Lý thuyết Cấp số cộng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Cấp số cộng lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng.

1 4,113 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa.

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

u_n+1 = u_n + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; công sai d = 3.

II. Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁= 1; d =5.

a) Tìm u₁₀.

b) Số 106 là số hạng thứ bao nhiêu?

Lời giải:

a) Số hạng thứ 10 là u₁₀ = u₁ + (10 – 1)d = 1 + 9.5 = 46.

b) Ta có: u_n = u₁ + (n – 1)d. Vì u_n =106 nên:

106 = 1 + (n – 1).5

105 = (n – 1).5

21 = n – 1 nên n = 22.

Vậy 106 là số hạng thứ 22.

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 2n + 5.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính tổng 40 số hạng đầu tiên.

c) Biết S_n = 187, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 2.1 + 5 = 7; u₂ = 2.2 + 5 = 9.

Suy ra, d = u₂ – u₁ = 2.

b) Tổng 40 số hạng đầu tiên là:

Lý thuyết Cấp số cộng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn u₁ = 12; u₆ = – 18. Tìm u₈.

Lời giải:

Theo đề bài ta có;

$\{\begin{matrix} u_{1} = 12 \\ u_{6} = - 18 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} u_{1} = 12 \\ u_{1} + 5 d = - 18 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} u_{1} = 12 \\ d = - 6 \end{matrix}$

Suy ra: u₈= u₁ + 7d = 12 + 7.(– 6) = – 30.

Bài 2.Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau biết:

Lý thuyết Cấp số cộng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Vậy số hạng đầu $u_{1} = \frac{21}{8}$ và công sai $d = \frac{9}{4}$ .

$\{\begin{matrix} u_{3} + u_{5} = 14 \\ u_{2} . u_{4} = 21 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} u_{1} + 2 d + u_{1} + 4 d = 14 \\ (u_{1} + d) . (u_{1} + 3 d) = 21 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 u_{1} + 6 d = 14 (1) \\ (u_{1} + d) . (u_{1} + 3 d) = 21 (2) \end{matrix}$

Từ (1) suy ra: u₁ = 7 – 3d thay vào (2) ta được:

(7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21

(7 – 2d). 7 = 21

7 – 2d = 3 nên d = 2

Suy ra: u₁ = 7 – 3.2 = 1.

Vậy u₁ = 1 và công sai d = 2.

Bài 3. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 3n + 1.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên.

c) Biết S_n = 209, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 3.1 + 1 = 4; u₂ = 3.2 + 1 = 7.

Suy ra, d = u₂ – u₁ = 3.

b) Tổng 20 số hạng đầu tiên là:

Lý thuyết Cấp số cộng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số $- \frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}; .....$ là một cấp số cộng: $\{\begin{cases} u_{1} = - \frac{1}{2} \\ d = \frac{1}{2} \end{cases}$

B. Dãy số $\frac{1}{2}; \frac{1}{2^{2}}; \frac{1}{2^{3}}; .....$ là một cấp số cộng: $\{\begin{cases} u_{1} = \frac{1}{2} \\ d = \frac{1}{2}; n = 3 \end{cases}$

C. Dãy số : $- 2; - 2; - 2; - 2; \dots$ là cấp số cộng $\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ d = 0 \end{cases}$

D. Dãy số: $0, 1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; \dots$ không phải là một cấp số cộng

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Dãy số $\frac{1}{2}; \frac{1}{2^{2}}; \frac{1}{2^{3}}; .....$ không phải cấp số cộng do $\{\begin{cases} u_{1} = \frac{1}{2} \\ d = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow u_{2} = 1$ .

Câu 2: Cho một cấp số cộng có $u_{1} = - \frac{1}{2}; d = \frac{1}{2}$ . Hãy chọn kết quả đúng

A. Dạng khai triển : $- \frac{1}{2}; 0; 1; \frac{1}{2}; 1....$

B. Dạng khai triển : $- \frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2} .....$

C. Dạng khai triển : $\frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}; 2; \frac{5}{2}; .....$

D. Dạng khai triển: $- \frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2} .....$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Câu 3. Cho một cấp số cộng có $u_{1} = - 3; u_{6} = 27$ . Tìm d ?

A. $d = 5$ .

B. $d = 7$ .

C. $d = 6$ .

D. $d = 8$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $u_{6} = 27 \Leftrightarrow u_{1} + 5 d = 27$

$\Leftrightarrow - 3 + 5 d = 27 \Leftrightarrow d = 6$

Câu 4: Cho một cấp số cộng có $u_{1} = \frac{1}{3}; u_{8} = 26$ . Tìm ?

A. $d = \frac{11}{3}$

B. $d = \frac{3}{11}$

C. $d = \frac{10}{3}$

D. $d = \frac{3}{10}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $u_{8} = 26 \Leftrightarrow u_{1} + 7 d = 26$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} + 7 d = 26 \Leftrightarrow d = \frac{11}{3}$

Câu 5: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có: $u_{1} = - 0, 1; d = 0, 1$ . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $(u_{n})$ là:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) .0, 1$

$\Rightarrow u_{7} = - 0, 1 + (7 - 1) .0, 1 = \frac{1}{2}$

Câu 6: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25^o. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65^o ; 90^o.

B. 75^o ; 80^o.

C. 60^o ; 95^o.

D. 60^o ; 90^o.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có : $u_{1} + u_{2} + u_{3} = 180$

$\Leftrightarrow 25 + 25 + d + 25 + 2 d = 180$

$\Leftrightarrow d = 35$ .

Vâỵ $u_{2} = 60; u_{3} = 90.$

Câu 7: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $a^{2} + c^{2} = 2 a b + 2 b c$ .

B. $a^{2} - c^{2} = 2 a b - 2 b c$ .

C. $a^{2} + c^{2} = 2 a b - 2 b c$ .

D. $a^{2} - c^{2} = a b - b c$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

$b - a = c - b$

$\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = {(c - b)}^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} - c^{2} = 2 a b - 2 b c$ .

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 8: Cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $a^{2} + c^{2} = 2 a b + 2 b c + 2 a c$

B. $a^{2} - c^{2} = 2 a b + 2 b c - 2 a c$

C. $a^{2} + c^{2} = 2 a b + 2 b c - 2 a c$

D. $a^{2} - c^{2} = 2 a b - 2 b c + 2 a c$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$a, b, c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$b - a = c - b$

$\Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = {(c - b)}^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} - c^{2} = 2 a b - 2 b c$

$\Leftrightarrow a^{2} + c^{2} = 2 c^{2} + 2 a b - 2 b c$

$= 2 a b + 2 c (c - b)$

$= 2 a b + 2 c (b - a)$

$= 2 a b + 2 b c - 2 a c$

Câu 9: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ thỏa: $\{\begin{cases} u_{5} + 3 u_{3} - u_{2} = - 21 \\ 3 u_{7} - 2 u_{4} = - 34 \end{cases}$ . Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

A. $u_{100} = - 243$

B. $u_{100} = - 295$

C. $u_{100} = - 231$

D. $u_{100} = - 294$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\{\begin{cases} u_{1} + 4 d + 3 (u_{1} + 2 d) - (u_{1} + d) \\ = - 21 \\ 3 (u_{1} + 6 d) - 2 (u_{1} + 3 d) = - 34 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 3 d = - 7 \\ u_{1} + 12 d = - 34 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ d = - 3 \end{cases}$ .

Số hạng thứ 100 của cấp số: $u_{100} = u_{1} + 99 d = - 295$

Câu 10: Tam giác ABC có ba góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Xác định số đo các góc A,B,C.

A. $\{\begin{cases} A = 10^{0} \\ B = 120^{0} \\ C = 50^{0} \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} A = 15^{0} \\ B = 105^{0} \\ C = 60^{0} \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} A = 5^{0} \\ B = 60^{0} \\ C = 25^{0} \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} A = 20^{0} \\ B = 60^{0} \\ C = 100^{0} \end{cases}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :

$\{\begin{cases} A + B + C = 180^{0} \\ A + C = 2 B \\ C = 5 A \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 5 A \\ B = 3 A \\ 9 A = 180^{0} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} A = 20^{0} \\ B = 60^{0} \\ C = 100^{0} \end{cases}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Cấp số nhân

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Hàm số liên tục

1 4,113 25/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3