Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm của dãy số lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.

1 7,087 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): limxx0fxfx0xx0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f'(x0). Vậy f'x0=limxx0fxfx0xx0.

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) –  f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: y'x0=limΔxΔyΔx

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 tính:

∆y= f(x0 + ∆x) – f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx..

+ Bước 3: Tìm limΔx0ΔyΔx.

Ví dụ 1. Cho hàm số y=2x3, có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó ΔyΔx bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: D=32;+.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có: Δy=f2+Δxf2=2.2+Δx3 2.23=2Δx+11

Khi đó:

ΔyΔx=2Δx+11ΔxlimΔx0ΔyΔx=limΔx02Δx+11Δx=limΔx02Δx+11.2Δx+1+1Δx.2Δx+1+1=limΔx02ΔxΔx.2Δx+1+1=limΔx022Δx+1+1=1

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số y=f(x)=x2  khi  x0x        khi  x<0 liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:

 a;bxf'x

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng ;+.

Hàm số y=2x có đạo hàm y'=2x2 trên các khoảng ;0 và 0;+.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Cho hàm số: y=f(x)=x2+xx2 (C)

a) Hãy tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số đã cho tại x = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) tại điểm A(1;-2).

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: D=\2.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 1. Ta có:

Δy=f1+Δxf1=1+Δx2+1+Δx1+Δx212+112=Δx2+2Δx+1+1+ΔxΔx1+2=Δx2+3Δx+2Δx1+2=Δx2+3Δx+2Δx1+2Δx2Δx1=Δx2+5ΔxΔx1

Khi đó:

ΔyΔx=Δx2+5ΔxΔx1Δx=ΔxΔx+5Δx1Δx=Δx+5Δx1limΔx0ΔyΔx=limΔx0Δx+5Δx1=5.

Vậy f’(1) = - 5.

b) Bằng định nghĩa ta tính được: y’(1) = -5.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là -5.

Ta có: y(1) = - 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm A(1;-2) là:

y = -5(x – 1) - 2 = -5x + 5 - 2 = -5x + 3.

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x)=x12  khi  x0x+12  khi  x<0 không có đạo hàm tại x = 0 nhưng liên tục tại điểm đó.

Lời giải

Ta có f(0) = 1.

Trước hết, ta tính giới hạn bên phải của tỉ số fxf0x0. Ta có:

limx0+fxf0x0=limx0+x121x=limx0+xx2x=limx0+x2=2. x0

Giới hạn bên trái của tỉ số fxf0x0, ta có:

limx0fxf0x0=limx0x+121x=limx0xx+2x=limx0x+2=2.

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại limx0fxf0x0. Điều này chứng tỏ hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

Ta có:

limx0+f(x)=limx0+x12=1limx0f(x)=limx0x+12=1limx0f(x)=limx0+x+12=1

Do đó hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại x = 1.

Bài 3. Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = 2t2 + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

Lời giải

Cường độ dòng điện tại t = 4 là: I(4) = Q’(4).

Đạo hàm của hàm Q(t) tại t = 4 bằng 17.

Vậy cường độ dòng điện tại t = 4 là 17 A.

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số:

a) y=2x+1, biết hệ số góc của tiếp tuyến là 13;

b) y = x3 + 2x tại điểm có hoành độ bằng  2.

Lời giải

a)

limxx0fxfx0xx0=limxx02x+12x0+1xx0=limxx02xx0xx02x+1+2x0+1=limxx022x+1+2x0+1=12x0+112x0+1=132x0+1=32x0+1=9x0=4y(4)=2.4+1=3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đã cho là:

y=13x4+3=13x43+3=13x+53.

b)

limx2fxf2x2=limx2x3+2x23+2.2x2=limx2x3+2x12x2=limx2x2x2+2x+6x2=limx2x2+2x+6=14

Ta có y(2) = 12.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là:

y = 14(x – 2) + 12 = 14x – 28 + 12 = 14x – 16.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là y = 14x – 16.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu 1: Cho hàm số fx=xkhix>1x2khix1 . Tính f'1 ?

A. 12

B. 1

C. 2

D. không tồn tại.

Đáp án: D

Giải thích:

limx1+f(x)f(1)x1=limx1+x1x1=limx1+1x+1=12

limx1f(x)f(1)x1=limx1x21x1=limx1(x+1)=2

limx1+f(x)f(1)x1limx1f(x)f(1)x1

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại .

Câu 2: Cho hàm số 2x+3 khi x1x3+2x27x+4x1 khi x<1. Giá trị của f'1 bằng:

A. 0

B. 4

C. 5

D. không tồn tại

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: f(1) = 5

limx1+f(x)f(1)x1=limx1+2x+35x1=limx1+2x2x1=2

limx1f(x)f(1)x1=limx1x3+2x27x+4x15x1

=limx1x3+2x212x+9(x1)2=limx1(x1)(x2+3x9)(x1)2

=limx1x2+3x9x1=+

limx1+f(x)f(1)x1limx1f(x)f(1)x1

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại .

Câu 3: Khi tính đạo hàm của hàm số fx=x2+5x3 tại điểm x0 = 2, một học sinh đã tính theo các bước sau:

Bước 1: fx  f2 = fx  11

Bước 2: fx  f2x2=x2+5x311x2=(x2)(x+7)x2=x+7

Bước 3: limx2 fx  f2x2= limx2(x+7)=9  f'2=9

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Bước 1

B. Bước 2

C. Bước 3

D. Tính toán đúng

Đáp án: D

Giải thích:

Bài giải trên hoàn toàn đúng.

Câu 4: Cho hàm số fx liên tục tại x0. Đạo hàm của fx tại x0 là

A. fx0 

B. f(x0+h)f(x0)h

C. limh0f(x0+h)f(x0)h (nếu tồn tại giới hạn).

D. limh0f(x0+h)f(x0h)h (nếu tồn tại giới hạn).

Đáp án: C

Giải thích:

Định nghĩa f'(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx hay f'(x0)=f(x0+h)f(x0h)h (nếu tồn tại giới hạn).

Câu 5: Cho hàm số fx=x+1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 1 

A. 24

B. 22

C. 22

D. 23

Đáp án: A

Giải thích:

TXĐ: D=[1;+)

f'1=limx1fxf1x1=limx1x+12x1=limx1x+12(x1)(x+1+2)=limx11x+1+2=122=24

Câu 6: Cho hàm số f(x) là hàm số trên R định bởi f(x)=x2 và x0R. Chọn câu đúng

A. f'x0=x0 

B. f'x0=x02

C. f'x0=2x0

D. f'x0 không tồn tại.

Đáp án: C

Giải thích:

Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0.

Ta có 

Δy=f(x0+Δx)f(x0)=x0+Δx2x02=Δx2x0+Δx

limΔx0ΔyΔx=limΔx0(2x0+Δx)=2x0

Vậy f'(x0)=2x0

Câu 7: Cho hàm số fx=34x   khi  x01                                          khi  x=0 . Khi đó f' 0  là kết quả nào sau đây?

A. 14

B. 116

C. 12

D. 2

Đáp án: A

Giải thích:

f'(0)=limx0f(x)f(0)x0=limx034x1x=limx024xx

=limx044+xx(2+4x)=limx012+4x=14

Câu 8: Cho hàm số f(x)=34x4khix014khix=0.Tính f' 0 .

A. f'0=14. 

B.  f'0=116.

C. f'0=132. 

D.   Không tồn tại

Đáp án: B

Giải thích:

Xét

 limx0f(x)f(0)x0=limx034x414x=limx024x4x

=limx0(24x)(2+4x)4x(2+4x)=limx0x4x(2+4x)=limx014(2+4x)=116.

Câu 9: Cho hàm số fx xác định trên 0;+ bởi f(x)=1x. Đạo hàm của f(x) tại x0=2

A. 12

B. 12

C. 12

D. 12

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0.

Ta có 

Δy=f(x0+Δx)f(x0)=1x0+Δx1x0=Δxx0x0+Δx.

limΔx0ΔyΔx=limΔx01x0x0+Δx=1x02.

Vậy f'(x0)=1x02f'(2)=12.

Câu 10: Tính tỷ số ΔyΔx của hàm số y=2x3 theo x và Δx.

A. ΔyΔx=2x32Δx3Δx.

B. ΔyΔx=2Δx2.

C. ΔyΔx=6x2+6xΔx+2Δx2.

D. ΔyΔx=3x2+3xΔx+Δx2.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

Δy=f(x+Δx)f(x)=2x+x33-2x3=6x2Δx+6xx2+2x3

ΔyΔx=6x2+6xΔx+2(Δx)2.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm 

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai 

Lý thuyết Ôn tập chương 5 

1 7,087 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: