Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song.

1 21413 lượt xem
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

A. Lý thuyết

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

- Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b.

Khi đó, ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có 3 khả năng xảy ra:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

i) a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu ab=M. Ta có thể viết ab=M.

ii) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b.

iii) a trùng b, kí hiệu là a  b.

- Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b.

Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đường thẳng AB và CD chéo nhau.

Đường thẳng AC và BD chéo nhau.

Đường thẳng AD và BC chéo nhau.

II. Tính chất

- Định lí. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

- Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng).

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAD) và (SBC).

b) (MCD) và (SAB), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Định lí. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ta có: a // c; b // c nên a // b hay a // b // c (ba đường thẳng song song).

 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng IJ // AB, từ đó suy ra IJ // CD.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Xét tam giác SAB có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB.

Từ đó suy ra IJ // AB.

Lại có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) nên từ đó ta có IJ // CD (vì cùng song song với đường thẳng AB).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giả sử AB và CD không chéo nhau, nghĩa là hai đường thẳng này đồng phẳng.

Khi đó AB và CD có thể song song với nhau hoặc cắt nhau tại một điểm hoặc trùng nhau (vô lý vì ABCD là tứ diện nên 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng).

Vậy AB và CD chéo nhau.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) d1=SABSCD.

b) d2=SCDMAB. Từ đó chứng minh d1 // d2.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho ; I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD.

a) Chứng minh rằng MN // BC.

b) Tứ giác MNJI là hình gì.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Xét mp(ABC) có:

 AMAB=ANAC, từ đó suy ra MN // BC   (1) (Định lý Ta-lét đảo).

b) Xét mp(BCD) có: I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD

Nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD.

Từ đó suy ra IJ // BC  (2).

Từ (1) và (2) suy ra MN // IJ.

Vậy tứ giác MNJI là hình thang.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD, biết (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC, AD.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Qua M kẻ đường thẳng MQ // AD với Q thuộc SD.

Có MO // SC (do MO là đường trung bình của tam giác SAC).

Trong mp(ABCD), qua O dựng đường thẳng song song với AD cắt AB, CD lần lượt tại N và P.

Từ đó ta có:

OMQSAD=MQOMQSCD=QPOMQABCD=PNOMQSAB=NM

Vậy thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là hình thang MNPQ.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

Đáp án: B

Giải thích:

Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

Đáp án: C

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?

A. M,P,R,T.

B. M,Q,T,R.

C. M,N,R,T.

D. P,Q,R,T.

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 2)

Ta có RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT//AD.

MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên MQ//AD.

Suy ra RT//MQ. Do đó M , Q , R ,T đồng phẳng.

Câu 4: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

Đáp án: C

Giải thích:

Câu A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau.

Câu B sai vì hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau.

Câu D sai vì hai đường thẳng phân biệt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.

Câu 5: Hãy Chọn Câu đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng song song nhau nếu chúng không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau.

Đáp án: D

Giải thích:

- Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì có thể trùng nhauA sai.

- Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song hoặc chéo nhauB sai.

- Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt, trùng hoặc chéo nhauC sai.

- Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳngD đúng.

Câu 6: Hãy Chọn Câu đúng?

A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui.

B. Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó.

C. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có hai đường thẳng p và q song song nhau mà mỗi đường đều cắt cả a và b.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.

Đáp án: D

Giải thích:

- Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì có thể đôi một song song nhauA sai.

- Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng có thể trùng với một trong hai đường thẳng đóB sai.

- Giả sử: p cắt a và b lần lượt tại A và B . q cắt a và b lần lượt tại A' và B'.

Nếu p//qA,B,A',B' đồng phẳng a,b đồng phẳng ( mâu thuẫn)C sai.

- Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳngD đúng.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy  là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với ?

A. EF

B. DC

C. AD

D. AB

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 4)

Ta có IJ là đường trung bình tam giác SAB nên IJ//AB.

D. đúng.

ABCD là hình bình hành nên AB//CD. Suy ra IJ//CD. B. đúng.

EF là đường trung bình tam giác SCD nên . Suy ra IJ//EF. A. đúng.

Do đó chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng thuộc mpα.

Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án: C

Giải thích:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng là:

+ Hai đường thẳng trùng nhau.

+ Hai đường thẳng cắt nhau.

+ Hai đường thẳng song song.

Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A,B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?

A. Có thể song song hoặc cắt nhau.

B. Cắt nhau.

C. Song song nhau.

D. Chéo nhau.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng. Do đó AD và BC chéo nhau.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d qua S và song song với BC.

B. d qua S và song song với DC.

C. d qua S và song song với AB.

D. d qua S và song song với BD.

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 5)

Ta có ADSADBCSACd=SADSACAD//BC

d//BC (Theo hệ quả của định lý 2 (Giao tuyến của ba mặt phẳng)).

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Vectơ trong không gian

1 21413 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: