Lý thuyết Cấp số cộng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11
Lý thuyết Cấp số cộng lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng.
Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng
A. Lý thuyết
I. Định nghĩa.
- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:
un+1 = un + d với (1)
- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.
II. Số hạng tổng quát
- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.
- Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 1; d =5.
a) Tìm u10.
b) Số 106 là số hạng thứ bao nhiêu?
Lời giải:
a) Số hạng thứ 10 là u10 = u1 + (10 – 1)d = 1 + 9.5 = 46.
b) Ta có: un = u1 + (n – 1)d. Vì un =106 nên:
106 = 1 + (n – 1).5
105 = (n – 1).5
21 = n – 1 nên n = 22.
Vậy 106 là số hạng thứ 22.
III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.
- Định lí 2:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:
IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.
Khi đó: .
- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: .
Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + 5.
a) Tìm u1 và d.
b) Tính tổng 40 số hạng đầu tiên.
c) Biết Sn = 187, tìm n.
Lời giải:
a) Ta có: u1 = 2.1 + 5 = 7; u2 = 2.2 + 5 = 9.
Suy ra, d = u2 – u1 = 2.
b) Tổng 40 số hạng đầu tiên là:
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u1 = 12; u6 = – 18. Tìm u8.
Lời giải:
Theo đề bài ta có;
Suy ra: u8 = u1 + 7d = 12 + 7.(– 6) = – 30.
Bài 2.Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau biết:
Lời giải:
Vậy số hạng đầu và công sai .
b)
Từ (1) suy ra: u1 = 7 – 3d thay vào (2) ta được:
(7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21
(7 – 2d). 7 = 21
7 – 2d = 3 nên d = 2
Suy ra: u1 = 7 – 3.2 = 1.
Vậy u1 = 1 và công sai d = 2.
Bài 3. Cho cấp số cộng (un) với un = 3n + 1.
a) Tìm u1 và d.
b) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên.
c) Biết Sn = 209, tìm n.
Lời giải:
a) Ta có: u1 = 3.1 + 1 = 4; u2 = 3.2 + 1 = 7.
Suy ra, d = u2 – u1 = 3.
b) Tổng 20 số hạng đầu tiên là:
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số là một cấp số cộng:
B. Dãy số là một cấp số cộng:
C. Dãy số :là cấp số cộng
D. Dãy số: không phải là một cấp số cộng
Đáp án: B
Giải thích:
Dãy số không phải cấp số cộng do .
Câu 2: Cho một cấp số cộng có . Hãy chọn kết quả đúng
A. Dạng khai triển :
B. Dạng khai triển :
C. Dạng khai triển :
D. Dạng khai triển:
Đáp án: D
Câu 3. Cho một cấp số cộng có . Tìm d ?
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có:
Câu 4: Cho một cấp số cộng có . Tìm ?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có:
Câu 5: Cho cấp số cộng có: . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. 1,6
B. 6
C. 0,5
D. 0,6
Đáp án: C
Giải thích:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
Câu 6: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o. Tìm 2 góc còn lại?
A. 65o ; 90o.
B. 75o ; 80o.
C. 60o ; 95o.
D. 60o ; 90o.
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có :
.
Vâỵ
Câu 7: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án: B
Giải thích:
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
.
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 8: Cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
Câu 9: Cho cấp số cộng thỏa: . Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Từ giả thiết bài toán, ta có:
.
Số hạng thứ 100 của cấp số:
Câu 10: Tam giác ABC có ba góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Xác định số đo các góc A,B,C.
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11