Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác.

1 11,227 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

A. LÝ THUYẾT

1. Giới hạn $\frac{s inx}{x}$

Định lý 1.

$\lim_{x \to 0} \frac{s inx}{x} = 1 .$

Ví dụ 1. Tính $\lim_{x \to 1} \frac{\sin (x - 1)}{x^{2} - 1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$\lim_{t \to 0} \frac{sint}{t (t + 2)} = \lim_{t \to 0} (\frac{sint}{t} . \frac{1}{t + 2}) = \lim_{t \to 0} \frac{sint}{t} . \lim_{t \to 0} \frac{1}{t + 2} = 1 . \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $x \in ℝ$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $y = {[\sin (2 x + 3)]}^{2}$

Lời giải

$y' = 2 {[\sin (2 x + 3)]}^{'} . \sin (2 x + 3) = 2 [\cos (2 x + 3) . {(2 x + 3)}^{'}] . \sin (2 x + 3) y' = 4 \cos (2 x + 3) . \sin (2 x + 3)$

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi $x \in ℝ$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $y = \cos (\frac{π}{2} - x)$ tại $x = \frac{π}{3}$ .

Lời giải

Đặt $u = \frac{π}{2} - x$

$\Rightarrow y' = (cosu)' = - u' . sinu = - {(\frac{π}{2} - x)}^{'} \sin (\frac{π}{2} - x) = \sin (\frac{π}{2} - x) .$

Thay $x = \frac{π}{3}$ vào y’ ta được:

$y' (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} .$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại $x= \frac{π}{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $x \neq \frac{π}{2} + kπ, k \in ℤ$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{cos}^{2} x}$ .

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{u'}{{cos}^{2} u} .$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $y = \sqrt{2 + t anx}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$y' = \frac{u'}{2 \sqrt{u}} = \frac{(2 + tanx)'}{2 \sqrt{2 + t anx}} = \frac{\frac{1}{\cos^{2} x}}{2 \sqrt{2 + t anx}} = \frac{1}{2 . \cos^{2} x \sqrt{2 + t anx}}$

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $x \neq kπ, k \in ℤ$ và (cotx)’ = $- \frac{1}{{sin}^{2} x}$ .

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $- \frac{u'}{\sin^{2} u} .$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x².

Lời giải

y’ = (cot x²)’ = (x²)’. $\frac{- 1}{{(s {inx}^{2})}^{2}}$ = $- \frac{2 x}{{(s {inx}^{2})}^{2}}$ .

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các đạo hàm sau:

a) $y = \sqrt{3 \tan^{2} x + \cot 2 x}$

b) $y = - \frac{cosx}{3 \sin^{3} x} + \frac{4}{3} cotx$

c) $y = \cos^{2} (\sin^{3} x)$

d) $y = \frac{x}{sinx}$

Lời giải

$y' = \frac{(3 \tan^{2} x + \cot 2 x)'}{2 \sqrt{3 \tan^{2} x + \cot 2 x}} = \frac{6 tanx . \frac{1}{{cos}^{2} x} - \frac{2}{\sin^{2} 2 x}}{2 \sqrt{3 \tan^{2} x + \cot 2 x}} = \frac{\frac{6 sinx}{{cos}^{3} x} - \frac{1}{2 . \sin^{2} x . \cos^{2} x}}{2 \sqrt{3 \tan^{2} x + \cot 2 x}}$

$y' = {(- \frac{cosx}{3 \sin^{3} x} + \frac{4}{3} cotx)}^{'} = \frac{sinx . 3 \sin^{3} x + c {osx.9.sin}^{2} x . c osx}{{(3 \sin^{3} x)}^{2}} - \frac{4}{3 \sin^{2} x} = \frac{\sin^{2} x + 3 \cos^{2} x}{3 \sin^{4} x} - \frac{4}{3 \sin^{2} x} = \frac{3 \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x}{3 \sin^{4} x} = \frac{{cos}^{2} x - \sin^{2} x}{\sin^{4} x}$

$y' = {(\cos^{2} (\sin^{3} x))}^{'} = 2 . \cos (\sin^{3} x) . {[\cos (\sin^{3} x)]}^{'} = 2 . \cos (\sin^{3} x) . {[\cos (\sin^{3} x)]}^{'} = 2 . \cos (\sin^{3} x) . [- \sin (\sin^{3} x)] {(\sin^{3} x)}^{'} = - 2 . \cos (\sin^{3} x) . \sin (\sin^{3} x) 3 \sin^{2} x . cosx = - 6 . \cos (\sin^{3} x) . \sin (\sin^{3} x) \sin^{2} x . cosx$

$y'= \frac{x' . sinx - x . {(sinx)}^{'}}{{(sinx)}^{2}} = \frac{sinx - x . cosx}{{(sinx)}^{2}}$

