Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

1. Định nghĩa.

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vecto còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{x};\overrightarrow{y}\mathrm{....}$

- Các khái niệm liên quan đến vecto như giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của vecto, vecto – không, sự bằng nhau của hai vecto … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

- Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng.

- Phép cộng vecto trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vecto trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vecto trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vecto trong hình học phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh $\overrightarrow{DA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{DC}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}$

Ta có: 

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BC}\\ =\overrightarrow{DC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\overrightarrow{BC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{DC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{BA}\end{array}$

( điều phải chứng minh).

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

Trong không gian cho ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{0}$. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành  ABEF  và K  là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{IK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.

Lời giải:

Xét  tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là  đường trung bình của tam   giác.

$\Rightarrow$ IK// AC nên  IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}IK\text{//}\left(ABCD\right)\\ GF\text{//}\left(ABCD\right)\\ BD\subset \left(ABCD\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD},\overrightarrow{IK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

- Định lí 1.

Trong không gian cho hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương và vecto $\overrightarrow{c}$. Khi đó, ba vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m; n sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$. Ngoài ra, cặp số m; n là suy nhất.

- Định lí 2.

Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$. Khi đó, với mọi vecto ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$. Ngoài ra, bộ ba số m; n; p là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M  là trung điểm của  BB’ . Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{A\text{}A\text{'}}=\overrightarrow{c}$. Phân tích vecto $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

 Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ (vì  M là  trung  điểm của BB’) .

$=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{c};\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{d}$. Chứng minh: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}$

Lời giải:

Gọi O  là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}\\ \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}\end{array}\right.$ (do tính chất của đường trung tuyến)

$\Rightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\iff \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G  là trọng tâm tam giác  BCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{y};\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{z}$. Phân tích vecto theo các vecto $\overrightarrow{x};\overrightarrow{y};\overrightarrow{z}$

Lời giải:

Gọi M  là trung điểm CD.

Ta  có :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BM} \\ =\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\right) \\ =\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left[\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)-\overrightarrow{AB}\right] \\ =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right) \\ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right) \end{gathered}$$

( do M là  trung điểm của CD)) 

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I  và  K lần lượt là tâm của hình bình hành  ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.                                    

b) Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) $\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{IK}=2\overrightarrow{BC}$.                                        

d) Ba vectơ $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$ đồng phẳng.

Lời giải:

a) Do tính chất đường trung bình trong  tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’ nên ta có: $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

b) Do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK// AC

Suy ra, bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC} \\ =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} \\ =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$

d) Vì giá của ba vectơ $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Câu 1: Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Một đường thẳng $∆$ cắt các đường thẳng $AA\text{'},BC,C\text{'}D\text{'}$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\overrightarrow{NM}=2\overrightarrow{NP}$. Tính $\frac{MA}{MA\text{'}}$.

A. $\frac{MA}{MA\text{'}}=1$

B. $\frac{MA}{MA\text{'}}=\sqrt{2}$

C. $\frac{MA}{MA\text{'}}=2$

D. $\frac{MA}{MA\text{'}}=\sqrt{3}$

Câu 2: Giả sử $M, N, P$ là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh $SA, SB, SC$ cỏ tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng $\left(BCM\right), \left(CAN\right), \left(ABP\right)$ và J là giao điểm của ba mặt phẳng $\left(ANP\right), \left(BPM\right), \left(CMN\right)$.

Ta được $S, I, J$ thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+\frac{1}{2}=\frac{JS}{JI}$

B. $\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+\frac{1}{4}=\frac{JS}{JI}$

C. $\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+\frac{1}{3}=\frac{JS}{JI}$

D. $\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+1=\frac{JS}{JI}$

Câu 3: Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Xác định vị trí các điểm $M,N$ lần lượt trên $AC$ và $DC\text{'}$ sao cho $MN\parallel BD\text{'}$. Tính tỉ số $\frac{MN}{BD\text{'}}$ bằng?

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},$

$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DP}=k\overrightarrow{DC}$.

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. $k=\frac{1}{2}$

B. $k=\frac{1}{3}$

C. $k=\frac{1}{4}$

D. $k=\frac{1}{5}$

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$.

B. Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ nên bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.

C. Vì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{0}$ nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}-8\overrightarrow{AD}$ ta suy ra ba vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng.

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia $Ox,Oy,Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$. Khi đó ba véctơ $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n  sao cho $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=m\stackrel{\rightharpoonup }{a}+n\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có $m\stackrel{\rightharpoonup }{a}+n\stackrel{\rightharpoonup }{b}+p\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$ và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ đồng phẳng.

Câu 7: Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow{IA}+(2k-1)\overrightarrow{IB}+k\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$

A. $k=2$

B. $k=4$

C. $k=1$

D. $k=0$

Câu 8: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng thì từ $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ ta suy ra $m=n=p=0$

B. Nếu có $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$, trong đó $m^2+n^2+p^2>0$ thì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m+n+p\ne 0$ ta có $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ thì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

D. Nếu giá của $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng qui thì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Câu 9: Cho hình lăng trụ $ABC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$, M là trung điểm của. Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

B. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

C. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

D. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c},$ $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{d}$. Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

B. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

C. $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=0$

D. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc 

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết Khoảng cách

Lý thuyết Ôn tập chương 5