Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

A. Lý thuyết.

I. Công thức nhị thức Niu- tơn

Ta có:

- Công thức nhị thức Niu – tơn.

$$\begin{gathered} {(a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+b)}^n=C_n^0{a}^n+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_n^1.a^{n-1}b \\ +\text{\hspace{0.17em}}\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_n^k.a^{n-k}{b}^k\text{\hspace{0.17em}}+\text{}\mathrm{....}+ \\ \text{}{C}_n^{n-1}a{b}^{n-1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_n^n{b}^n \end{gathered}$$

- Hệ quả:

Với a = b = 1 ta có: $2^n=C_n^0+\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^1+\text{}\mathrm{...}\text{}+\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^n$

Với a = 1; b = – 1 ta có: $0=C_n^0-\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^1+\text{}\mathrm{...}$$+\text{}{(-1)}^k.C_n^k+\text{}\mathrm{...}\text{}+{(-1)}^n\text{\hspace{0.17em}}{C}_n^n$

- Chú ý:

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

a) Số các hạng tử là n + 1.

b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước $a^0=b^0=1$).

c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

- Ví dụ 1. Khai triển biểu thức: (a – b)⁵.

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có:

- Ví dụ 2. Khai triển biểu thức: (3x – 2)⁴.

II. Tam giác Pa- xcan

Trong công thức nhị thức Niu – tơn ở mục I, cho n = 0; 1; … và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa- xcan.

- Nhận xét:

Từ công thức $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó.

Ví dụ 3. $C_6^2=C_5^1+C_5^2=5+10=15$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu- tơn.

a) (2x – 1)⁶.

b) (2x + 2y)⁵.

Lời giải:

Theo khai triển nhị thức Niu- tơn ta có:

a)

b)

Bài 2. Tìm hệ số chứa x⁴ trong khai triển biểu thức ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{10}$.

Lời giải:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

$\begin{array}{l}{T}_{k+\text{}1}=C_{10}^k.x^{10-k}.{\left(\frac{-1}{x}\right)}^k\\ =C_{10}^k.{\left(-1\right)}^k.x^{10-2k}\end{array}$

Để số hạng này chứa x⁴ thì điều kiện là:

10 – 2k = 4 nên k = 3.

Vậy hệ số chứa x⁴ trong khai triển đã cho là: $C_{10}^3.{(-1)}^3=-120$.

Bài 3. Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (2x + 3y)¹²

Lời giải:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: 

$$\begin{gathered} T_{k+\text{}1}=C_{12}^k.{\left(2x\right)}^{12-k}.{\left(3y\right)}^k \\ =C_{12}^k.2^{12-k}{.3}^k.{\left(x\right)}^{12-k}.y^k \end{gathered}$$

Suy ra, số hạng thứ 8 trong khai triển ứng với k + 1 = 8 nên k = 7.

Vậy số hạng thứ 8 trong khai triển là:

$$\begin{gathered} T_8=C_{12}^7{.2}^5{.3}^7.x^5.y^7 \\ =55427328x^5.y^7 \end{gathered}$$

Bài 4. Biết hệ số của x³ trong khai triển của (2 – 4x)ⁿ là –10 240.  Tìm n.

Lời giải:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

$$\begin{gathered} T_{k+1}=C_n^k{.2}^{n-k}.{(-4x)}^k \\ =C_n^k{.2}^{n-k}.{(-4)}^k{x}^k \end{gathered}$$

Để số hạng này chứa x³ thì k = 3.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Nhị Thức Newton

Câu 1: Trong khai triển ${\left(3x^2-y\right)}^{10}$, hệ số của số hạng chính giữa là:

A. $3^4.C_{10}^4$

B. $-3^4.C_{10}^4$

C. $3^5.C_{10}^5$

D. $-3^5.C_{10}^5$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Trong khai triển ${\left(3x^2-y\right)}^{10}$ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ .

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là $-3^5.C_{10}^5$.

Câu 2: Trong khai triển ${\left(2x-5y\right)}^8$, hệ số của số hạng chứa $x^5.y^3$ là:

A. $-22400$

B. $-40000$

C. -8960

D. -4000

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}={(-1)}^k{C}_8^k.{\left(2x\right)}^{8-k}{\left(5y\right)}^k$

$={(-1)}^k{C}_8^k{.2}^{8-k}{5}^k.x^{8-k}.y^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi . Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^5.y^3$ là:$-22400$.

Câu 3: Trong khai triển ${\left(2a-b\right)}^5$, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

A. -80

B. 80

C. -10

D. 10

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: ${\left(2a-b\right)}^5$

$=C_5^0{\left(2a\right)}^5-C_5^1{\left(2a\right)}^{4}b+C_5^2{\left(2a\right)}^3{b}^2\dots$

Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng $C_5^2.8=80$.

Câu 4: Trong khai triển nhị thức ${\left(a+2\right)}^{n+6},\left(n\in \mathbb{N}\right)$ . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

A.  17

B.  11

C.  10

D.  12

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Trong khai triển ${\left(a+2\right)}^{n+6},\left(n\in \mathbb{N}\right)$ có tất cả n + 7  số hạng.

Do đó $n+7=17\iff n=10$.

Câu 5: Trong khai triển ${\left(x+\frac{2}{\sqrt[]{x}}\right)}^6$, hệ số của $x^3,\left(x>0\right)$ là:

A.  60

B.  80

C.  160

D. 240

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_6^k.x^{6-k}{2}^k.x^{-\frac{1}{2}k}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

$6-k-\frac{1}{2}k=3\iff k=3$.

Khi đó hệ số của $x^3$ là: $C_6^3{.2}^3=160$.

Câu 6: Trong khai triển ${\left(a^2+\frac{1}{b}\right)}^7$, số hạng thứ 5 là:

A.  $35.a^6.b^{-4}$

B.  $-35.a^6.b^{-4}$

C.  $35.a^4.b^{-5}$

D. $-35.a^4.b$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 

$T_{k+1}=C_7^k.a^{14-2k}.b^{-k}$

Vậy số hạng thứ 5 là

$T_5=C_7^4.a^6.b^{-4}=35.a^6.b^{-4}$

Câu 7: Trong khai triển ${\left(2a-1\right)}^6$, tổng ba số hạng đầu là:

A. $2a^6-6a^5+15a^4$

B. $2a^6-15a^5+30a^4$

C. $64a^6-192a^5+480a^4$

D. $64a^6-192a^5+240a^4$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

${\left(2a-1\right)}^6$

$=C_6^0{.2}^6{a}^6-C_6^1{.2}^5{a}^5+C_6^2{.2}^4{a}^4-\mathrm{...}$

Vậy tổng 3 số hạng đầu là $64a^6-192a^5+240a^4$.

Câu 8: Trong khai triển ${\left(x+\frac{8}{x^2}\right)}^9$, số hạng không chứa x là:

A. 4308

B. 86016

C. 84

D. $43008$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_9^k.x^{9-k}{8}^k.x^{-2k}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

$9-k-2k=0\iff k=3$.

Khi đó số hạng không chứa x là: $C_9^3{.8}^3=43008$.

Câu 9:  Trong khai triển ${\left(2x-1\right)}^{10}$, hệ số của số hạng chứa $x^8$ là:

A. -11520

B. 45

C. 256

D. 11520

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_{10}^k{.2}^{10-k}.x^{10-k}.{\left(-1\right)}^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

$10-k=8\iff k=2$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^8$ là:$C_{10}^2{.2}^8=11520$.

Câu 10: Trong khai triển ${\left(a-2b\right)}^8$, hệ số của số hạng chứa $a^4.b^4$ là:

A. 1120

B. 560

C. 140

D. 70

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_8^k.a^{8-k}.{\left(-2\right)}^k.b^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi  k = 4.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $a^4.b^4$ là: $C_8^4{.2}^4=1120$.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép thử và biến cố

Lý thuyết Xác suất của biến cố 

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học 

Lý thuyết Dãy số