Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.
Mục lục Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Video giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau
a) 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.
b) là phương trình bậc nhất đối với tanx.
Lời giải:
a) 2sinx – 3 = 0
Phương trình vô nghiệm vì với mọi x.
b)
Vậy các nghiệm của phương trình là .
Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0
Đặt cosx = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:
3t2 - 5t + 2 = 0 (1)
Δ = (-5)2 - 4.3.2 = 1
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
(thỏa mãn)
(thỏa mãn)
Trường hợp 1: cosx = 1
Trường hợp 2:
Vậy các nghiệm của phương trình là .
b)
Đặt tanx = t, ta được phương trình bậc hai theo t:
Vậy phương trình (1) vô nghiệm, nên không có thỏa mãn đề bài.
Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nhắc lại:
a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;
d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
Lời giải:
a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:
b) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
c) Công thức nhân đôi:
d) Công thức biến đổi tích thành tổng:
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Hoạt động 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình
3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0.
Lời giải:
3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0
⇔ 3(1 – sin26x) + 4sin 6x – 4 = 0 (áp dụng hằng đẳng thức và công thức nhân đôi)
⇔ –3sin26x + 4sin6x – 1 = 0
Đặt sin 6x = t với điều kiện (*), ta được phương trình bậc hai theo t:
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
Ta có:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: sin6x = 1
Vậy nghiệm của phương trình là: , ,
.
Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào công thức cộng đã học:
sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa
cos (a + b) = cosacosb − sinasinb
sin (a − b) = sinacosb − sinbcosa
cos (a − b) = cosacosb + sinasinb
và kết quả , hãy chứng minh rằng:
Lời giải:
a)
Ta có:
Cách khác:
Cách khác:
Hoạt động 6 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình:
Lời giải:
Vậy các nghiệm của phương trình là .
Bài 1 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: sin2x – sinx = 0.
Lời giải:
Vậy nghiệm của phương trình là ; .
Bài 2 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
Đặt
Phương trình trở thành: 2t2 – 3t +1 = 0
Với t = 1
Với
Vậy các nghiệm của phương trình là .
b)
Vậy nghiệm của phương trình là ; .
Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a)
Ta có:
Phương trình tương đương với:
Đặt
Phương trình trở thành:
t2 +2t - 3 = 0
Với t = 1
Vậy nghiệm của phương trình là .
b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0
Ta có: cos2x = 1 – sin2x
Phương trình tương đương với:
8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0
Đặt sinx = t,
Phương trình trở thành: 8t2 – 2t – 1 = 0
Với
Với
Vậy các nghiệm của phương trình là
c) 2tan2x + 3tanx +1 = 0
Điều kiện:
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
2t2 + 3t +1 = 0
Vậy các nghiệm của phương trình là .
d) tanx – 2cotx + 1 = 0
Điều kiện:
Ta có: tanx – 2cotx + 1 = 0
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
t2 + t – 2 = 0
(Thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là: ,
Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0;
b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
Lời giải:
a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0
Trường hợp 1:
Khi đó ta có 2.1 + 0 – 0 = 0 (vô lý)
Trường hợp 2:
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành:
Với t = 1 (Thỏa mãn)
Với (Thỏa mãn)
Vậy các nghiệm của phương trình là ; .
b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2
Trường hợp 1:
Khi đó ta có 3.1 + 0 – 0 = 2 (vô lý)
Trường hợp 2:
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành:
Với t = 1
Với t = 3
Vậy các nghiệm của phương trình là ; .
c)
Trường hợp 1:
Khi đó ta có: 2 + 0 – 0 = 1 (vô nghiệm)
Trường hợp 2:
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành:
Với t = 1
Vậy các nghiệm của phương trình là ;
Trường hợp 1:
Khi đó ta 0 + 0 - 4 = - 4 (Luôn đúng)
là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2:
Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Vậy các nghiệm của phương trình là ; .
Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a)
Vậy nghiệm của phương trình là ;
b) 3sin3x − 4cos3x = 5
Đặt , phương trình trở thành:
Vậy các nghiệm của phương trình là với ( ).
c)
Vậy các nghiệm của phương trình là hoặc .
d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0
Đặt , khi đó phương trình trở thành:
Vậy nghiệm của phương trình là với .
Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1;
Lời giải:
a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1
Điều kiện:
Ta có: tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1
Vậy các nghiệm của phương trình là .
b)
Điều kiện:
Ta có:
(Thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là ;
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Tiết 1)
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Tiết 2)
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:
Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp
Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp
Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11