Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác.

    1 2,865 25/01/2023
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

    Bài giảng Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

    A. Lý thuyết.

    I. Công thức nhị thức Niu- tơn

    Ta có:

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    - Công thức nhị thức Niu – tơn.

    (a​  +  b)n  =  Cn0an  +​  Cn1.an−1b+​ ...+​  Cnk.an−kbk ​+​....+​Cnn−1abn−1+​  Cnnbn

    - Hệ quả:

    Với a = b = 1 ta có: 2n  = Cn0 +​ Cn1 +​...​+​ Cnn

    Với a = 1; b = – 1 ta có: 0  = Cn0 −​ Cn1 +​...+​(−1)k.Cnk+​...​+(−1)n​ Cnn

    - Chú ý:

    Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

    a) Số các hạng tử là n + 1.

    b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0=b0=1).

    c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

    - Ví dụ 1. Khai triển biểu thức: (a – b)5.

    Lời giải:

    Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có:

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    - Ví dụ 2. Khai triển biểu thức: (3x – 2)4.

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    II. Tam giác Pa- xcan

    Trong công thức nhị thức Niu – tơn ở mục I, cho n = 0; 1; … và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa- xcan.

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    - Nhận xét:

    Từ công thức Cnk =  Cn−1k−1  +  Cn−1k suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó.

    Ví dụ 3. C62=C51+C52=5+10=15.

    B. Bài tập tự luyện

    Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu- tơn.

    a) (2x – 1)6.

    b) (2x + 2y)5.

    Lời giải:

    Theo khai triển nhị thức Niu- tơn ta có:

    a)

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    b)

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Bài 2. Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển biểu thức x− 1x10.

    Lời giải:

    Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

    Tk+​1  =  C10k.x10−k.−1xk=  C10k.-1k .x10−2k

    Để số hạng này chứa x4 thì điều kiện là:

    10 – 2k = 4 nên k = 3.

    Vậy hệ số chứa x4 trong khai triển đã cho là: C103.(−1)3  =  −120.

    Bài 3. Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (2x + 3y)12

    Lời giải:

    Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: 

    Tk+​1  =  C12k. (2x)12−k. (3y)k  =  C12k. 212−k.3k.(x)12−k.yk

    Suy ra, số hạng thứ 8 trong khai triển ứng với k + 1 = 8 nên k = 7.

    Vậy số hạng thứ 8 trong khai triển là:

    T8  = C127.25.37.x5.y7=55 427 328x5.y7

    Bài 4. Biết hệ số của x3 trong khai triển của (2 – 4x)n là –10 240.  Tìm n.

    Lời giải:

    Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

    Tk+1  =  Cnk .2n−k. (−4x)k=Cnk .2n−k. (−4)kxk

    Để số hạng này chứa x3 thì k = 3.

    Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Nhị Thức Newton

    Câu 1: Trong khai triển 3x2−y10, hệ số của số hạng chính giữa là:

    A. 34.C104

    B. −34.C104

    C. 35.C105

    D. −35.C105

    Đáp án: D

    Giải thích:

    Trong khai triển 3x2−y10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ .

    Vậy hệ số của số hạng chính giữa là −35.C105.

    Câu 2: Trong khai triển 2x−5y8, hệ số của số hạng chứa x5.y3 là:

    A. −22400

    B. −40000

    C. -8960

    D. -4000

    Đáp án: A

    Giải thích:

    Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

    Tk+1=(−1)kC8k.(2x)8−k(5y)k

    =(−1)kC8k.28−k5k.x8−k.yk

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi . Khi đó hệ số của số hạng chứa x5.y3 là:−22400.

    Câu 3: Trong khai triển 2a−b5, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

    A. -80

    B. 80

    C. -10

    D. 10

    Đáp án: B

    Giải thích:

    Ta có: 2a−b5

    =C502a5−C512a4b+C522a3b2…

    Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C52.8=80.

    Câu 4: Trong khai triển nhị thức a+2n+6,n∈ℕ . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

    A.  17

    B.  11

    C.  10

    D.  12

    Đáp án: C

    Giải thích:

    Trong khai triển a+2n+6,n∈ℕ có tất cả n + 7  số hạng.

    Do đó n+7=17⇔n=10.

    Câu 5: Trong khai triển x+2x6, hệ số của x3,x>0 là:

    A.  60

    B.  80

    C.  160

    D. 240

    Đáp án: C

    Giải thích:

    Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

    Tk+1=C6k.x6−k2k.x−12k

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi

    6−k−12k=3⇔k=3.

    Khi đó hệ số của x3 là: C63.23=160.

    Câu 6: Trong khai triển a2+1b7, số hạng thứ 5 là:

    A.  35.a6.b−4

    B.  −35.a6.b−4

    C.  35.a4.b−5

    D. −35.a4.b

    Đáp án: A

    Giải thích:

    Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 

    Tk+1=C7k.a14−2k.b−k

    Vậy số hạng thứ 5 là

    T5=C74.a6.b−4=35.a6.b−4

    Câu 7: Trong khai triển 2a−16, tổng ba số hạng đầu là:

    A. 2a6−6a5+15a4

    B. 2a6−15a5+30a4

    C. 64a6−192a5+480a4

    D. 64a6−192a5+240a4

    Đáp án: D

    Giải thích:

    Ta có:

    2a−16

    =C60.26a6−C61.25a5+C62.24a4−...

    Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a6−192a5+240a4.

    Câu 8: Trong khai triển x+8x29, số hạng không chứa x là:

    A. 4308

    B. 86016

    C. 84

    D. 43008

    Đáp án: D

    Giải thích:

    Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

    Tk+1=C9k.x9−k8k.x−2k

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi

    9−k−2k=0⇔k=3.

    Khi đó số hạng không chứa x là: C93.83=43008.

    Câu 9:  Trong khai triển 2x−110, hệ số của số hạng chứa x8 là:

    A. -11520

    B. 45

    C. 256

    D. 11520

    Đáp án: D

    Giải thích:

    Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

    Tk+1=C10k.210−k.x10−k.−1k

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi

    10−k=8⇔k=2.

    Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 là:C102.28=11520.

    Câu 10: Trong khai triển a−2b8, hệ số của số hạng chứa a4.b4 là:

    A. 1120

    B. 560

    C. 140

    D. 70

    Đáp án: A

    Giải thích:

    Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

    Tk+1=C8k.a8−k.−2k.bk

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi  k = 4.

    Khi đó hệ số của số hạng chứa a4.b4 là: C84.24=1120.

    Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

    Lý thuyết Phép thử và biến cố

    Lý thuyết Xác suất của biến cố 

    Lý thuyết Ôn tập chương 2

    Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học 

    Lý thuyết Dãy số

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 2,865 25/01/2023
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: