Lý thuyết Ôn tập chương 4 (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Ôn tập chương 4

A. LÝ THUYẾT

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

+) Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

+) Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}\right)=0$

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ hay v_n → a khi n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\mathrm{n}}=0,\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}}=0$ với k nguyên dương;

b) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}$ nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ ta viết tắt là lim u_n = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

+) Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

lim (u_n + v_n) = a + b

lim (u_n – v_n) = a – b

lim (u_n.v_n) = a.b

$\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ (nếu $\mathrm{b}\ne 0$)

Nếu ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\ge 0$ với mọi n và limu_n­ = a thì:

$\lim \sqrt{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{a}}$ và $\mathrm{a}\ge 0.$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$\mathrm{S}={\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_2+{\mathrm{u}}_3+...+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}+...$

$=\frac{{\mathrm{u}}_1}{1-\mathrm{q}}\left(\left|\mathrm{q}\right|<1\right)$

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=0$

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=+\infty$

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}.{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=+\infty$.

V. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0,\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$ với c là hằng số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{M}$. Khi đó:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}+\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}-\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}.\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{M}}\left(\mathrm{M}\ne 0\right); \end{gathered}$$

b) Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ thì $\mathrm{L}\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{L}}.$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$).

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

Định lí 2

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}\iff \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

VI. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};$$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0.$

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

VII. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\infty$

Nhận xét:

 $$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \\ \iff \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=-\infty \end{gathered}$$

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$;

Nếu k lẻ thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=-\infty$.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

$\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+},\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-};\mathrm{x}\to +\infty ;\mathrm{x}\to -\infty .$

B. BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

Lời giải

Đặt f(x) = x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có:

f(0) = –2 < 0

f(1) = 1 > 0

f(2) = -8 < 0

f(3) = 13 > 0

f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)

f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).

Bài 2. Giới hạn của các dãy số sau:

a) ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{3{\mathrm{n}}^3+2\mathrm{n}-1}{2{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}}$

b) u_n = 5ⁿ – 2ⁿ;

c) $\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}-\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}\right)$

Lời giải

a) ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}=\lim \frac{3+\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}}{\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}$

Vì $\lim \left(3+\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)=3>0$, $\lim \left(\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right)=0$ và $\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}>0$ với mọi  nên theo quy tắc 3, ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}=+\infty$.

b) Ta có $5^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}=5^{\mathrm{n}}\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{n}}\right)$

Vì ${\text{lim5}}^{\mathrm{n}}=+\infty$ và $\lim \left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{n}}\right)=1>0$ nên theo quy tắc 2, $\lim \left(5^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}\right)=+\infty$

c)

$\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}-\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}\right)$

$$\begin{gathered} =\lim \frac{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1-{\mathrm{n}}^2}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}+\mathrm{n}}+ \\ \lim \frac{{\mathrm{n}}^3-{\mathrm{n}}^3-3\mathrm{n}-2}{{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}+\sqrt[3]{{\left({\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2\right)}^2}} \\ =\lim \frac{\mathrm{n}+1}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}+\mathrm{n}}+ \\ \lim \frac{-3\mathrm{n}-2}{{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}+\sqrt[3]{{\left({\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2\right)}^2}} \\ =\lim \frac{1+\frac{1}{\mathrm{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}+1}+ \\ \lim \frac{-\frac{3}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}}{1-\sqrt[3]{1+\frac{3}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}}+\sqrt[3]{{\left(1+\frac{3}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right)}^2}} \\ =\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

Bài 3. a) Xét tính liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ của hàm số: $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2}\mathrm{khi}\mathrm{x}>2\\ 5-\mathrm{x}\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 2.\end{array}\right.$

b) Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}\mathrm{x}<0\\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\ge 0\end{array}\right.$ tại $\mathrm{x}=0$

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là $\mathrm{ℝ}$

Với x > 2 thì hàm $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2}$ là hàm phân thức nên liên tục trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$.

Với x < 2 thì hàm g(x) = 5 – x là hàm đa thức nên liên tục trên $\left(-\infty ;2\right)$.

Tại x = 2, ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)}{\mathrm{x}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\left(\mathrm{x}+1\right)=3 \\ \underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\left(5-\mathrm{x}\right)=3 \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(2\right)=3 \end{gathered}$$

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.

b) Ta có: $\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\left(\mathrm{x}+2\mathrm{a}\right)=2\mathrm{a}$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)=1$

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì $\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\iff 2\mathrm{a}=1\iff \mathrm{a}=\frac{1}{2}.$

Vậy $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

Bài 4. Chứng minh phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+15{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}+2}=3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$ có 5 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

 $$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+15{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}+2={\left(3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}^2 \\ \iff {\mathrm{x}}^5-9{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+18{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+1=0 \end{gathered}$$

Hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^5-9{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+18{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+1$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}(-2)=-95<0,\mathrm{f}(-1)=1>0, \\ \mathrm{f}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{19}{32}<0 \\ \mathrm{f}\left(0\right)=1>0,\mathrm{f}\left(2\right)=-47<0, \\ \mathrm{f}\left(10\right)=7921>0 \end{gathered}$$

