Lý thuyết Hai mặt phẳng song song (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài giảng Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Hai mặt phẳng (α), (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Khi đó ta kí hiệu (α) // (β) hoặc (β) // (α).

II. Tính chất

- Định lí 1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β).

Ta có:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}a,b\subset \left(\alpha \right),a\cap b=M\\ a\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(\beta \right)\\ b\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(\beta \right)\end{array}\right\} \\ \Rightarrow \left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right) \end{gathered}$$

- Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

- Hệ quả 1. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α).

- Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

- Hệ quả 3. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α).

- Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

$\left.\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right)\\ a=\left(\alpha \right)\cap \left(\gamma \right)\\ b=\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)\end{array}\right\}\Rightarrow a\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}b$

- Hệ quả. Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right)\\ a\cap \left(\alpha \right)=A,b\cap \left(\alpha \right)=A^{\text{'}}\\ a\cap \left(\beta \right)=B,b\cap \left(\beta \right)=B^{\text{'}}\\ A{A}^{\text{'}}=\left(\alpha \right)\cap \left(\gamma \right)\\ B{B}^{\text{'}}=\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)\end{array}\right\} \\ \Rightarrow A{A}^{\text{'}}=B{B}^{\text{'}} \end{gathered}$$

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Chứng minh:

a) M, N, O, P  đồng phẳng.

b) mp(MON) // mp(SBC).

Lời giải:

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN // AD  (1).

Và OP là đường trung bình của tam giác ABC nên OP // BC // AD  (2).

Từ (1) và (2) suy ra MN // OP // AD nên 4 điểm M, N, O, P  đồng phẳng.

b) Vì $\left\{\begin{array}{c}MP\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}SB\\ OP\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC\\ \begin{array}{l}MP,OP\subset \left(MNOP\right)\\ SB,BC\subset \left(SBC\right)\end{array}\end{array}\right.$

Suy ra, (MNOP) // (SBC) hay (MON) // (SBC).

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là trung điểm của A’B’. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

Lời giải:

- Ta tìm giao tuyến của 2 mp(IBD) và (A’B’C’D’)

$\left\{\begin{array}{c}BD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}B\text{'}D\text{'}\\ BD\subset \left(IBD\right);B\text{'}D\text{'}\subset (A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'})\\ Ichung\end{array}\right.$

Suy ra, giao tuyến của (IBD) với (A’B’C’D’) là đường thẳng d đi qua I và song song với BD.

- Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của d và A’D’.

Suy ra,  IM // BD // B’D’.

Khi đó thiết diện là tứ giác IMDB và tứ giác này là hình thang.

III. Định lí Ta – let (Thalès)

- Định lí 4 (định lí Ta- let). Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Nếu d, d’ là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì:

$\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{CA}{C\text{'}A\text{'}}$

IV. Hình lăng trụ, hình hộp

Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α’). Trên (α) cho đa giác lồi A₁A₂…A_n. Qua các đỉnh A₁, A₂,.., A_n ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (α’) lần lượt tại .

Hình gồm hai đa giác A₁A₂…A_n,  và các hình bình hành A₁A₁’A₂’A₂;

A₂A₂’A₃’A₃,…, A_nA_n’A₁’A₁ được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là A₁A₂…A_n..

- Hai đa giác A₁A₂…A_n, gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

- Các đoạn thẳng A₁A’₁, A₂A₂’,…., A_nA_n’ gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.

- Các hình bình hành A₁A₁’A₂’A₂, A₂A₂’A₃’A₃, …, A_nA_n’A₁’A₁ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

- Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.

- Nhận xét:

+ Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

+ Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

+ Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy, chẳng hạn:

+ Hình lăng trụ có đáy là hình tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác.

+ Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

V. Hình chóp cụt

Định nghĩa:

Cho hình chóp S.A₁A₂…A_n ; một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh SA₁, SA₂, …,SA_n lần lượt tại A₁’; A₂’,.., A_n’. Hình tạo bởi thiết diện A₁’A₂’..A_n’ và đáy A₁A₂…A_n của hình chóp cùng với các tứ giác A₁A₁’A₂’A₂, A₂A₂’A₃’A₃,…, A_nA_n’A₁’A₁ gọi là hình chóp cụt.

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện A₁’A₂’..A_n’ gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

Các tứ giác A₁A₁’A₂’A₂, A₂A₂’A₃’A₃,…, A_nA_n’A₁’A₁ gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.

Các đoạn thẳng A₁A’₁, A₂A₂’,…., A_nA_n’ gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.

- Tính chất của hình chóp cụt

(1) Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

(2) Các mặt bên là những hình thang.

(3) Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Chứng minh: B’C // (AHC’).

Lời giải:

- Gọi M là trung điểm của AB.

Suy ra AMB’H là hình bình hành

Do đó, MB’// AH  mà $AH\subset mp(\text{}AHC\text{'})$ nên MB’// mp(AHC’)    ( 1) .

- Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’

Suy ra MH song song và bằng BB’ nên MH song song và bằng CC’

 MHC’C là hình hình hành.

Suy ra: MC // HC’ mà $HC\text{'}\subset mp(AHC\text{'})$ nên  MC // (AHC’)     ( 2) 

Từ (1) và (2), suy ra (B’MC) // (AHC’).

Suy ra, B’C // (AHC’).

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tia Ax, By, Cz, Dt song song, cùng hướng nhau và không nằm trong mp (ABCD). Mp(α) cắt Ax, By, Cz, Dt  lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh:

a) mp (AA’B’B) // (DD’C’C).

b) A’B’C’D’ là hình bình hành.                        

c) OO’ // AA’.

Trong đó O là tâm hình bình hành ABCD, O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’.

Lời giải:

a) Ta có :

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}AB\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}DC\\ A{A}^{\text{'}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}D{D}^{\text{'}}\\ AB,A{A}^{\text{'}}\subset \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\\ DC,D{D}^{\text{'}}\subset \left(D{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)\end{array}\right\} \\ \Rightarrow \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(D{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right) \end{gathered}$$

b)  Tương tự câu a, ta chứng minh được (ADD’A’) // (BCC’B’).

Vì :

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\\ \left(\alpha \right)\cap \left(DC{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)=C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\\ \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(DC{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\end{array}\right\} \\ \Rightarrow A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}} \end{gathered}$$  (1)

và :

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(AD{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)=A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\\ \left(\alpha \right)\cap \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)=C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\\ \left(AD{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\end{array}\right\} \\ \Rightarrow A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}} \end{gathered}$$  (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

c) Do O và O’ lần lượt là trung điểm của  AC và  A’C’ (tính chất hình bình hành) nên OO’ là đường trung bình trong hình thang AA’C’C.

Do đó OO’// AA’.

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.  Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Gọi ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN)  và (A’B’C’). Chứng minh ∆ // BC.

Lời giải:

Do M và N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’ nên MN là đường trung bình của hình bình hành BCC’B’ nên MN // B’C’.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}MN\subset \left(AMN\right);\\ \hspace{0.17em}B\text{'}C\text{'}\subset (A\text{'}B\text{'}C\text{'})\\ MN\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}B\text{'}C\text{'}\\ \left(AMN\right)\cap (A\text{'}B\text{'}C\text{'})=\Delta \end{array}\right.$

Suy ra: ∆ // MN // B’C’  (1).

Lại có BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’  (2).

Từ (1) và (2) suy ra ∆ // BC.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì?

Lời giải:

- Gọi MN là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy (ABCD).

Vì $\left\{\begin{array}{c}\left(P\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(SBD\right)\\ \left(P\right)\cap \left(ABCD\right)=MN\\ \left(SBD\right)\cap \left(ABCD\right)=BD\end{array}\right.$

 Suy ra MN // BD  (tính chất)

 - Lập luận tương tự, ta có

(P) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP // SD.

(P) cắt mp (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với  MP // SB.

Vậy tam giác PMN  đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Câu 1: Một mặt phẳng cắt hai mặt đối diện của hình hộp theo hai giao tuyến là a và b.  Hãy Chọn Câu đúng:

A. a và b song song.

B. a và b chéo nhau.

C. a và b trùng nhau.

D. a và b cắt nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 2: Chọn Câu đúng :

A. Hai đường thẳng a và b không cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên chúng chéo nhau.

B. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt nằm trên hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng không song song và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song thì chéo nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

A sai vì còn trường hợp song song.

B sai vì còn trường hợp cắt nhau.

C sai vì còn trường hợp song song.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left(\alpha \right)$ đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAD).Thiết diện là hình gì?

A. Tam giác

B. Hình thang

C. Hình bình hành

D. Tứ giác

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

 $\left\{\begin{array}{l}M\in \left(SAB\right)\cap \left(\alpha \right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SAD\right)=SA\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SAB\right)\cap \left(\alpha \right)=MK\parallel SA,K\in SB$

Tương tự 

 $\left\{\begin{array}{l}N\in \left(SCD\right)\cap \left(\alpha \right)\\ \left(\alpha \right)\parallel \left(SAD\right)\\ \left(SCD\right)\cap \left(SAD\right)=SD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SCD\right)\cap \left(\alpha \right)=NH\parallel SD,H\in SC$

Dễ thấy $HK=\left(\alpha \right)\cap \left(SBC\right)$. Thiết diện là tứ giác MNHK

Ba mặt phẳng $\left(ABCD\right),\left(SBC\right)$ và $\left(\alpha \right)$ đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN,HK,BC , mà $MN\parallel BC\Rightarrow MN\parallel HK$. Vậy thiết diện là một hình thang.

Câu 4: Chọn Câu đúng :

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.

B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

D. Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Theo hệ quả 2 sgk trang 66.

Câu 5: Hãy Chọn Câu sai :

A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.

B. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

C. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) đều phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song nhau.

D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Theo định lý 1 trang 64 sgk: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau

Câu 6: Cho một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với (P)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với (P).

Câu 7: Hãy Chọn Câu đúng :

A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.

B. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 8: Cho một điểm A nằm ngoài mp(P). Qua A vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với (P)?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Qua A vẽ được vô số đường thẳng song song với (P).

Câu 9: Cho đường thẳng a nằm trên mp$\left(\alpha \right)$ và đường thẳng b nằm trên mp$\left(\beta \right)$. Biết $\left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right)$.

Tìm câu sai:

A. $a\text{//}\left(\beta \right)$

B. $b\text{//}\left(\alpha \right)$

C. $a\text{//}b$

D. Nếu có một mp $\left(\gamma \right)$ chứa a và b thì $a\text{//}b$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Chọn C. vì còn có khả năng a, b chéo nhau như hình vẽ sau.

Câu 10: Giả thiết nào sau đây là điều kiện đủ để kết luận đường thẳng a song song với mp$\left(\alpha \right)$?

A. $a\parallel b$ và $b\parallel \left(\alpha \right)$.

B. $a\parallel b$ và $b\subset \left(\alpha \right)$.

C. $a\parallel mp\left(\beta \right)$ và $\left(\beta \right)\parallel \left(\alpha \right)$.

D. $a\cap \left(\alpha \right)=\varnothing$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo định nghĩa SGK Hình học 11.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Lý thuyết Ôn tập chương 2 

Lý thuyết Vectơ trong không gian

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng