Lý thuyết Hàm số lượng giác (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Hàm số lượng giác lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác.

1 16,057 25/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 2)

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

1. Hàm số sin và hàm số côsin

a) Hàm số sin

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là .

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Hàm số côsin

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là .

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2. Hàm số tang và hàm số côtang

a) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức: y  =  sinxcosx        (cosx0)

Kí hiệu là y = tanx.

Vì cosx ≠ 0 khi và chỉ khi x  π2  +  kπ   (k  ) nên tập xác định của hàm số y = tanx là D  =  \π2  +  kπ;k  .

b) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức: y  =  cosxsin x    (sin x0)

Kí hiệu là y = cot x.

Vì sinx ≠ 0 khi và chỉ khi x    kπ   (k) nên tập xác định của hàm số y = cotx là D  =  \kπ;k   .

- Nhận xét:

Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Từ đó, suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx là những hàm số lẻ.

II. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

- Số T = 2π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức: Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Hàm số y = sinx thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Tương tự; hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Các hàm số y = tanx và y = cotx cũng là những hàm số tuần hoàn, với chu kì π.

III. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác.

1. Hàm số y = sinx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :

+ Xác định với mọi x và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên 0;  π2 và nghịch biến trên π2;  π.

Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Chú ý:

Vì y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [– π;  0].

Đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Đồ thị hàm số y = sinx trên .

Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π nên với mọi x ta có:

sin  (x+​ k2π)=sinx;   k  

Do đó, muốn có đồ thị  hàm số y = sinx trên toàn bộ tập xác định , ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [– π; π] theo các vecto v=  (2π;  0) và v=  (2π;  0), nghĩa là tịnh tiến song song với trục hoành từng đoạn có độ dài 2π.

Dưới đây là đồ thị hàm số y = sinx trên :

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

2. Hàm số y = cosx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:

+ Xác định với mọi x  và – 1 ≤  cosx  ≤  1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Với mọi x ta có: sinx  +​  π2  =  cos x.

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto u=  π2;0 (sang trái một đoạn có độ dài bằng π2, song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số  y = cos x.

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].

+ Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = tan x:

+ Có tập xác định: D  =  \π2  +kπ;  k.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng 0;  π2

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng 0;  π2.

+ Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Bảng giá trị:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng 0;  π2 đi qua các điểm tìm được.

b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D.

Vì y = tanx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Lấy  đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng 0;  π2, ta được đồ thị hàm số trên nửa khoảng π2;  0.

Từ đó, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng π2;  π2.

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π nên tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng π2;  π2 song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên D.

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Tập giá trị của hàm số y = tanx là (;  +).

4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx: 

+ Có tập xác định là D  =\kπ;k.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

a) Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoàn (0; π).

Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D.

Đồ thị hàm số y = cotx trên D được biểu diễn như hình sau:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Tập giá trị của hàm số y = cotx là ;+.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Điều kiện: cosx ≠ 0

xπ2  +  kπ;  k

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: 

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: 

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: D=\π4    kπ;  k

Bài 2. Chứng minh rằng: hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ.

Lời giải:

Tập xác định:  D = .

Với mọi x  ​D  xD

Ta có: f(x) = sin2x + 2sinx

Và f(– x) = sin(– 2x) + 2sin(– x) = – sin2x – 2sinx = – (sin2x + 2sinx)

Suy ra: f(– x) = – f(x).

Do đó, hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ. (đpcm).

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của các hàm số.

a) y = 2sinx – 3;

b) y = sin2x – 4sinx + 3.

Lời giải:

Với mọi x ta có: – 1 ≤ sinx ≤ 1

Suy ra: – 2 ≤ 2sinx ≤  2.

Do đó;  – 2 – 3 ≤ 2sinx – 3  ≤ 2 – 3

hay – 5 ≤ 2 sinx – 3 ≤  – 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là – 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 5.

b) Ta có: sin2x – 4sinx + 3 = (sinx – 2)2 – 1.

Vì – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên – 3 ≤ sinx – 2 ≤  – 1

 1  ≤ (sinx – 2)2  ≤ 9

 1 – 1  ≤ (sinx – 2)2  – 1 ≤ 9 – 1

hay 0 ≤  sin2x – 4sinx + 3 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 8 và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0.

Bài 4. Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx,  tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = sinx :

Lý thuyết Hàm số lượng giác chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Ta xét trên khoảng (– π; π):

Để hàm số nhận giá trị dương tức là sinx > 0.

Dựa vào đồ thị suy ra: x0;  π.

+ Xét trên tập xác định:

Vì tính tuần hoàn với chu kì là 2π, suy ra hàm số y = sinx nhận giá trị dương khi xk2π;  π  +k2π;  k.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y=1+sinx  

A. D=[1;+)

B. D=

C. D=\π2+kπ;k

D. D=(;1]

Đáp án: B

Giải thích:

Hàm số y=1+sinx xác định

1+sinx0

sinx1 luôn đúng  x

Câu 2: Cho P=sinπ+α.cosπα và Q=sinπ2α.cosπ2+α

Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. P+Q=2

B. P+Q=0

C.  P+Q=1

D. P+Q=1

Đáp án: B

Giải thích:

P=sinπ+αcosπα

=sinαcosα;

Q=sinπ2αcosπ2+α

=cosαsinα

Vậy P+Q=0.

Câu 3: Tập xác định của hàm số y=12cosx3 là

A. D=\π6+k2π,k

B.  D=\π3+k2π,k

C.  D=\π6+k2π,π6+k2π,k

D. D=\π3+k2π,2π3+k2π,k

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có y xác định khi 2cosx30

cosx32

xπ6+k2πxπ6+k2π .

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=3sin2x5 lần lượt là

A. -8 và -2

B. 2 và 8

C. -5 và 2

D. - và 3

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có  1sin2x1

33sin2x383sin2x52

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=3sin2x5 lần lươt là -8 và -2 .

Câu 5: Cho απ3;π3. Trong những khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. cosα+π3>0

B. cotα+π3>0

C. tanα+π3>0

D. sinα+π3>0

Đáp án: D

Giải thích:

π3<α<π3

0<α+π3<2π3

suy ra sinα+π3>0.

Câu 6: Cho απ2;π;sinα=13 . Giá trị của biểu thức P=sinα+cosα+1 là

A. 4+223

B. 12+229

C. 12229

D. 4223

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có cos2α=1sin2α=119=89,

απ2;π nên  cosα=223

Vậy P=sinα+cosα+1

=13223+1

=4223

Câu 7: Trên hình vẽ sau các điểm M , N là những điểm biểu diễn của các cung có số đo là:

Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 3)

A. π3+k2π,k

B. π3+kπ2;k

C.  4π3+kπ,k

D. π3+kπ,k.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: Cung có số đo 4π3+kπ,k biểu diễn hai điểm M, N có số đo cung lần lượt là π3;4π3.

Câu 8: Cho cotα=2 Giá trị của biểu thức P=sinα+cosαsinαcosα là

A. -3

B. 3

C. 1

D. -1

Đáp án: A

Giải thích:

cotα=2 nên  sinα0

Chia tử và mẫu của biểu thức P cho sinα 

ta được P=1+cotα1cotα=1+212=3.

Câu 9: Đồ thị hàm số trên hình vẽ là đồ thị của hàm số nào

Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 4)

A. y=tanx

B. y=cos2x

C. y=cosx

D. y=sinx

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận xét:

+) x=π2+kπk thì y=0. Suy ra loại B và D

+) x=0 thì y = . Suy ra loại A

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 10: Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. sin4x+cos4x=112sin22x

B. sin4x=2sinxcosxcos2x

C. cos2x=sinxcosxsinx+cosx

D. cosa+b=sinasinbcosacosb

Đáp án: A

Giải thích:

sin4x+cos4x

=sin2x+cos2x22sin2xcos2x

=112sin22x.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn

1 16,057 25/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: