Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản.

1 9,105 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 2)

A. Lý thuyết

1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: π2απ2sinα  =a thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x  =  α  +​  k2π và x  =π   α  +​  k2π  ;  k

Tổng quát: 

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là x  =  π2  +​  k2π;  k.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là x  =  π2  +​  k2π;  k.

+ Khi a = 0:  Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là x  =  kπ;  k.

- Ví dụ 1. Giải các phương trình: 

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Vì 32=  sinπ3 nên

sinx  =32  sinx=  sinπ3

Vậy phương trình có các nghiệm là:

x=   π3+k2π;  k và x=  π  π3+k2π=2π3+k2π;  k

b) Ta có: sinx=  23 khi x=arcsin23.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

x=  arcsin23  +  k2π;  k và x=π  arcsin23  +  k2π;  k

2. Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì cosx   1 với mọi x.

- Trường hợp  a   1.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: x  =  ±α  +  k2π;  k

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Phương trình cos x= cosβ0 có các nghiệm là x=  ±β0  +​ k3600;  k

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: 0απcosα  =a thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

x=  ±  arccosa​ +  k2π  ;  k

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: x  =  k2π;  k.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: x  =π+  k2π;  k

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: x  =π2+​  kπ;  k.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

3. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác định của phương trình là xπ2+  kπ;  k.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: x=arctana+​ kπ;  k

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+​ kπ;  k

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) f(x)​  =g(x)+​ kπ;  k.

b) Phương trình tanx = tanβ0 có các nghiệm là: x=  β0  +k.1800;  k.

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

4. Phương trình cotx = a

Điều kiện xác định của phương trình x  kπ  ;  k.

Kí hiệu x = arccota (đọc là ac– côtang – a; nghĩa là cung có côtang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình cotx = a là: x=arccota+​ kπ;  k

- Chú ý:

a) Phương trình cotx = cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+​ kπ;  k

Tổng quát; cot f(x) = cot g(x) f(x)​  =g(x)+​ kπ;  k.

b) Phương trình cot x = cot β0 có các nghiệm là: x=  β0  +k.1800;  k

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Ghi nhớ.

Mỗi phương trình sinx = a (|a| ≤ 1); cosx = a (|a| ≤ 1), tanx = a; cotx = a có vô số nghiệm.

Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 2. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 3. Giải các phương trình:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Khi đó:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm phương trình đã cho là x=  kπ2;  k.

Bài 4. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm phương trình là

x=π6+kπ3;  k3m  +1;  k;m

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 1: Tìm số nghiệm thuộc đoạn 2π;4π của phương trình sin3xcosx+1=0

A. 6 

B. 5

C. 4

D. 3

Đáp án: A

Giải thích:

sin3xcosx+1=0 

cosx+10sin3x=0

xπ+k2πx=kπ3,k

Do x2π;4π nên  

x2π;7π3;8π3;10π3;11π3;4π

Vậy có 6 nghiệm x2π;4π.

Câu 2: Khẳng định nào đúng:

A. tanx=1x=π4+k2π

B. sin2x=0x=kπ

C. cosx=0x=π2+k2π

D. sin2x=1x=π4+kπ

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

sin2x=1

2x=π2+k2π

x=π4+kπk.

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3sinx+cosx=m có nghiệm

A. m2

B.  2<m<2 

C. m2 hoặc m2

D. 2m2

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình có nghiệm khi

32+12m2m24

2m2.

Câu 4: Số nghiệm của phương trình lượng giác: 2sinx1=0 thỏa điều kiện π<x<π  là

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Đáp án: C

Giải thích:

Phương trình  2sinx1=0sinx=12

x=π6+k2πx=5π6+k2π;k 

Do π<x<π nên x=π6;x=5π6.

Câu 5: Phương trình msinx+3cosx=5 có nghiệm khi và chỉ khi

A. m4                  

B. m4                   

C. m4                

D. m4

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi  

m2+925m4

Câu 6: Cho phương trình lượng giác 3tanx+3=0 có nghiệm là

A. x=π3+k2π

B. x=π3+kπ

C.  x=π6+kπ

D. x=π3+kπ

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

3tanx+3=0

tanx=3

x=π3+kπ,k.

Câu 7: Phương trình: cosxm=0 vô nghiệm khi m là

A. m<1m>1

B. m>1

C. 1m1

D.  m<1

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có  cosxm=0

cosx=m

Phương trình vô nghiệm  

m>1m<1m>1.

Câu 8: Phương trình lượng giác: cos2x+2cosx3=0 có nghiệm là

A. x=π2+k2π

B. Vô nghiệm

C. x=k2π

D. x = 0.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có cos2x+2cosx3=0

cosx=1ncosx=3l 

cosx=1x=k2π

Câu 9: Phương trình lượng giác:cos3x=cos12°  có nghiệm là

A. x=π45+k2π3

B. x=π45+k2π3

C. x=±π45+k2π3

D. x=±π15+k2π

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có  12°=π15

cos3x=cos12°

cos3x=cosπ15

3x=±π15+k2π

x=±π45+k2π3.

Câu 10: Một nghiệm của phương trình sin2x+sin22x+sin23x=2 là

A. π6

B. π3

C. π8

D. π12 

Đáp án: B

Giải thích:

sin2x+sin22x+sin23x=2

1cos2x2+1cos4x2+1cos6x2=2

cos2x+cos4x+cos6x+1=0

2cosxcos3x+2cos23x=0

cos3xcosx+cos3x=0

cos3x=0cosx+cos3x=0

3x=kπcosx=cos3x

x=kπ3cosx=cosπ3x

x=kπ3x=π3x+k2πx=3xπ+k2π

x=kπ3x=π4+kπ2x=π2kπk

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn

Lý thuyết Phép thử và biến cố

1 9,105 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: