Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

A. Lý thuyết

I. Hoán vị

1. Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu: P_n là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: P_n = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: P_n = n!.

- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.

Lời giải:

Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.

II. Chỉnh hợp

1. Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.

2. Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:

$A_n^k=n(n-1)\mathrm{...}(n-k+\text{\hspace{0.17em}}1)$

- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E  ta lập được bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.

Lời giải:

Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Số vecto khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:

Do đó, ta có: $A_5^2=\mathrm{5.4.3}=60$ vectơ thỏa mãn đầu bài.

- Chú ý:

a) Với quy ước 0! = 1 ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!};1\le k\le n$.

b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Vì vậy: $P_n=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{A}_n^n$.

III. Tổ hợp

1. Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

2. Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.

Lời giải:

Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm).

Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là $C_8^3=$56.

3. Tính chất của các số $C_n^k$

a) Tính chất 1.

$C_n^k=C_n^{n-k};0\le k\le n$

Ví dụ 7. $C_8^4+C_8^5=C_9^5=126$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai bạn cùng giới không đứng cạnh nhau.

Lời giải:

Đánh số 10 vị trí xếp từ 1 đến 10.

+ Trường hợp 1. Các bạn nam xếp ở vị trí lẻ, các bạn nữ xếp ở vị trí chẵn.

Xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí lẻ có 5! = 120 cách

Xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí chẵn có 5! = 120 cách

Theo quy tắc nhân có: 120.120 = 14400 cách.

+ Trường hợp 2. Các bạn nam xếp ở vị trí chẵn, các bạn nữ xếp ở vị trí lẻ.

Tương tự trường hợp 1; có 14400 cách.

Vậy có tất cả: 14 400 + 14 400 = 28 800 cách.

Bài 2. Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 học sinh đó sao cho mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh khối 11?

Lời giải :

Do mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh khối 11 nên ở vị trí đầu tiên và cuối cùng của dãy ghế sẽ là học sinh khối 11.

Bước 1: Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang, có 6! cách.

Bước 2: giữa 6 bạn học sinh lớp 11 có 5 khoảng trống, chọn 3 khoảng trống trong 5 khoảng trống để xếp các bạn lớp 12, có $A_5^2$ cách (có liên quan đến thứ tự).

Theo quy tắc nhân có $6!.A_5^2=14400$ cách xếp thỏa yêu cầu.

Bài 3. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

Lời giải:

Xếp 5 phần tử của A vào 5 ô trống liền nhau, mỗi ô trống chỉ chứa 1 phần tử, không ô trống nào chứa cùng phần tử, số cách xếp ban đầu này là $A_6^5=720$  

Tương tự như vậy, nhưng mặc định ô trống đầu tiên là chứa phần tử 0, số cách xếp vào 4 ô trống còn lại tương ứng là $A_5^4=120$.

 Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là 720 – 120 = 600.

Bài 4. Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 7 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có 6 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.

Lời giải:

+ Trường hợp 1: Tam giác được tạo thành có 2 đỉnh thuộc đường thẳng a và 1 đỉnh thuộc đường thẳng b.

Chọn 2 đỉnh thuộc a có $C_7^2=21$ cách

Chọn 1 đỉnh thuộc b có 6 cách

Có 21.6 = 126 tam  giác.

+ Trường hợp 2: Tam giác được tạo thành có 2 đỉnh thuộc đường thẳng b và 1 điểm thuộc đường thẳng a.

Chọn 2 đỉnh thuộc b có $C_6^2=15$ cách

Chọn 1 đỉnh thuộc a có 7 cách

Có 15.7 = 105 tam  giác.

Số các tam giác thỏa mãn đầu bài là: 126 + 105 = 231.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp

Câu 1. Cho $A=\left\{a;b;c\right\}$. Số hoán vị của ba phần tử của A là:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Số hoán vị của ba phần tử của A là 3! = 6.

Câu 2. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 18 em giỏi Toán, 14 em giỏi văn và 10 em không giỏi môn nào. Số tất cả các em giỏi cả văn lẫn toán là:

A. 20

B. 12

C. 24

D. 48

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Số học sinh giỏi ít nhất 1 môn là:

30 – 10 = 20

Số học sinh giỏi cả văn lẫn toán là:

18 + 14 – 20 = 12.

Câu 3. Trong một trường có 4 học sinh giỏi lớp 12, 3 học sinh giỏi lớp 11 và 5 học sinh giỏi lớp 10. Cần chọn 5 học sinh giỏi để tham gia một cuộc thi với các trường khác sao cho khối 12 có 3 em và mỗi khối 10, 11 có đúng 1 em. Vậy số tất cả các cách chọn là:

A. 60

B. 180

C. 330

D. 90

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Chọn 3 học sinh lớp 12 có $C_4^3$ cách, chọn 1 học sinh lớp 11 có $C_3^1$ cách, chọn 1 học sinh lớp 10 có $C_5^1$ cách. Do đó có $C_4^3.C_3^1.C_5^1=60$ cách chọn.

Câu 4. Số hoán vị của n phần tử là:

A. $n^2$

B.  $n^n$

C. $2n$

D.  $n!$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Số hoán vị của n phần tử là  $n!$

Câu 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5?

A.  $P_4$

B.   $P_5$

C.  $A_5^4$

D.  $C_5^4$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Số có 4 chữ số khác nhau tạo thành từ tập trên là $A_5^4$.

Câu 6. Cho $n,k\in \mathbb{N}$ với $0<k\le n$. Mệnh đề nào có giá trị sai?

A.  $P_0=1$

B.  $P_n=C_n^n$

C.  $C_n^k=C_n^{n-k}$

D.  $A_n^k=k!.C_n^k$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $P_0=0$ nên A sai.

Câu 7. Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?

A. 120

B. 192

C. 312

D. 216

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Giả sử số đó là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$.

Trường hợp 1: $a_5=0$ chọn $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ có $A_5^4$ cách $\Rightarrow$ có $A_5^4$ số thỏa mãn

Trường hợp 2: $a_5\in \left\{2;4\right\}$ chọn $a_1$ có 4 cách chọn, chọn $\overline{a_2{a}_3{a}_4}$ có $A_4^3$ cách $\Rightarrow$ có $\mathrm{2.4.}{A}_4^3$ cách

Do đó có $A_5^4+\mathrm{2.4.}{A}_4^3=312$ số thỏa mãn.

Câu 8. Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu. Mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đoạt huy chương. Khi đó, số cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất nhì ba là:

A. 51

B. 4896 

C. 125

D. 12070

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 3 đội bất kì trong 18 đội đều có khả năng đạt huy chương, và thứ tự của 3 đội này sẽ cho biết loại huy chương mà mỗi đội nhận, đo đó số cách trao cần tìm: $A_{18}^3=4896$.

Câu 9. Cho số $M=2^5{.3}^3{.5}^4$. M có tất cả bao nhiêu ước số dương?

A. 60

B. 13

C. 140

D. 120

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Số ước dương là: $\left(5+1\right)\left(3+1\right)\left(4+1\right)=120$.

Câu 10. Có bao nhiêu số là ước dương của $2^{10}{.3}^6{.5}^8$ và chia hết cho $2^5{.3}^2{.5}^4$?

A. 30

B. 150

C. 60

D. 120

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Để ý rằng $2^{10}{.3}^6{.5}^8=2^5{.3}^2{.5}^4\left(2^5{.3}^4{.5}^4\right)$.

Với mỗi ước dương của $2^5{.3}^4{.5}^4$ khi nhân với $2^{10}{.3}^6{.5}^8$ đều là ước dương của  thỏa mãn yêu cầu đề. Số ước dương cần tìm là: $\left(5+1\right)\left(4+1\right)\left(4+1\right)=150$.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn

Lý thuyết Phép thử và biến cố

Lý thuyết Xác suất của biến cố 

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học