Hàm số liên tục | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

A. LÝ THUYẾT

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right).$

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}$ tại x₀ = 2.

Giải

Hàm số đã cho xác định trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$.

Do đó hàm số xác định trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$ chứa x₀ = 2. Khi đó ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}=\frac{4}{1}=4=\mathrm{f}\left(2\right)$.

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ = 2.

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right),\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{b}}^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right).$

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .

 b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$ liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Ví dụ 2. Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-3}\mathrm{khi}\text{ x}\ne \text{3}\\ \text{4 khi x = 3}\end{array}\right.$ trên tập xác định của nó.

Giải

Tập xác định $\mathrm{D}=\mathrm{ℝ}$

- Nếu x = 3, ta có f(3) = 4, $\underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-3}=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}{\mathrm{x}-3}$$=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\left(\mathrm{x}+1\right)=4=\mathrm{f}\left(3\right)$

Do đó f(x) liên tục tại x = 3.

- Nếu $\mathrm{x}\ne 3$ thì $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-3}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;3\right),\left(3;+\infty \right)$.

Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.

Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x⁵ – 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm.

Giải

Xét hàm f(x) = x⁵ – 3x – 7

Ta có: f(0) = - 7, f(2) = 19. Do đó f(0).f(2) = (-7).19 < 0.

Vì hàm số f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Do đó hàm số f(x) liên tục trên [0;2]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm $x_0\in \left(0;2\right)$.

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}$ tại x = 1;

b) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-2\right)}^2}\mathrm{khi}\mathrm{x}\ne 2\\ 3\mathrm{khi}\mathrm{x}=2\end{array}\right.$.

Lời giải

a) Tập xác định $\mathrm{D}=\left[-\frac{1}{2};+\infty \right)$

Hàm số f(x) xác định trên D và ${\mathrm{x}}_0\in \mathrm{D}$. Ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\sqrt{2\mathrm{x}+1}=\sqrt{3}=\mathrm{f}\left(1\right)$

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ = 1.

b) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-2\right)}^2}\mathrm{khi}\mathrm{x}\ne 2\\ 3\mathrm{khi}\mathrm{x}=2\end{array}\right.$

Tập xác định $\mathrm{D}=\mathrm{ℝ}$

- Nếu x = 2, ta có f(2) = 3, $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-2\right)}^2}=-\infty \ne \mathrm{f}\left(2\right)$

Do đó f(x) không liên tục tại x = 3.

- Nếu $x\ne 2$ thì $f\left(x\right)=\frac{1-x}{{\left(x-2\right)}^2}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right),\left(2;+\infty \right)$.

Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên $\left(-\infty ;2\right),\left(2;+\infty \right)$ nhưng không tại liên tục tại điểm x = 2.

Bài 2. Chứng minh phương trình (1 – m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m²)(x + 1)³ + x² – x – 3

Ta có:  f(-1) = (1 – m²)(-1 + 1)³ + (-1)² – (-1) – 3 = -1

f(-2) = (1 – m²)(-2 + 1)³ + (-2)² – (-2) – 3 = - 1 + m² + 4 + 2 – 3 = m² + 2

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(-1\right).\mathrm{f}\left(-2\right)=(-1).({\mathrm{m}}^2+2)<0$

y = f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Do đó hàm số liên tục trên đoạn [-2;-1] hay hàm số có ít nhất một nghiệm trên (-2;-1).

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trên $\mathrm{ℝ}$ với mọi giá trị của m.

Bài 3. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2:

a) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} khi \hspace{0.17em}}x\ne 2\\ a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x=2\end{array}\right.$

b) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-8}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}x<2\\ a{x}^2+x+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 2\end{array}\right.$

Lời giải

a) Ta có $f\left(2\right)=a$ và  $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt[3]{{\left(4x\right)}^2}+2\sqrt[3]{4x}+4}=\frac{1}{3}$

Hàm số liên tục tại điểm $\mathrm{x}=2\iff \underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(2\right)\iff \mathrm{a}=\frac{1}{3}$.

Vậy với $a=\frac{1}{3}$ thì hàm số liên tục tại x = 2.

b) Ta có :

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^4-5{\mathrm{x}}^2+4}{{\mathrm{x}}^3-8} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\frac{({\mathrm{x}}^2-1)(\mathrm{x}+2)}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+4}=1 \\ \underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\left({\mathrm{ax}}^2+\mathrm{x}+1\right) \\ =4\mathrm{a}+3=\mathrm{f}\left(2\right) \end{gathered}$$

Hàm số liên tục tại $\mathrm{x}=2\iff \underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(2\right)$

$\iff 4\mathrm{a}+3=1\iff \mathrm{a}=-\frac{1}{2}$

Vậy $\mathrm{a}=-\frac{1}{2}$ thì hàm số liên tục tại x = 2.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Câu 1: Tính tổng (S ) gồm tất cả các giá trị m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+x,x<1\\ 2,x=1\\ m^{2}x+1,x>1\end{array}\right.$ liên tục tại $x=1$.

A. $S=-1$ 

B.  $S=0$

C.  $S=1$

D.  $S=2$

Câu 2: Số điểm gián đoạn của hàm số $h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x,x<0\\ x^2+1,0\le x\le 2\\ 3x-1,x>2\end{array}\right.$ là:

A.   1

B.   2

C.   3

D.  0

Câu 3: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2},x\ne 3\\ m,x=3\end{array}\right.$ . Hàm số đã cho liên tục tại $x=3$ khi  bằng :

A.  −4

B.   4

C.  −1

D.   1

Câu 4: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin 5x}{5x},x\ne 0\\ a+2,x=0\end{array}\right.$ . Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.

A.  1

B.  −1

C.  −2

D.  2

Câu 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1},x\ne 1\\ 3x+m,x=1\end{array}\right.$ liên tục tại $x=1$

A.  $m=0$ 

B.  $m=2$ 

C.  $m=4$ 

D.  $m=6$ 

Câu 6: Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $[a;b]$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$  thì phương trình $f\left(x\right)=0$ không có nghiệm trong khoảng  $(a;b)$

B. Nếu $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng  $(a;b)$

C. Nếu phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm trong khoảng $(a;b)$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$

D. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tăng trên đoạn $[a;b]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$ thì phương trình f(x)=0  không thể có nghiệm trong $(a;b)$ 

Câu 7: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( I ) $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [ (a;b) ] và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$ thì tồn tại ít nhất một số $c\in \left(a;b\right)$ sao cho  

(II) )Nếu $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left(a;b\right]$ và trên $[b;c)$ thì không liên tục $\left(a;c\right)$

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II)đúng

D. Cả (I) và (II)sai.

Câu 8: Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x\cos x,x<0\\ \frac{x^2}{1+x},0\le x<1\\ x^3,x\ge 1\end{array}\right.$

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x=0$.

B. Liên tục tại mọi điểm trừ $x=1$.

C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm $x=0$ và $x=1$.

D. Liên tục tại mọi điểm $x\in R$.

Câu 9: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2},x>8\\ ax+4,x\le 8\end{array}\right.$. Để hàm số liên tục tại $x=8$, giá trị của a là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Câu 10: Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-1000x^2+0,01$. Phương trình $f\left(x\right)=0$. có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng:

I. $\left(-1;0\right)$

II. $\left(0;1\right)$

III. $\left(1;2\right)$

IV. $\left(2;1000\right)$

A. Chỉ I, II, III.

B. Chỉ I và II

C. Chỉ I, II, IV.

D. Cả I, II, III IV.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4 

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai