Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11
Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm của dãy số lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.
Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài giảng Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
A. LÝ THUYẾT
I. Đạo hàm tại một điểm
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f'(x0). Vậy
* Chú ý:
Đại lượng ∆x = x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.
Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: .
2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:
+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 tính:
∆y= f(x0 + ∆x) – f( x0) .
+ Bước 2: Lập tỉ số .
+ Bước 3: Tìm
Ví dụ 1. Cho hàm số , có là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó bằng bao nhiêu.
Lời giải
Tập xác định của hàm số đã cho là: .
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có:
Khi đó:
Vậy f’(2) = 1.
3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý:
+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.
+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:
4. Ý nghĩa của đạo hàm
a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).
+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:
y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.
Lời giải
Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.
Ta có: y(3) = 2.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:
y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.
b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:
+) Vận tốc tức thời:
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).
+) Cường độ tức thời:
Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .
Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.
Lời giải
Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)
⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:
V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)
Chọn A.
II. Đạo hàm trên một khoảng
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó ta gọi hàm số f’:
là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).
Ví dụ 5. Hàm số y = x2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng .
Hàm số có đạo hàm trên các khoảng và .
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho hàm số: (C)
a) Hãy tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số đã cho tại x = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) tại điểm A(1;-2).
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số đã cho là: .
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 1. Ta có:
Khi đó:
Vậy f’(1) = - 5.
b) Bằng định nghĩa ta tính được: y’(1) = -5.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là -5.
Ta có: y(1) = - 2.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm A(1;-2) là:
y = -5(x – 1) - 2 = -5x + 5 - 2 = -5x + 3.
Bài 2. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nhưng liên tục tại điểm đó.
Lời giải
Ta có f(0) = 1.
Trước hết, ta tính giới hạn bên phải của tỉ số . Ta có:
Giới hạn bên trái của tỉ số , ta có:
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại . Điều này chứng tỏ hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Ta có:
Do đó hàm số liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại x = 1.
Bài 3. Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = 2t2 + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.
Lời giải
Cường độ dòng điện tại t = 4 là: I(4) = Q’(4).
Đạo hàm của hàm Q(t) tại t = 4 bằng 17.
Vậy cường độ dòng điện tại t = 4 là 17 A.
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số:
a) , biết hệ số góc của tiếp tuyến là ;
b) y = x3 + 2x tại điểm có hoành độ bằng 2.
Lời giải
a)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đã cho là:
b)
Ta có y(2) = 12.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là:
y = 14(x – 2) + 12 = 14x – 28 + 12 = 14x – 16.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là y = 14x – 16.
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Câu 1: Cho hàm số . Tính ?
A.
B. 1
C. 2
D. không tồn tại.
Đáp án: D
Giải thích:
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại .
Câu 2: Cho hàm số . Giá trị của bằng:
A. 0
B. 4
C. 5
D. không tồn tại
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có: f(1) = 5
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại .
Câu 3: Khi tính đạo hàm của hàm số tại điểm , một học sinh đã tính theo các bước sau:
Bước 1:
Bước 2:
Bước 3:
Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Bước 1
B. Bước 2
C. Bước 3
D. Tính toán đúng
Đáp án: D
Giải thích:
Bài giải trên hoàn toàn đúng.
Câu 4: Cho hàm số liên tục tại . Đạo hàm của tại là
A.
B.
C. (nếu tồn tại giới hạn).
D. (nếu tồn tại giới hạn).
Đáp án: C
Giải thích:
Định nghĩa hay (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 5: Cho hàm số . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
TXĐ:
Câu 6: Cho hàm số là hàm số trên R định bởi và . Chọn câu đúng
A.
B.
C.
D. không tồn tại.
Đáp án: C
Giải thích:
Giả sử là số gia của đối số tại .
Ta có
Vậy
Câu 7: Cho hàm số . Khi đó là kết quả nào sau đây?
A.
B.
C.
D. 2
Đáp án: A
Giải thích:
Câu 8: Cho hàm số Tính .
A.
B.
C.
D. Không tồn tại
Đáp án: B
Giải thích:
Xét
Câu 9: Cho hàm số xác định trên bởi . Đạo hàm của tại là
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Giả sử là số gia của đối số tại .
Ta có
.
.
Vậy .
Câu 10: Tính tỷ số của hàm số theo x và .
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11