Do đó phương trình  có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng $\left(-2;-1\right), \left(-1;-\frac{1}{2}\right), \left(-\frac{1}{2};0\right),$$\left(0;2\right), \left(2;10\right)$

Mặt khác  là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

Bài 5. Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathrm{A}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{(4\mathrm{x}+1)}^3{(2\mathrm{x}+1)}^4}{{(3+2\mathrm{x})}^7}$;

b)  $\mathrm{B}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{3{\mathrm{x}}^2-2}+\sqrt{\mathrm{x}+1}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}-1}$;

Lời giải

a) Ta có: $\mathrm{A}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(4+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^3{\left(2+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^4}{{\left(\frac{3}{\mathrm{x}}+2\right)}^7}=8$

b) Ta có:

 $$\begin{gathered} \mathrm{B}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\left|\mathrm{x}\right|\sqrt{3-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}+\left|\mathrm{x}\right|\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}{\left|\mathrm{x}\right|\left(\sqrt{1+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}-\frac{1}{\left|\mathrm{x}\right|}\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{3-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}-\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}{-\left(\sqrt{1+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}-\frac{1}{\left|\mathrm{x}\right|}\right)}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài: Ôn tập chương 4

Câu 1: Biết $\lim u_n=5;\lim v_n=a;\lim \left(u_n+3v_n\right)=2018$, khi đó a bằng

A. 617

B. $\frac{2018}{3}$

C. $\frac{2023}{3}$

D. 671

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\lim \left(u_n+3v_n\right)=2018$

$\iff 5+3a=2018\iff a=671$ .

Câu 2: Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-x^3}{\left(2x-1\right)\left(x^4-3\right)}$ là

A. $-\frac{3}{2}$

B. 0

C. – 2

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-x^3}{\left(2x-1\right)\left(x^4-3\right)}$

$=\frac{1-1}{\left(2.1-1\right)\left(1-3\right)}=0$

Câu 3: Kết quả của giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+3}$ là

A. 2

B. 3

C. – 2

D. $+\infty$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+3}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}}=2\end{array}$

Câu 4: Cho giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x^3-1}{3x^2+x+2}=-\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. $a=11,b=4$

B. $a=11,b=3$

C. $a=10,b=3$

D. $a=11,b=5$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có  $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4x^3-1}{3x^2+x+2}=-\frac{11}{4}$.

Vậy $a=11$ và $b=4$ 

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. $\lim \frac{1}{n^k}=0$ với k là số nguyên dương.

B. Nếu $\left|q\right|<1$ thì $\lim q^n=0$

C. Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=b$ thì  $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$

D. Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=+\infty$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì phải có điều kiện $b\ne 0$

Câu 6: Tính giới hạn $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{3+2x}{x+2}$ 

A. 2

B. $-\infty$

C.  $+\infty$

D. $\frac{3}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\left(3+2x\right)=-1<0$;  

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\left(x+2\right)=0$ và khi $x\to {\left(-2\right)}^{-}$ thì $x+2<0$ nên

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{3+2x}{x+2}=+\infty$

Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Hàm số  $y=5x^3+x-2$ liên tục trên $ℝ$

B. Hàm số  $y=\frac{3x-5}{x+3}$ liên tục trên $ℝ$

C. Hàm số $y=\frac{2x^2-x}{x+1}$  liên tục trên $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$

D. Hàm số  $y=x^5+3x^2+5$ liên tục trên $ℝ$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hàm số $y=\frac{3x-5}{x+3}$ ta có

Tập xác định là $D=ℝ\backslash \left\{-3\right\}$ 

Hàm số $y=\frac{3x-5}{x+3}$ liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$ và $\left(-3;+\infty \right)$ 

Câu 8: Trong các giới hạn dãy số dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là

A. $\lim \left(-3n^4+3\right)=-\infty$

B. $\lim \left(-3n^4+3\right)=0$

C. $\lim \left(-n^4+2\right)=+\infty$

D. $\lim \left(5n^4-2\right)=-\infty$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$\lim \left(-3n^4+3\right)=\lim n^4\left(-3+\frac{3}{n^4}\right)$ 

Do $\lim n^4=\infty$ $\lim \left(-3+\frac{3}{n^4}\right)=-3<0$ nên  

$\lim \left(-3n^4+3\right)=\lim n^4\left(-3+\frac{3}{n^4}\right)=-\infty$

Câu 9: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{4x-3}{x-3}$ có kết quả là

A. 9

B. 0

C. $-\infty$

D. $+\infty$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{4x-3}{x-1}=+\infty$ do  

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(4x-3\right)=9>0\\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim \left(x-3\right)=0\left(x-3>0\right)}\end{array}\right.$

Câu 10: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại $x=-2$ ?

A. $y=2x^2+x-5$

B. $y=\frac{x+5}{x-2}$

C. $y=\frac{1}{x+2}$

D. $y=\frac{x-2}{2x}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số $y=\frac{1}{x+2}$ bị gián đoạn tại $x=-2$ vì $y\left(-2\right)$ không tồn tại.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

Lý thuyết Ôn tập chương 5