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.

a) $y = \sin^{6} x + \cos^{6} x + 3 \sin^{2} {xcos}^{2} x$

b) $y = \cos^{2} (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{π}{3} + x) +$ $\cos^{2} (\frac{2 π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} + x) - 2 \sin^{2} x$

Lời giải

$y' = {(\sin^{6} x + \cos^{6} x + 3 \sin^{2} {xcos}^{2} x)}^{'} = 6 \sin^{5} xcosx - 6 \cos^{5} x . s inx + 6 {sinxcos}^{3} x - 6 \sin^{3} xcosx = 6 sinxcosx (\sin^{4} x - \cos^{4} x) + 6 sinxcosx (\cos^{2} x - \sin^{2} x) = 6 sinxcosx (\sin^{2} x - \cos^{2} x) (\sin^{2} x + \cos^{2} x) + 6 sinxcosx (\cos^{2} x - \sin^{2} x) = 6 sinxcosx (\sin^{2} x - \cos^{2} x) + 6 sinxcosx (\cos^{2} x - \sin^{2} x) = - 6 sinxcosx ({cos}^{2} x - \sin^{2} x) + 6 sinxcosx (\cos^{2} x - \sin^{2} x) = 0$

$y' = 2 \cos (\frac{π}{3} - x) \sin (\frac{π}{3} - x) - 2 \cos (\frac{π}{3} + x) \sin (\frac{π}{3} + x) + 2 \cos (\frac{2 π}{3} - x) \sin (\frac{2 π}{3} - x) - 2 \cos (\frac{2 π}{3} + x) \sin (\frac{2 π}{3} + x) - 4 sinxc osx = \sin (\frac{2 π}{3} - 2 x) - \sin (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \sin (\frac{4 π}{3} - 2 x) - \sin (\frac{4 π}{3} + 2 x) - 2 \sin 2 x = - 2 c os (\frac{2 π}{3}) \sin 2 x - 2 \cos (\frac{4 π}{3}) sin2x - 2 \sin 2 x = \sin 2 x + \sin 2x - 2 \sin 2 x = 0$

Bài 3. Tìm f’(2) biết f(x) = x².sin(x – 2).

Lời giải

Ta có : f’(x) = 2x.sin(x – 2) + x²cos(x – 2)

Khi đó: f’(2) = 2.2.sin(2 – 2) + 2².cos(2 – 2)

= 4.0 + 4.1

= 0 + 4

= 4.

Vậy f’(2) = 4.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Câu 1. Hàm số $y = f (x) = \frac{2}{\cos (π x)}$ có $f' (3)$ bằng:
A. $2 π$

B. $\frac{8 π}{3}$

C. $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l} f' (x) = [\frac{2}{\cos (π x)}]' \\ = 2. \frac{- (\cos (π x))'}{\cos^{2} (π x)} \\ = 2. π \frac{\sin (π x)}{\cos^{2} (π x)} \end{array}$
$f' (3) = 2 π . \frac{\sin 3 π}{\cos^{2} 3 π} = 0$

Câu 2. Cho hàm số $y = \cos 3 x . \sin 2 x .$ Tính $y' (\frac{π}{3})$ bằng:
A. $y' (\frac{π}{3}) = - 1$

B. $y' (\frac{π}{3}) = 1$

C. $y' (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$

D. $y' (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l} y' = (\cos 3 x)' \sin 2 x + \cos 3 x (\sin 2 x)' \\ = - 3 \sin 3 x . \sin 2 x + 2 \cos 3 x . \cos 2 x \end{array}$
$\begin{array}{l} y' (\frac{π}{3}) = - 3 \sin 3 \frac{π}{3} . \sin 2 \frac{π}{3} + 2 \cos 3 \frac{π}{3} . \cos 2 \frac{π}{3} \\ = - 3.0. \frac{\sqrt{3}}{2} + 2. (- 1) . \frac{- 1}{2} = 1 \end{array}$

Câu 3. Cho hàm số $y = f (x) = \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}$ . Giá trị $f' (\frac{π^{2}}{16})$ bằng:
A. 0

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{2}{π}$

D. $\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\begin{array}{l} f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cos \sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \sin \sqrt{x} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x}} (\cos \sqrt{x} - \sin \sqrt{x}) \end{array}$
$\begin{array}{l} f' (\frac{π^{2}}{16}) = \frac{1}{2 \sqrt{{(\frac{π}{4})}^{2}}} (\cos \sqrt{{(\frac{π}{4})}^{2}} - \sin \sqrt{{(\frac{π}{4})}^{2}}) \\ = \frac{1}{2. \frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 \end{array}$

Câu 4. Xét hàm số $y = f (x) = 2 \sin (\frac{5 π}{6} + x)$ . Tính giá trị $f' (\frac{π}{6})$ bằng:
A. -1

B. 0

C. 2

D. -2

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$f' (x) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} + x)$

$f' (\frac{π}{6}) = 2 \cos π = - 2$

Câu 5. Cho hàm số $y = f (x) = \tan (x - \frac{2 π}{3})$ . Giá trị $f' (0)$ bằng:
A. 4

B. $\sqrt{3}$

C. $- \sqrt{3}$

D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$y' = \frac{1}{\cos^{2} (x - \frac{2 π}{3})}$

$f' (0) = \frac{1}{{cos}^{2} (\frac{- 2 π}{3})} = \frac{1}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}} = 4$

Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{2}}{\cos 3 x}$ . Khi đó $y^{'} (\frac{π}{3})$ là:
A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot$

B. $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot$

C. 1

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$y^{'} = - \sqrt{2} . \frac{{(\cos 3 x)}^{'}}{\cos^{2} 3 x} = \frac{3 \sqrt{2} . \sin 3 x}{\cos^{2} 3 x}$

Do đó $y' (\frac{π}{3}) = \frac{3 \sqrt{2} . \sin π}{\cos^{2} π} = 0$

Câu 7. Cho hàm số $y = \frac{\cos 2 x}{1 - \sin x}$ . Tính $y' (\frac{π}{6})$ bằng:
A. $y' (\frac{π}{6}) = 1$

B. $y' (\frac{π}{6}) = - 1$

C. $y' (\frac{π}{6}) = \sqrt{3}$

D. $y' (\frac{π}{6}) = - \sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l} y' = \frac{(\cos 2 x)' . (1 - \sin x) - \cos 2 x (1 - \sin x)'}{{(1 - \sin x)}^{2}} \\ = \frac{- 2 \sin 2 x (1 - \sin x) + \cos 2 x . c o s x}{{(1 - \sin x)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} y' (\frac{π}{6}) = \frac{- 2. \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2}} \\ = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}} = 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}) \\ = - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} = - \sqrt{3} \end{array}$

Câu 8. Cho hàm số $y = f (x) = \sqrt{\tan x + \cot x}$ . Giá trị $f' (\frac{π}{4})$ bằng:
A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. 0

D. $\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$y' = \frac{1}{2 \sqrt{\tan x + \cot x}} . (\tan x + \cot x)'$
$\Rightarrow y' = \frac{1}{2 \sqrt{\tan x + \cot x}} (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x})$

$\begin{array}{l} f' (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2 \sqrt{\tan \frac{π}{4} + \cot \frac{π}{4}}} (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})} - \frac{1}{\sin^{2} (\frac{π}{4})}) \\ = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (2 - 2) = 0 \end{array}$

Câu 9. Hàm số $y = \frac{\sin x - x \cos x}{\cos x + x \sin x}$ có đạo hàm bằng

A. $\frac{- x^{2} . \sin 2 x}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}$

B. $\frac{- x^{2} . \sin^{2} x}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}$

C. $\frac{- x^{2} . \cos 2 x}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}$

D. ${(\frac{x}{\cos x + x \sin x})}^{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

Trắc nghiệm Đạo hàm của hàm số lượng giác có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = 2 \sin^{2} 4 x - 3 \cos^{3} 5 x$ .
A. $y' = \sin 8 x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x$

B. $y' = 8 \sin 8 x + \frac{5}{2} c o s 5 x . \sin 10 x$

C. $y' = 8 \sin x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x$

D. $y' = 8 \sin 8 x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Bước đầu tiên áp dụng ${(u + v)}^{/}$
$y' = {(2 \sin^{2} 4 x)}^{/} - 3 {(\cos^{3} 5 x)}^{/}$
Tính ${(\sin^{2} 4 x)}^{/}$ : Áp dụng ${(u^{α})}^{/}$ , với $u = \sin 4 x,$ ta được:
$\begin{array}{l} {(\sin^{2} 4 x)}^{/} = 2 \sin 4 x . {(\sin 4 x)}^{/} \\ = 2 \sin 4 x . \cos 4 x {(4 x)}^{/} \\ = 4 \sin 8 x . \end{array}$
Tương tự:
$\begin{array}{l} {(\cos^{3} 5 x)}^{/} = 3 \cos^{2} 5 x . {(\cos 5 x)}^{/} \\ = 3 \cos^{2} 5 x . (- \sin 5 x) . {(5 x)}^{/} \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 15 \cos^{2} 5 x . \sin 5 x \\ = \frac{- 15}{2} c o s 5 x . \sin 10 x . \end{array}$

Kết luận:

$y' = 8 \sin 8 x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

Lý thuyết Ôn tập chương 5

1 11,227 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3