Lý thuyết Phép vị tự (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11
Lý thuyết Phép vị tự lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 7: Phép vị tự.
Lý thuyết Toán 11 Bài 7: Phép vị tự
Bài giảng Toán 11 Bài 7: Phép vị tự
A. Lý thuyết
I. Định nghĩa.
- Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V(O, k).
- Nhận xét:
1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.
3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.
4) M’ = V(O, k)(M) .
II. Tính chất
- Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì và M’N’ = |k|.MN.
- Tính chất 2.
Phép vị tự tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.
III. Tâm vị tự của hai đường tròn.
- Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
- Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn (I ; R) và (I’; R’) có ba trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp I trùng với I’
Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số và phép vị tự tâm I tỉ số biến đường tròn
(I ; R) thành đường tròn (I ; R’).
+ Trường hợp I khác I’ và R ≠ R’
Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn (I ; R), đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’ ; R’) tại M’ và M”.
Giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ còn M, M” nằm khác phía đối với đường thẳng II’.
Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM” cắt đường thẳng II’ tại điểm O1 nằm trong đoạn thẳng II’.
Khi đó, phép vị tự tâm O tỉ số và phép vị tự tâm O1 tỉ số sẽ biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’; R’).
Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.
+ Trường hợp I khác I’ và R = R’.
Khi đó, MM’ // II’ nên chỉ có phép vi tự tâm O1 tỉ số biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’ ; R’). Đây chính là phép đối xứng tâm O1.
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’): (x – 8)2 + (y – 4)2 = 16. Xác định tâm vị tự của hai đường tròn?
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 1),bán kính R = 1;
Đường tròn (C’) có tâm I’(8 ; 4), bán kính R’ = 4.
Do I ≠ I’ và R ≠ R’ nên có hai phép vị tự V(J, 2) và V(J, -2) biến (C) thành (C’).
Gọi J(x ; y)
Với k = 2 khi đó:
Suy ra: J(– 4; – 2)
Tương tự với k = – 2, tính có J’(4; 2).
Vậy có 2 phép vị tự thỏa mãn đầu bài.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC?
Lời giải :
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Bởi vậy phép vị tự V(G; -2) biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC.
Bài 2. Trong măt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(– 2 ; 4). Phép vị tự tâm O(0 ; 0) tỉ số k = – 2 biến điểm M thành điểm nào?
Lời giải:
Nếu thì
Vậy điểm cần tìm là M’(4 ; – 8).
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng có phương trình là gì?
Lời giải:
Thực hiện phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng d’. Suy ra d’ song song hoặc trùng với d.
Do đó, d’ có dạng 2x + y + c = 0 (1)
Lấy điểm M(1 ; 1) thuộc d.
Gọi V(O ; 2)(M) = M’(x’ ; y’)
Điểm M’ thuộc d’ nên thay tọa độ M’ vào d’ ta được :
2.2 + 2 + c = 0 nên c = – 6.
Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là 2x + y – 6 = 0.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(– 1 ; 2) tỉ số k = 3.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm A(1; 1), bán kính R = 2.
Gọi
Do đó, A’(5 ; – 1)
Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự V thì (C’) có tâm A’, bán kính R’ = 3R = 6.
Vậy phương trình (C’): (x – 5)2 + (y + 1)2 = 36.
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 7: Phép vị tự
Câu 1. Cho hai đường thẳng song song d và . Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số biến đường thẳng d thành đường thẳng ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: D
Giải thích:
Lấy hai điểm A và tùy ý trên d và .
Chọn điểm O thỏa mãn .
Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số sẽ biến d thành đường thẳng .
Do A và tùy ý trên d và nên suy ra có vô số phép vị tự.
Câu 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và . Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thằng ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: A
Giải thích:
Vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , và . Phép vị tự tâm I tỉ số biến điểm A thành , biến điểm B thành . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có
Từ giả thiết, ta có
Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và . Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành chính nó.
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: D
Giải thích:
Tâm vị tự là giao điểm của d và . Tỉ số vị tự là số k khác 0
(hoặc tâm vị tự tùy ý, tỉ số k=1 - đây là phép đồng nhất).
Câu 5. Cho phép vị tự tỉ số k= 2 biến điểm A thành điểm B, biến điểm C thành điểm D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Theo tính chất 1, ta có .
Câu 6. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, D là trung điểm BC. Gọi V là phép vị tự tâm G tỉ số k biến điểm A thành điểm D. Tìm k.
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Do D là trung điểm BC nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC .
Suy ra
.
Vậy .
Câu 7. Cho đường tròn . Có bao nhiêu phép vị tự biến thành chính nó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: D
Giải thích:
Phép vị tự có tâm tùy ý, tỉ số vị tự k= 1
Câu 8. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn
với ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Đáp án: C
Giải thích:
Phép vị tự có tâm là , tỉ số vị tự
Câu 9. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 1 là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm.
B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác .
D. Phép đồng nhất.
Đáp án: D
Câu 10. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -1 là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm.
B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác .
D. Phép đồng nhất.
Đáp án: A
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11