Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Bài giảng Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

A. Lý thuyết.

I. Khái niệm về phép dời hình.

- Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M’; N’ thì

MN = M’N’.

- Nhận xét:

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

- Ví dụ 1. Vì phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm là phép dời hình nên thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ và phép đối xứng tâm O ta được một phép dời hình.

II. Tính chất

Phép dời hình:

1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.

2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

- Ví dụ 2. Cho đường tròn (C) có phương trình (x + 4)² + (y – 3)² = 49. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d và phép quay tâm O góc quay 90⁰ ta được đường tròn (C’).

Bán kính đường tròn (C’) là: R’ = R = 7.

III. Khái niệm hai hình bằng nhau.

- Định nghĩa. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

- Ví dụ 3.

a)  Qua phép tịnh tiến theo vectơ  biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Sau đó, ta thực hiện tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d biến tam giác A’B’C’ thành tam giác A”B”C”. Khi đó: ∆ABC = ∆A”B”C”.

b) Hình ảnh dưới đây cho ta hai hình bằng nhau:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường thẳng d: 3x + y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I(1 ; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}(-2;1)$.

Lời giải:

Gọi F là phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}(-2;1)$.

Gọi $d_1={Ð}_I\left(d\right),d\text{'}=T_{\overrightarrow{v}}\left(d_1\right)$$\Rightarrow d\text{'}=F\left(d\right)$.

Do d’ song song hoặc trùng với d do đó phương trình của d’ có dạng 3x + y + c = 0 - Lấy M(0 ; – 3) ta có Đ_I(M) = M’. Khi đó, I là trung điểm MM’.

Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có tọa độ của M’ là:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x\text{'}=2.1-0=2\\ y\text{'}=2.2-(-3)=7\end{array}\right. \\ \hspace{0.17em}\Rightarrow M\text{'}(2;7) \end{gathered}$$

- Tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}(-2;1)$ biến M’ thành M”. Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được: M”(0 ; 8)

Mà M” thuộc d’ nên thay tọa độ M” vào d’ ta được:

3.0 + 8 + c = 0 nên c = – 8.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + y – 8 = 0.

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2 ; 1). Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O(0; 0) và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}(2;3)$ biến điểm M thành điểm nào?

Lời giải:

+ Gọi Đ_O(M) = M’.

Suy ra, O là trung điểm của MM’.

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M+x_{M^{\text{'}}}=2x_O\\ y_M+y_{M^{\text{'}}}=2y_O\end{array}\right. \\ \iff M^{\text{'}}(-2;-1) \end{gathered}$$

+ Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ  biến M’ thành M”

$$\begin{gathered} \iff \overrightarrow{M^{\text{'}}{M^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{v} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{{M^{\text{'}}}^{\text{'}}}-x_{M^{\text{'}}}=2\\ y_{{M^{\text{'}}}^{\text{'}}}-y_{M^{\text{'}}}=3\end{array}\right. \\ \iff {M^{\text{'}}}^{\text{'}}(0;2) \end{gathered}$$

Vậy khi ta thực hiện liên tiếp phép đối xứng và phép tịnh tiến trên biến M thành M”(0 ; 2).

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}(2;3)$ biến (C) thành đường tròn nào?

Lời giải :                      

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; – 2) và bán kính $R=\sqrt{1^2+\text{\hspace{0.17em}}{(-2)}^2-1}=2$.

+ Thực hiện phép đối xứng qua trục Oy biến tâm I thành tâm I’(– 1 ; – 2) ; R’ = R = 2.

+ Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}(2;3)$ biến I’ thành I”

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được I’’(1 ; 1) và R’’ = R’ = 2.

Vậy đường tròn cần tìm có tâm I’’(1 ; 1) và bán kính R’’ = 2.

Phương trình (C’’) : (x – 1)² + (y – 1)² = 4.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Câu 1. Phép dời hình là:

A. phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

B. phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

C. phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

D. phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Chọn C.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4$ . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(2;3\right)$ biến $\left(C\right)$ thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. $x^2+y^2=4.$

B. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=4.$

C. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=4.$

D. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(1;-2\right)$ và bán kính $R=2$ .

Phép dời hình biến  thành  có tâm  và bán kính

$I\left(1;-2\right)\stackrel{{Đ}_{Oy}}{\to }H\left(-1;-2\right).$

$H\left(-1;-2\right)\underset{\overrightarrow{v}=\left(2;3\right)}{\overset{T_{\overrightarrow{v}}}{\to }}K\left(1;1\right).$

Vậy  $\left(C^{\text{'}}\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4.$ 

Câu 3. Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục.

B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến.

D. Phép quay.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Hợp thành hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến có vectơ tịnh tiến bằng tổng hai vectơ tịnh tiến của hai phép đã cho.

Câu 4. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ và phép đối xứng tâm I là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng trục.

B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép đồng nhất.

D. Phép tịnh tiến.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tâm đối xứng là J thỏa mãn $\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{v}.$

Câu 5. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục.

B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến.

D. Phép quay, góc quay khác $\pi .$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vectơ tịnh tiến là $2\overrightarrow{HK}$ với H,K lần lượt nằm trên trục của phép thứ nhất và phép thứ hai sao cho HK vuông góc với các trục đó.

Câu 6. Phát biểu nào dưới đây là đúng:

A. Phép tịnh tiến, phép quay là phép dời hình.

B. Phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục là phép dời hình.

C. Phép đồng nhất là phép dời hình.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Các phép đồng nhất, phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình.

Câu 7. Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành D, $Ñ$ là phép đối xứng trục AD . Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép quay Q và phép đối xứng trục AD là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm D

B. Phép đối xứng trục AC

C. Phép đối xứng tâm O

D. Phép đối xứng trục AB

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Phép quay tâm A biến B thành D , suy ra góc quay $\alpha =-{90}^0.$ Ta có:

$\begin{array}{cccc}A& \stackrel{Q_{}}{\to }& A& \stackrel{{Ñ}_{AD}}{\to }\\ B& & D& \\ C& & E& \\ D& & F& \end{array}\begin{array}{c}A\\ D\\ C\\ B\end{array}$

Từ hình vuông ABCD biến thành hình vuông ADCB. Nhận thấy có hai điểm không đổi vị trí là A và C nên suy ra đây là phép đối xứng trục AC.

Câu 8: Xét các mệnh đề sau:

(I): Phép dời hình biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng

(II): Cho 2 điểm phân biệt A ,B và f là phép dời hình sao cho f(A) = A, f(B) = B. Khi đó, nếu M nằm trên đường thẳng AB thì $f\left(M\right)=M$.

(III): Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

Số mệnh đề đúng trong 3 mệnh đề trên là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Mệnh đề (I) đúng.

Mệnh đề (II) đúng.

Mệnh đề (III) đúng.

Vậy có 3 mệnh đề đúng.

Câu 9: Giả sử phép biến hình biến f tam giác ABC thành tam giác $A’B’C’$. Xét các mệnh đề sau:

(I): Trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác  $A’B’C’$

(II): Trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác  $A’B’C’$

(III): Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $A’B’C’$.

Số mệnh đề đúng trong 3 mệnh đề trên là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Cả ba mệnh đề trên đều đúng.

Câu 10. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau (không vuông góc) là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục

B. Phép đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến

D. Phép quay, góc quay khác $\pi .$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Tâm quay là giao điểm của hai trục đối xứng. Góc quay bằng hai lần góc tạo bởi hai trục đối xứng.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép vị tự 

Lý thuyết Phép đồng dạng

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Lý thuyết Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song