Lý thuyết Giới hạn của dãy số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Giới hạn của dãy số lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số.

1 11111 lượt xem
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn+un=0 hay un → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với un=1nn2. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét un=1n2=1n2

Với n > 10 n2 > 102 = 100

un=1n2=1n2<1100limnun=0

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn+vna=0

Kí hiệu: limn+vn=a hay vn → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số vn=n13+2n. Chứng minh rằng limnvn=12.

Giải

Ta có limnvn+12=limnn13+2n+12=limn=123+2n=0

Do đó: limnvn=12.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) limn+1n=0,limn+1nk=0 với k nguyên dương;

b) limn+qn nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limn+un=limn+c=c.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn+un=a ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab (nếu b0)

Nếu un0 với mọi n và limu= a thì:

limun=a và a0.

Ví dụ 3. Tính limn22n+1

Giải

limn22n+1=limn3+n22n+1=lim1+1n2n31n2+1n3=lim1+1n2n3:lim1n2+1n3=lim1+lim1nlim2n3:lim1n2+lim1n3=+

Ví dụ 4. Tìm lim2+9n21+4n

Giải

lim2+9n21+4n=limn22n2+9n1n+4=limn2n2+9n1n+4=lim2n2+91n+4=34.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...=u11qq<1

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1;12;14;18;...;12n1;...

Giải

Ta có dãy số 1;12;14;18;...;12n1;... là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=12.

Khi đó ta có:

Lý thuyết Giới hạn của dãy số chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Giới hạn của dãy số chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì limunvn=0

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì limunvn=+

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limun.vn=+

Ví dụ 6. Tính lim2n+1n.

Giải

lim2n+1n=lim2n+lim1n

lim2n=+ và lim1n=0

lim2n+1n=+

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim2n+8n9;

b) lim4n312n21+2n3;

c) lim3n4n+12.4n+2n.

Lời giải

a) lim2n+8n9=lim2+8n19n=2.

b)

 lim4n312n21+2n3=lim4n3112n1n3+2=12.

c)

lim3n4n+12.4n+2n=lim34n1+14n2+12n=12.

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là 23 và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n.

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u1=1

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: S=u11q=1123=113=3.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3.

Bài 3. Biết dãy số (un) thỏa mãn un1<1n3 với mọi n. Chứng minh rằng limun = 1.

Lời giải

Đặt vn = un  - 1

Chọn số dương bé tùy ý d, tồn tại n0=1d3+1 với mọi nn0 sao cho:

vn<1n3<1n03=11d3+13<11d33=d

Theo định nghĩa ta có: limvn = 0.

Do đó: lim (un – 1) = 0

limun=1.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) limn2+nn21;

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1).

Lời giải

a)

limn2+nn21=limn2+nn21n2+n+n21n2+n+n21=limn+1n2+n+n21=lim1+1n1+1n+11n2=11+1=12.

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) = limn31+2n1n2+1n3=limn3.lim1+2n1n2+1n3=

(Vì limn3=,lim1+2n1n2+1n3=1).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Câu 1: Cho cấp số nhân un=12nn1 .Khi đó:

A. S=1 

B.  S=12n

C.  S=0

D.  S=2

Đáp án: A

Giải thích:

Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:

u1=12;q=12

S=u11q=12112=1

Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn 0 ?

A. un=n2

B.  un=2n

C.  un=n

D.  un=n

Đáp án: B

Giải thích:

Dãy số un mà un=2n có giới hạn 0.

Câu 3: Cho un là một cấp số nhân công bội q=13 và số hạng đầu u1=2,

Đặt S=u1+u2+...+un . Giá limSn là:

A.   1

B.   23

C.   43

D.   3

Đáp án: D

Giải thích:

Do 0<q=13<1 nên cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+...+un

=u1(1qn)1q

limSn=u1(1qn)1q

=u11q=2113=3

Câu 4: Cấp số nhân un có u1=2,u2=1. Đặt Sn=u1+u2+...+un ), khi đó:

A.  Sn=4112n

B.  Sn=4

C.  Sn=2

D.  Sn=112n

Đáp án: A

Giải thích:

Vì Sn=u1+u2+...+un nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân công bội 

q=  u2u1=12.

Theo công thức tính tổng Sn=u1(1qn)1q ta được:

Sn=2(112n)112=4112n

Câu 5: Giá trị của C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1 bằng:

A.  +∞

B.  12

C.  0

D.  1

Đáp án: B

Giải thích:

C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1

=lim3.3n+4n3.3n+4.4n

=lim3.34n+13.34n+4

=3.0+13.0+​  4=12

Câu 6: Biết limun=3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. lim3un1un+1=3

B. lim3un1un+1=1

C.  lim3un1un+1=2

D.  lim3un1un+1=1

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

lim3un1un+1=3limun1limun+1

=3.313+1=84=2

Câu 7: Biết limun=+. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.  limun+13un2+5=1

B.  limun+13un2+5=0

C.  limun+13un2+5=13

D.  limun+13un2+5=+

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có : 

limun+13un2+5=limun21un+1un2un23+5un2

=lim1un+1un23+5un2=0+03+0=0

Câu 8: Cho hai dãy số un , vn với un=1n,vn=1nn.

Biết  (1)nn1n. Chọn kết luận không đúng:

A.  limun=0

B.  limvn=0

C.  limunlimvn=0

D.  Không tồn tại 

Đáp án: D

Giải thích:

Dễ thấy limun=0 nên A đúng.

Do  (1)nn1n và lim1n=0 nên 

lim1nn=0 hay limvn=0

Do đó các đáp án B và C đúng.

Câu 9: Giới hạn lim3.2n+15.3n+7n bằng :

A.  −∞.

B.  +∞.

C.  3.

D.  −5.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 

lim3.2n+15.3n+7n

=lim6.2n5.3n+7n

=lim3n623n5+7n3n

=

Vì lim​  3n=+  ;

lim623n5+7n3n

=6.05+7.0=  5<​  0

Câu 10: Giới hạn lim25n3(n+1)2225n5 bằng?

A.   −4.

B.   −1.

C.   5.

D.   32.

Đáp án: C

Giải thích:

lim(25n)3(n+1)2225n5

=lim(25n)3n3.(n+1)2n2225n5n5

=lim25nn3.n+1n22n525

lim2n53.1+​ 1n22n525

=053(1+0)2025

=53.1225=5

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giới hạn của hàm số 

Lý thuyết Hàm số liên tục 

Lý thuyết Ôn tập chương 4 

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

1 11111 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: