Lý thuyết Phép quay (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Phép quay

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Phép quay

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa.

- Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc α được kí hiệu là Q_{(O, α).}

- Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay  là phép đồng nhất.

Phép quay là phép đối xứng tâm O.

II. Tính chất

- Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Phép quay tâm O, góc (OA, OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’. Khi đó ta có A’B’ = AB.

- Tính chất 2. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Nhận xét: Phép quay góc α với , biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho góc giữa d và d’ bằng α (nếu $0<\alpha \le \frac{\pi }{2}$), hoặc bằng $\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }$ (nếu  $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi )$

B. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay α với  biến hình vuông trên thành chính nó?

Lời giải:

Có 4 phép quay tâm O góc α với $0<\alpha \le 2\pi$ biến hình vuông trên thành chính nó. Đó là các phép quay với góc quay bằng: $\frac{\pi }{2};\pi ;\frac{3\pi }{2};2\pi .$

Khi đó, các phép quay biến đỉnh này thành đỉnh kia của hình vuông.

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(9; 0). Tìm tọa độ ảnh A’ của điểm A qua phép quay $Q_{(O,\frac{\pi }{2})}$.

Lời giải:

Cách 1: Biểu diễn phép quay trên mặt phẳng tọa độ, suy ra A’(0; 9).

Cách 2. Áp dụng biểu thức tọa độ của phép quay (mở rộng)

Bài 3. Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0 qua phép quay tâm O và  góc quay 90⁰.

Lời giải:

Gọi d’ là ảnh cuả đường thẳng d qua phép quay trên.

Vì góc quay 90⁰ nên $d\perp d\text{'}$.

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ có dạng:  3x + 5y + c = 0

Lấy điểm M(– 3 ; 0) thuộc d.

Ta có $Q_{\left(0;{90}^0\right)}\left(M\right)=M\text{'}\left(0;-3\right)$

Vì điểm M’ thuộc d’ nên thay tọa độ điểm M’ vào d’ ta được:

3.0 + 5.(– 3) + c = 0 nên c = 15.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + 5y + 15 = 0.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Phép quay

Câu 1. Cho hình vuông tâm O . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc $\alpha$ với $0\le \alpha <2\pi$, biến hình vuông trên thành chính nó?

A.  1

B.  2

C.  3

D.  4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Do $0\le \alpha <2\pi$ nên ta có các góc quay $0;\frac{\pi }{2};\pi ;\frac{3\pi }{2}.$

Câu 2. Cho tam giác đều tâm O . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc $\alpha$ với $0\le \alpha <2\pi$, biến tam giác trên thành chính nó?

A.  1

B.  2

C.  3

D.  4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Do $0\le \alpha <2\pi$ nên ta có các góc quay $0;\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3}.$

Câu 3. Cho tam giác đều ABC . Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C.

A. $\phi =30°.$

B. $\phi =90°.$

C. $\phi =-120°.$

D. $\phi =60°$ hoặc $\phi =-60°.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Tam giác ABC đều $\widehat{BAC}=60°.$

Khi đó  $Q_{\left(A,\phi \right)}\left(B\right)=C\Rightarrow \phi =\pm 60°.$

Câu 4. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc $\alpha$ với $\alpha \ne k2\pi$ ( k là một số nguyên)?

A.  0

B.  1

C.  2

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Điểm đó chính là tâm quay O.

Câu 5. Cho hình vuông tâm O . Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay $\phi$. Với giá trị nào sau đây của $\phi$ , phép quay Q biến hình vuông thành chính nó?

A. $\phi =\frac{\pi }{6}$.

B. $\phi =\frac{\pi }{4}$.

C. $\phi =\frac{\pi }{3}$.

D. $\phi =\frac{\pi }{2}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Các góc quay để biến hình vuông thành chính nó là $0;\frac{\pi }{2};\pi ;\frac{3\pi }{2};2\pi .$

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng  ${60}^0$ (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD .

Ảnh của cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay ${60}^0$ là:

A. AD

B. AI với I là trung điểm của CD

C. CJ với J là trung điểm của  AD

D. DK với K là trung điểm của AC

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Từ giả thiết suy ra ABC là nữa tam giác đều, do đó  AC = 2AB

Xép phép quay tâm A góc quay $60°$, ta có:

Xép phép quay tâm A góc quay $60°$ , ta có:

 Biến B thành K.

 Biến C thành D.

Vậy ảnh của BC là KD.

Câu 7. Cho hình chữ nhật tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc $\alpha$ với $0\le \alpha <2\pi$, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

A.  0

B.  2

C.  3

D.  4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Do $0\le \alpha <2\pi$ nên ta có các góc quay $0;\pi .$

Câu 8. Cho hình thoi ABCD có góc $\widehat{ABC}={60}^0$ (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh CD qua phép quay $Q_{\left(A,{60}^0\right)}$ là:

A. AB

B. BC

C. CD

D. DA

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét phép quay tâm A góc quay ${60}^0:$

Biến C thành B.

Biến D thành C 

Câu 9. Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao $AA\text{'},BB\text{'},CC\text{'}$ (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao $AA\text{'}$ qua phép quay tâm O góc quay ${240}^0$ là:

A. $AA\text{'}.$

B. $BB\text{'}.$

C. $CC\text{'}.$

D. $BC.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Do tam giác ABC đều nên $\widehat{A\text{'}OB\text{'}}=\widehat{B\text{'}OC\text{'}}=\widehat{C\text{'}OA\text{'}}={120}^0$ .

Khi đó xét phép quay tâm O góc quay ${240}^0:$

 Biến A thành B .

 Biến $A\text{'}$ thành  $B\text{'}$.

Vậy ảnh của $AA\text{'}$ là  $BB\text{'}$.

Câu 10. Cho tam giác đều tâm O. Với giá trị nào dưới đây của $\phi$ thì phép quay $Q_{\left(O,\phi \right)}$ biến tam giác đều thành chính nó?

A. $\phi =\frac{\pi }{3}.$

B. $\phi =\frac{2\pi }{3}.$

C. $\phi =\frac{3\pi }{2}.$ 

D. $\phi =\frac{\pi }{2}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Các góc quay để biến tam giác đều thành chính nó là $0;\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3};2\pi .$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Lý thuyết Phép vị tự 

Lý thuyết Phép đồng dạng

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng