Lý thuyết Ôn tập chương 4 (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11
Lý thuyết Ôn tập chương 4 lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Ôn tập chương 4.
Lý thuyết Toán 11 Ôn tập chương 4
A. LÝ THUYẾT
1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
+) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: hay un → 0 khi n → +∞.
+) Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu
Kí hiệu: hay vn → a khi n → +∞.
Một vài giới hạn đặc biệt
a) với k nguyên dương;
b) nếu |q| < 1;
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì .
Chú ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là lim un = a.
II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
+) Định lí 1
a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
(nếu )
Nếu với mọi n và limun = a thì:
và
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.
Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;
b) lim qn = +∞ nếu q > 1.
3. Định lí 2
a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì
b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì
c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì .
V. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: với c là hằng số
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử và . Khi đó:
b) Nếu và thì và
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với ).
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: .
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: .
Định lí 2
VI. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
Chú ý:
a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞
VII. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞
Kí hiệu:
Nhận xét:
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) với k nguyên dương.
b) Nếu k chẵn thì ;
Nếu k lẻ thì .
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với )
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:
B. BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)
Lời giải
Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có:
f(0) = –2 < 0
f(1) = 1 > 0
f(2) = -8 < 0
f(3) = 13 > 0
f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)
f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).
Bài 2. Giới hạn của các dãy số sau:
a)
b) un = 5n – 2n;
c)
Lời giải
a)
Vì , và với mọi nên theo quy tắc 3, .
b) Ta có
Vì và nên theo quy tắc 2,
c)
Bài 3. a) Xét tính liên tục trên của hàm số:
b) Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra: tại
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số là
Với x > 2 thì hàm là hàm phân thức nên liên tục trên khoảng .
Với x < 2 thì hàm g(x) = 5 – x là hàm đa thức nên liên tục trên .
Tại x = 2, ta có:
Do đó hàm số liên tục tại x = 2.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên .
b) Ta có: và
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
Vậy thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Bài 4. Chứng minh phương trình có 5 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
Hàm số liên tục trên
Ta có:
Do đó phương trình có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng
Mặt khác là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Trắc nghiệm Toán 11 Bài: Ôn tập chương 4
Câu 1: Biết , khi đó a bằng
A. 617
B.
C.
D. 671
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có:
.
Câu 2: Giá trị của giới hạn là
A.
B. 0
C. – 2
D. 1
Đáp án: B
Giải thích:
Câu 3: Kết quả của giới hạn là
A. 2
B. 3
C. – 2
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có
Câu 4: Cho giới hạn với và là phân số tối giản. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có .
Vậy và
Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. với k là số nguyên dương.
B. Nếu thì
C. Nếu và thì
D. Nếu và thì
Đáp án: C
Giải thích:
Vì phải có điều kiện
Câu 6: Tính giới hạn
A. 2
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có ;
và khi thì nên
Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số liên tục trên
C. Hàm số liên tục trên và
D. Hàm số liên tục trên
Đáp án: B
Giải thích:
Xét hàm số ta có
Tập xác định là
Hàm số liên tục trên khoảng và
Câu 8: Trong các giới hạn dãy số dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Do nên
Câu 9: có kết quả là
A. 9
B. 0
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có: do
Câu 10: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại ?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Hàm số bị gián đoạn tại vì không tồn tại.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11