2) ta được: u₁. 6 = 3 nên $u_1=\frac{1}{2}$.

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là: $u_n=\frac{1}{2}.6^n$.

Bài 12. Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm bốn số đó?

Lời giải:

Khi chèn thêm 4 số nữa vào giữa các số 160 và 5, ta được cấp số nhân với:

u₁ = 160 và u₆ = 5.

Vì u₆ = u₁.q⁵ nên 5 = 160.q⁵.

Bài 13. Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn $\left\{\begin{array}{c}{u}_2=6\\ S_3=43\end{array}\right.$. Tính u₁?

Lời giải: 

Ta có:

Bài 14. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\left\{\begin{array}{c}{u}_4\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_6=120\\ u_3+u_5=60\end{array}\right.$. Tính S₇?

Lời giải:

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: q = 2.

Thay q = 2 vào (1) ta được: u₁. 2³. (1 + 2²) = 120 nên u₁ = 3.

Khi đó:

$$\begin{gathered} S_7=\frac{u_1(1-q^7)}{1-q} \\ =\frac{3.(1-2^7)}{1-2}=381 \end{gathered}$$

Vậy S₇ = 381.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài: ôn tập chương 3

Câu 1: Cho cấp số nhân có 5 số hạng đầu là 1;4;16;64;256. Khi đó tổng của  số hạng đầu của cấp số nhân đó bằng

A.  $4^{n-1}.$

B. $\frac{n}{2}\left(1+4^{n-1}\right).$

C.   $\frac{4^n-1}{4-1}.$

D. $4.\frac{4^n-1}{4-1}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận xét: 1;4;16;64;256 là cấp số công có $u_1=1$, công bội $q=4.$

Áp dụng công thức cấp số nhân ta được:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{1\left(1-4^n\right)}{1-4}=\frac{4^n-1}{4-1}.$

Câu 2: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_2+u_4=10\\ u_1+u_3+u_5=-21\end{array}\right..$Tìm số hạng đầu và công bội

A. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-16\\ q=-2\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right..$

B. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-16\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$ hoặc  $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ q=-2\end{array}\right..$

C. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=16\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ q=-2\end{array}\right..$

D. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=16\\ q=-2\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right..$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_2+u_4=10\\ u_1+u_3+u_5=-21\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1.q+u_1.q^3=10\\ u_1+u_1.q^2+u_1.q^4=-21\end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{u_1+u_1.q^2+u_1.q^4}{u_1.q+u_1.q^3}=\frac{-21}{10}$

$\iff \frac{1+q^2+q^4}{q+q^3}=\frac{-21}{10}$

$\iff -21\left(q+q^3\right)=10\left(1+q^2+q^4\right)$

$\iff 10q^4+21q^3+10q^2+21q+10$$=0$

$\iff 10q^2+21q+10+\frac{21}{q}+\frac{10}{q^2}=0$

$\iff 10\left(q^2+\frac{1}{q^2}\right)+21\left(q+\frac{1}{q}\right)+10=0$

$\iff 10{\left(q+\frac{1}{q}\right)}^2+21\left(q+\frac{1}{q}\right)-10=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}q+\frac{1}{q}=\frac{2}{5}\\ q+\frac{1}{q}=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}5q^2-2q+5=0\\ 2q^2+5q+2=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}q=\frac{-1}{2}\Rightarrow u_1=-16\\ q=-2\Rightarrow u_1=-1\end{array}\right.$

Câu 3: Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng $\frac{1}{9}$ số đo của góc nhỏ thứ ba. Số đo của các góc trong tứ giác đó lần lượt là

A. $5°; 15°; 45°; 225°.$

B.  $9°; 27°; 81°; 243°.$

C.  $7°; 21°; 63°; 269°.$

D.  $8°; 32°; 72°; 248°.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $a,b,c,d$ lần lượt là số đo bốn góc cần tìm.

vì $a,b,c,d$ lập thành 1 cấp số nhân nên $b=\sqrt{ac};c=\sqrt{ad}.$

Theo đề ta có: $9a=c;$

Vậy ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{b}^2=ac\\ c^2=bd\\ c=9c\\ a+b+c+d=360°\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}b=3a\\ d=27a\\ c=9a\\ a+b+c+d=360°\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=9°\\ b=27°\\ c=81°\\ d=243°\end{array}\right..$

Câu 4: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=2{u_n}^2-15\end{array}\right.\left(\forall n\ge 1\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng và không là cấp số nhân.

B. $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân và không là cấp số cộng.

C. $\left(u_n\right)$ vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

D. $\left(u_n\right)$ không là cấp số cộng, không là cấp số nhân.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận xét:

$u_2=2.{\left(3\right)}^2-15=3=u_3=\mathrm{...}=u_n$ là cấp số cộng với công sai 0; là cấp số nhân với công bội 1.

Câu 5: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là $S_n=3n^2+4n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

A. $u_{10}=55.$

B.  $u_{10}=67.$

C.  $u_{10}=61.$

D. $u_{10}=59.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$S_n=3n^2+4n=\frac{n\left(8+6n\right)}{2}$

$=\frac{n\left(7+6n+1\right)}{2}$

$\Rightarrow u_n=6n+1$

$\Rightarrow u_{10}=61.$

Câu 6: Cho ba số $x; 5; 2y$ lập thành cấp số cộng và ba số $x; 4; 2y$ lập thành cấp số nhân thì $\left|x-2y\right|$ bằng

A. $\left|x-2y\right|=8.$

B. $\left|x-2y\right|=9.$

C. $\left|x-2y\right|=6.$

D. $\left|x-2y\right|=10.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x+\left(2y\right)=2.5\\ x.\left(2y\right)=4^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+2y=10\\ x.\left(2y\right)=16\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ 2y=2\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2y=8\end{array}\right..$

Từ đó, ta có $\left|x-2y\right|=\left|8-2\right|=6.$

Câu 7: Cho ba số $x, 5, 3y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số $x, 3, 3y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $\left|3y-x\right|$ bằng?

A. 8.

B. 6.

C. 9.

D. 10.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $x,5,3y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng

$\Rightarrow x+3y=5.2\iff x=10-3y.$

Lại có $x,3,3y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân

$\Rightarrow x.3y=3^2\iff xy=3.$

Do đó $y\left(10-3y\right)=3$

$\iff 3y^2-10y+3=0$

$\left[\begin{array}{l}y=3\Rightarrow x=1\Rightarrow \left|3y-x\right|=8\\ y=\frac{1}{3}\Rightarrow x=9\Rightarrow \left|3y-x\right|=8\end{array}\right.$

Vậy $\left|3y-x\right|=8.$

Câu 8: Cho cấp số nhân $\left(a_n\right)$. Dãy số nào dưới đây không phải là cấp số nhân?

A.  $a_1,a_3,a_5,\mathrm{...},a_{2n+1},\mathrm{...}$ 

B.  $a_1-3,a_2-3,a_3-3,\mathrm{...},a_n-3,\mathrm{...}$

C.   $2a_1,2a_2,2a_3,\mathrm{...2}{a}_n,\mathrm{...}$

D.  $\sqrt[3]{a_1},\sqrt[3]{a_2},\sqrt[3]{a_3},\mathrm{...},\sqrt[3]{a_n},\mathrm{...}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử cấp số nhân $\left(a_n\right)$ có công bội là q.

Trường hợp $a_1=0$ thì cả 4 dãy đều là cấp số nhân.

Trường hợp $q=1$ thì cả 4 dãy đều là cấp số nhân.

Trường hợp: $q\ne 1$ và $a_1\ne 0$ ta có:

* Dãy số $a_1,a_3,a_5,\mathrm{...},a_{2n+1},\mathrm{...}$ có $\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}=\mathrm{...}=q^2$ nên dãy số này là cấp số nhân có công bội là $q^2.$

* Dãy số $a_1-3,a_2-3,a_3-3,\mathrm{...},a_n-3,\mathrm{...}$có

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_2-3}{a_1-3}=\frac{a_1.q-3}{a_1-3}\\ \frac{a_3-3}{a_2-3}=\frac{a_1.q^2-3}{a_1.q-3}\end{array}\right.$

Mà  

$\frac{a_1.q-3}{a_1-3}=\frac{a_1.q^2-3}{a_1.q-3}$

$\iff {\left(a_1.q-3\right)}^2=\left(a_1-3\right)\left(a_1.q^2-3\right)$

$\iff 3a_1\left(1-2q+q^2\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{a}_1=0\\ q=1\end{array}\right.$

nên dãy số $a_1-3,a_2-3,a_3-3,\mathrm{...},a_n-3,\mathrm{...}$ không là cấp số nhân trong trường hợp $q\ne 1$ và $a_1\ne 0.$

* Dãy số $2a_1,2a_2,2a_3,\mathrm{...},2a_n,\mathrm{...}$ có $\frac{2a_2}{2a_1}=\frac{2a_3}{2a_2}=\mathrm{...}=\frac{2a_n}{2a_{n-1}}=\mathrm{...}=q$ nên dãy số này là cấp số nhân có công bội là q.

* Dãy số $\sqrt[3]{a_1},\sqrt[3]{a_2},\sqrt[3]{a_3},\mathrm{...},\sqrt[3]{a_n}$ có $\frac{\sqrt[3]{a_2}}{\sqrt[3]{a_1}}=\frac{\sqrt[3]{a_3}}{\sqrt[3]{a_2}}=\mathrm{...}=\frac{\sqrt[3]{a_n}}{\sqrt[3]{a_{n-1}}}=\mathrm{...}=\sqrt[3]{q}$ nên dãy số này là cấp số nhân có công bội là $\sqrt[3]{q}.$ 

Câu 9: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^4-\left(m+1\right)x^2+m=0$ có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Tổng giá trị của các phần tử thuộc S là

A. $\frac{91}{9}.$

B. $\frac{28}{9}.$

C. $\frac{13}{9}.$

D. $\frac{82}{9}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Đặt $t=x^2,\left(t\ge 0\right).$

$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{x}^4-\left(m+1\right)x^2+m=0\left(1\right)$

trở thành $t^2-\left(m+1\right)t+m=0\left(2\right)$

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng thì (2) phải có hai nghiệm thỏa:

$\left\{\begin{array}{l}0<t_1<t_2\\ t_2=4t_1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ P>0\\ S>0\\ t_2=9t_1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m+1\right)}^2-4m>0\\ t_1.t_2=m>0\\ t_1+t_2=m+1>0\\ t_2=9t_1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-1\right)}^2>0\\ t_1.t_2=m>0\\ t_1+t_2=m+1>0\\ t_2=9t_1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=9\\ m=\frac{1}{9}\end{array}\right.\Rightarrow S=\left\{\frac{1}{9};9\right\}.$

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc S là $\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}.$

Câu 10: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=6u_n+15\left(\forall n\ge 1\right)\end{array}\right.$. Tìm chữ số hàng đơn vị của $u_{2018}?$

A. 6.

B. 9.

C. 4.

D. 3.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $u_{n+1}=6u_n+15$

$\iff u_{n+1}+3=6\left(u_n+3\right)$

Xét $\left(v_n\right):\left\{\begin{array}{l}{v}_1=u_1+3=6\\ v_{n+1}=6v_n\end{array}\right.$ với $v_n=u_n+3$.

Suy ra $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân với $v_1=6$, công bội $q=6$ và $v_n-3=u_n.$

$u_{2018}=v_{2018}-3$

$=6^{2017}.6-3$

$=6^{2018}-3$

Vì chữ số tận cùng của $6^{2018}$ là 6 nên chữ số tận cùng của $u_{2018}$ là 3.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Hàm số liên tục 

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm