Lý thuyết Giới hạn của dãy số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11
Lý thuyết Giới hạn của dãy số lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số.
Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: hay un → 0 khi n → +∞.
Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với . Tìm giới hạn dãy số
Giải
Xét
Với n > 10 n2 > 102 = 100
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu
Kí hiệu: hay vn → a khi n → +∞.
Ví dụ 2. Cho dãy số . Chứng minh rằng .
Giải
Ta có
Do đó: .
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) với k nguyên dương;
b) nếu |q| < 1;
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì .
Chú ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là lim un = a.
II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Định lí 1
a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
(nếu )
Nếu với mọi n và limun = a thì:
và
Ví dụ 3. Tính
Giải
Ví dụ 4. Tìm
Giải
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Giải
Ta có dãy số là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội .
Khi đó ta có:
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.
Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;
b) lim qn = +∞ nếu q > 1.
3. Định lí 2
a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì
b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì
c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì
Ví dụ 6. Tính .
Giải
Vì và
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)
Lời giải
a)
b)
c)
Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Lời giải
Số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: .
Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là:
Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:
Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3.
Bài 3. Biết dãy số (un) thỏa mãn với mọi n. Chứng minh rằng limun = 1.
Lời giải
Đặt vn = un - 1
Chọn số dương bé tùy ý d, tồn tại với mọi sao cho:
Theo định nghĩa ta có: limvn = 0.
Do đó: lim (un – 1) = 0
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) lim(n3 + 2n2 – n + 1).
Lời giải
a)
b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) =
(Vì ).
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Câu 1: Cho cấp số nhân .Khi đó:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:
Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn 0 ?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Dãy số mà có giới hạn 0.
Câu 3: Cho là một cấp số nhân công bội và số hạng đầu ,
Đặt . Giá là:
A. 1
B. 23
C. 43
D. 3
Đáp án: D
Giải thích:
Do nên cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn:
Câu 4: Cấp số nhân có . Đặt ), khi đó:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Vì nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân công bội
.
Theo công thức tính tổng ta được:
Câu 5: Giá trị của bằng:
A. +∞
B.
C. 0
D. 1
Đáp án: B
Giải thích:
Câu 6: Biết . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có:
Câu 7: Biết . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có :
Câu 8: Cho hai dãy số , với ,.
Biết . Chọn kết luận không đúng:
A.
B.
C.
D. Không tồn tại
Đáp án: D
Giải thích:
Dễ thấy nên A đúng.
Do và nên
hay
Do đó các đáp án B và C đúng.
Câu 9: Giới hạn bằng :
A. −∞.
B. +∞.
C. 3.
D. −5.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có:
Vì
Câu 10: Giới hạn bằng?
A. −4.
B. −1.
C. 5.
D. .
Đáp án: C
Giải thích:
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11