Lý thuyết Hàm số lượng giác (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11
Lý thuyết Hàm số lượng giác lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác.
Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác
Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 1)
Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 2)
A. Lý thuyết
I. Định nghĩa
1. Hàm số sin và hàm số côsin
a) Hàm số sin
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.
Tập xác định của hàm số sin là .
b) Hàm số côsin
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx:
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.
Tập xác định của hàm số côsin là .
2. Hàm số tang và hàm số côtang
a) Hàm số tang
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức:
Kí hiệu là y = tanx.
Vì cosx ≠ 0 khi và chỉ khi nên tập xác định của hàm số y = tanx là .
b) Hàm số côtang
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức:
Kí hiệu là y = cot x.
Vì sinx ≠ 0 khi và chỉ khi nên tập xác định của hàm số y = cotx là .
- Nhận xét:
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Từ đó, suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx là những hàm số lẻ.
II. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
- Số T = 2π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức:
- Hàm số y = sinx thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
- Tương tự; hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
- Các hàm số y = tanx và y = cotx cũng là những hàm số tuần hoàn, với chu kì π.
III. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác.
1. Hàm số y = sinx.
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :
+ Xác định với mọi x và – 1 ≤ sinx ≤ 1.
+ Là hàm số lẻ.
+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].
Hàm số y = sinx đồng biến trên và nghịch biến trên .
Bảng biến thiên:
Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).
- Chú ý:
Vì y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [– π; 0].
Đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:
b) Đồ thị hàm số y = sinx trên .
Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π nên với mọi x ta có:
Do đó, muốn có đồ thị hàm số y = sinx trên toàn bộ tập xác định , ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [– π; π] theo các vecto và , nghĩa là tịnh tiến song song với trục hoành từng đoạn có độ dài 2π.
Dưới đây là đồ thị hàm số y = sinx trên :
c) Tập giá trị của hàm số y = sinx
Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].
2. Hàm số y = cosx.
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:
+ Xác định với mọi x và – 1 ≤ cosx ≤ 1.
+ Là hàm số chẵn.
+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
Với mọi x ta có: .
Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto (sang trái một đoạn có độ dài bằng , song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số y = cos x.
+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].
+ Bảng biến thiên:
+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].
+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx.
Từ định nghĩa hàm số y = tan x:
+ Có tập xác định: .
+ Là hàm số lẻ.
+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng
+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng .
+ Bảng biến thiên:
+ Bảng giá trị:
Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng đi qua các điểm tìm được.
b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D.
Vì y = tanx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng , ta được đồ thị hàm số trên nửa khoảng .
Từ đó, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng .
- Vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π nên tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên D.
+ Tập giá trị của hàm số y = tanx là .
4. Hàm số y = cot x
Hàm số y = cotx:
+ Có tập xác định là .
+ Là hàm số lẻ.
+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.
a) Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).
Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoàn (0; π).
Bảng biến thiên:
Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).
b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D.
Đồ thị hàm số y = cotx trên D được biểu diễn như hình sau:
Tập giá trị của hàm số y = cotx là .
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Lời giải:
a) Điều kiện: cosx ≠ 0
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là:
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là:
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là:
Bài 2. Chứng minh rằng: hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ.
Lời giải:
Tập xác định: D = .
Với mọi
Ta có: f(x) = sin2x + 2sinx
Và f(– x) = sin(– 2x) + 2sin(– x) = – sin2x – 2sinx = – (sin2x + 2sinx)
Suy ra: f(– x) = – f(x).
Do đó, hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ. (đpcm).
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của các hàm số.
a) y = 2sinx – 3;
b) y = sin2x – 4sinx + 3.
Lời giải:
Với mọi x ta có: – 1 ≤ sinx ≤ 1
Suy ra: – 2 ≤ 2sinx ≤ 2.
Do đó; – 2 – 3 ≤ 2sinx – 3 ≤ 2 – 3
hay – 5 ≤ 2 sinx – 3 ≤ – 1.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là – 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 5.
b) Ta có: sin2x – 4sinx + 3 = (sinx – 2)2 – 1.
Vì – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên – 3 ≤ sinx – 2 ≤ – 1
1 ≤ (sinx – 2)2 ≤ 9
1 – 1 ≤ (sinx – 2)2 – 1 ≤ 9 – 1
hay 0 ≤ sin2x – 4sinx + 3 ≤ 8.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 8 và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0.
Bài 4. Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.
Lời giải:
Đồ thị hàm số y = sinx :
+ Ta xét trên khoảng (– π; π):
Để hàm số nhận giá trị dương tức là sinx > 0.
Dựa vào đồ thị suy ra: .
+ Xét trên tập xác định:
Vì tính tuần hoàn với chu kì là 2π, suy ra hàm số y = sinx nhận giá trị dương khi .
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Hàm số xác định
luôn đúng
Câu 2: Cho và
Mệnh đề nào dưới đây là đúng
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Vậy .
Câu 3: Tập xác định của hàm số là
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có y xác định khi
.
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là
A. -8 và -2
B. 2 và 8
C. -5 và 2
D. - và 3
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lươt là -8 và -2 .
Câu 5: Cho . Trong những khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Vì
suy ra .
Câu 6: Cho . Giá trị của biểu thức là
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có
vì nên
Vậy
Câu 7: Trên hình vẽ sau các điểm M , N là những điểm biểu diễn của các cung có số đo là:
A.
B.
C.
D. .
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có: Cung có số đo biểu diễn hai điểm M, N có số đo cung lần lượt là .
Câu 8: Cho Giá trị của biểu thức là
A. -3
B. 3
C. 1
D. -1
Đáp án: A
Giải thích:
Vì nên
Chia tử và mẫu của biểu thức P cho
ta được .
Câu 9: Đồ thị hàm số trên hình vẽ là đồ thị của hàm số nào
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Nhận xét:
+) thì . Suy ra loại B và D
+) thì y = . Suy ra loại A
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 10: Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản
Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11