Lý thuyết Ôn tập chương 4 (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Ôn tập chương 4 lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Ôn tập chương 4.

1 1,493 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Ôn tập chương 4

A. LÝ THUYẾT

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

+) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn+un=0 hay un → 0 khi n → +∞.

+) Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn+vna=0

Kí hiệu: limn+vn=a hay vn → a khi n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a) limn+1n=0,limn+1nk=0 với k nguyên dương;

b) limn+qn nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limn+un=limn+c=c.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn+un=a ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

+) Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab (nếu b0)

Nếu un0 với mọi n và limu= a thì:

limun=a và a0.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...

=u11qq<1

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì limunvn=0

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì limunvn=+

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limun.vn=+.

V. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxfx=L hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét: limxx=x0,limxc=c với c là hằng số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử limxx0fx=Llimxx0gx=M. Khi đó:

limxx0fx+gx=L+M;limxx0fxgx=LM;limxx0fx.gx=L.M;limxx0fxgx=LMM0;

b) Nếu fx0 và limxx0fx=L thì L0 và limxx0fx=L.

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với xx0).

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxx0+fx=L.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxx0fx=L.

Định lí 2

limxx0fx=Llimxx0+f(x)=limxx0fx=L

VI. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx+fx=L

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limxfx=L

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

limx+c=c;limxc=c;limx+cxk=0;limxcxk=0.

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞

VII. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞

Kí hiệu: limxfx=

Nhận xét:

 limx+fx=+limx+fx=

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) limx+xk=+ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì limxxk=+;

Nếu k lẻ thì limxxk=.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương fxgx

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với xx0)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

xx0+,xx0;x+;x.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

Lời giải

Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có:

f(0) = –2 < 0

f(1) = 1 > 0

f(2) = -8 < 0

f(3) = 13 > 0

f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)

f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).

Bài 2. Giới hạn của các dãy số sau:

a) un=3n3+2n12n2n

b) un = 5n – 2n;

c) limn2+n+1n3+3n+23

Lời giải

a) limun=lim3+2n21n32n1n2

lim3+2n21n3=3>0, lim2n1n2=0 và 2n1n2>0 với mọi  nên theo quy tắc 3, limun=+.

b) Ta có 5n2n=5n125n

lim5n=+ và lim125n=1>0 nên theo quy tắc 2, lim5n2n=+

c)

limn2+n+1n3+3n+23

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Ôn tập chương 4 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

=limn2+n+1n2n2+n+1+n+limn3n33n2n2nn3+3n+23+n3+3n+223=limn+1n2+n+1+n+lim3n2n2nn3+3n+23+n3+3n+223=lim1+1n1+1n+1n2+1+lim3n2n211+3n2+2n33+1+3n2+2n323=12+0=12.

Bài 3. a) Xét tính liên tục trên của hàm số: g(x)=x2x2x2khix>25x              khi  x2.

b) Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra: fx=x+2a  khi  x<0x2+x+1   khi  x0 tại x=0

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là 

Với x > 2 thì hàm g(x)=x2x2x2 là hàm phân thức nên liên tục trên khoảng 2;+.

Với x < 2 thì hàm g(x) = 5 – x là hàm đa thức nên liên tục trên ;2.

Tại x = 2, ta có:

limx2+g(x)=limx2+x2x2x2=limx2+x+1x2x2=limx2+x+1=3limx2g(x)=limx25x=3limx2+g(x)=limx2g(x)=g(2)=3

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên .

b) Ta có: limx0f(x)=limx0x+2a=2a và limx0+f(x)=limx0+x2+x+1=1

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì limx0f(x)=limx0+f(x)2a=1a=12.

Vậy a=12 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

Bài 4. Chứng minh phương trình x5+2x3+15x2+14x+2=3x2+x+1 có 5 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

 x5+2x3+15x2+14x+2=3x2+x+12x59x44x3+18x2+12x+1=0

Hàm số f(x)=x59x44x3+18x2+12x+1 liên tục trên 

Ta có:

f(2)=95<0,f(1)=1>0,f12=1932<0f(0)=1>0,f(2)=47<0,f(10)=7921>0

Do đó phương trình  có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng 2;1, 1;12, 12;0, 0;2, 2;10

Mặt khác  là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

Bài 5. Tìm các giới hạn sau:

a) A=limx+(4x+1)3(2x+1)4(3+2x)7;

b)  B=limx3x22+x+1x2+11;

Lời giải

a) Ta có: A=limx+4+1x32+1x43x+27=8

b) Ta có:

 B=limxx32x2+x1x+1x2x1+1x21x=limx32x21x+1x21+1x21x=3

Trắc nghiệm Toán 11 Bài: Ôn tập chương 4

Câu 1: Biết limun=5;limvn=a;limun+3vn=2018, khi đó a bằng

A. 617

B. 20183

C. 20233

D. 671

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

limun+3vn=2018

5+3a=2018a=671 .

Câu 2: Giá trị của giới hạn limx1xx32x1x43 là

A. 32

B. 0

C. – 2

D. 1

Đáp án: B

Giải thích:

limx1xx32x1x43

=112.1113=0

Câu 3: Kết quả của giới hạn limx2x2+5x3x2+6x+3 là

A. 2

B. 3

C. – 2

D. +

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

limx2x2+5x3x2+6x+3=limxx22+5x3x2x21+6x+3x2=limx2+5x3x21+6x+3x2=2

Câu 4: Cho giới hạn limx4x313x2+x+2=ab với a,b và ab là phân số tối giản. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. a=11,  b=4

B. a=11,  b=3

C. a=10,  b=3

D. a=11,  b=5

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có  limx24x313x2+x+2=114.

Vậy a=11 và b=4 

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. lim1nk=0 với k là số nguyên dương.

B. Nếu q<1 thì limqn=0

C. Nếu limun=a và limvn=b thì  limunvn=ab

D. Nếu limun=a và limvn=+ thì limunvn=0

Đáp án: C

Giải thích:

Vì phải có điều kiện b0

Câu 6: Tính giới hạn limx23+2xx+2 

A. 2

B.

C.  +

D. 32

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có limx23+2x=1<0;  

limx2x+2=0 và khi x2 thì x+2<0 nên

limx23+2xx+2=+

Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Hàm số  y=5x3+x2 liên tục trên

B. Hàm số  y=3x5x+3 liên tục trên

C. Hàm số y=2x2xx+1  liên tục trên ;1 và 1;+

D. Hàm số  y=x5+3x2+5 liên tục trên 

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hàm số y=3x5x+3 ta có

Tập xác định là D=\3 

Hàm số y=3x5x+3 liên tục trên khoảng ;3 và 3;+ 

Câu 8: Trong các giới hạn dãy số dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là

A. lim3n4+3=

B. lim3n4+3=0

C. limn4+2=+

D. lim5n42=

Đáp án: A

Giải thích:

lim3n4+3=limn43+3n4 

Do limn4= lim3+3n4=3<0 nên  

lim3n4+3=limn43+3n4=

Câu 9: limx3+4x3x3 có kết quả là

A. 9

B. 0

C. 

D. +

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: limx3+4x3x1=+ do  

limx3+4x3=9>0limx3=0x3>0x3+

Câu 10: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại x=2 ?

A. y=2x2+x5

B. y=x+5x2

C. y=1x+2

D. y=x22x

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số y=1x+2 bị gián đoạn tại x=2 vì y2 không tồn tại.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

Lý thuyết Ôn tập chương 5

1 1,493 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: