Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

A. Lý thuyết

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

- Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b.

Khi đó, ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có 3 khả năng xảy ra:

i) a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu $a\cap b=\left\{M\right\}$. Ta có thể viết $a\cap b=M$.

ii) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b.

iii) a trùng b, kí hiệu là $a\equiv b$.

- Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b.

Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.

- Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau.

Lời giải:

Đường thẳng AB và CD chéo nhau.

Đường thẳng AC và BD chéo nhau.

Đường thẳng AD và BC chéo nhau.

II. Tính chất

- Định lí. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

- Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng).

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAD) và (SBC).

b) (MCD) và (SAB), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Lời giải:

- Định lí. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ta có: a // c; b // c nên a // b hay a // b // c (ba đường thẳng song song).

 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng IJ // AB, từ đó suy ra IJ // CD.

Lời giải:

Xét tam giác SAB có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB.

Từ đó suy ra IJ // AB.

Lại có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) nên từ đó ta có IJ // CD (vì cùng song song với đường thẳng AB).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải:

Giả sử AB và CD không chéo nhau, nghĩa là hai đường thẳng này đồng phẳng.

Khi đó AB và CD có thể song song với nhau hoặc cắt nhau tại một điểm hoặc trùng nhau (vô lý vì ABCD là tứ diện nên 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng).

Vậy AB và CD chéo nhau.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) $d_1=\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$.

b) $d_2=\left(SCD\right)\cap \left(MAB\right)$. Từ đó chứng minh d₁ // d₂.

Lời giải:

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho ; I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD.

a) Chứng minh rằng MN // BC.

b) Tứ giác MNJI là hình gì.

Lời giải:

a) Xét mp(ABC) có:

 $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, từ đó suy ra MN // BC   (1) (Định lý Ta-lét đảo).

b) Xét mp(BCD) có: I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD

Nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD.

Từ đó suy ra IJ // BC  (2).

Từ (1) và (2) suy ra MN // IJ.

Vậy tứ giác MNJI là hình thang.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD, biết (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC, AD.

Lời giải:

Qua M kẻ đường thẳng MQ // AD với Q thuộc SD.

Có MO // SC (do MO là đường trung bình của tam giác SAC).

Trong mp(ABCD), qua O dựng đường thẳng song song với AD cắt AB, CD lần lượt tại N và P.

Từ đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\left(OMQ\right)\cap \left(SAD\right)=MQ\\ \left(OMQ\right)\cap \left(SCD\right)=QP\\ \left(OMQ\right)\cap \left(ABCD\right)=PN\\ \left(OMQ\right)\cap \left(SAB\right)=NM\end{array}\right.$

Vậy thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là hình thang MNPQ.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?

A. $M,P,R,T.$

B. $M,Q,T,R.$

C. $M,N,R,T.$

D. $P,Q,R,T.$

Câu 4: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

Câu 5: Hãy Chọn Câu đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng song song nhau nếu chúng không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau.

Câu 6: Hãy Chọn Câu đúng?

A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui.

B. Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó.

C. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có hai đường thẳng p và q song song nhau mà mỗi đường đều cắt cả a và b.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy  là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với ?

A. EF

B. DC

C. AD

D. AB

Câu 8: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng thuộc mp$\left(\alpha \right)$.

Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A,B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?

A. Có thể song song hoặc cắt nhau.

B. Cắt nhau.

C. Song song nhau.

D. Chéo nhau.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(SBC\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d qua S và song song với BC.

B. d qua S và song song với DC.

C. d qua S và song song với AB.

D. d qua S và song song với BD.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Vectơ trong không gian