Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.

1 2,250 18/10/2022


Mục lục Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Video giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau

a) 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) 3tanx+1=0 là phương trình bậc nhất đối với tanx.

Lời giải:

a) 2sinx – 3 = 0

 sinx=32

Phương trình vô nghiệm vì sinx1<32  với mọi x.

b3tanx+1=0

tanx=33

 tanx=tanπ6

 x=π6+kπ,k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π6+kπ,k .

Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) 3cos2x − 5cos x + 2 = 0 ;

b) 3tan2323tanx+3=0.

Lời giải:

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0

Đặt cosx = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 - 5t + 2 = 0 (1)

Δ = (-5)2 - 4.3.2 = 1

Phương trình (1) có hai nghiệm là: 

t1=(5)+12.3=66=1 (thỏa mãn)

t2=(5)12.3=46=23 (thỏa mãn)

Trường hợp 1: cosx = 1

x=k2π, k

Trường hợp 2: cosx=23x=±arccos23+k2π, k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=k2π;x=±arccos23+k2π, k.

b) 3tan2x23tanx+3=0

Đặt tanx = t, ta được phương trình bậc hai theo t:

3t223t+3=0 (1)

Δ=(23)24.3.3=24<0

Vậy phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài.

Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nhắc lại:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) Công thức cộng;

c) Công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.

Lời giải:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

Hãy nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản (ảnh 1)

b) Công thức cộng:

cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

tan(ab)=tanatanb1+tana.tanb

tan(a+b)=tana+tanb1tana.tanb

c) Công thức nhân đôi:

Hãy nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản (ảnh 1)

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

Hãy nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản (ảnh 1)

Công thức biến đổi tổng thành tích:

Hãy nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản (ảnh 1)

Hoạt động 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình

3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0.

Lời giải:

3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 =  0

 3(1 – sin26x) + 4sin 6x – 4 = 0 (áp dụng hằng đẳng thức và công thức nhân đôi)

 –3sin26x + 4sin6x – 1 = 0

Đặt sin 6x = t với điều kiện 1t1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2+4t1=0(1)

Δ=424.(1).(3)=4

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

t1=4+42(3)=13(TM)

t2=442(3)=1(TM)

Ta có:

Trường hợp 1:

Giải phương trình  3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0 (ảnh 1)

Trường hợp 2: sin6x = 1

sin6x=sinπ2

6x=π2+k2π

x=π12+kπ3,k

Vậy nghiệm của phương trình là: x=π12+kπ3x=16arcsin13+kπ3,

x=π616arcsin13+kπ3  k.

Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào công thức cộng đã học:

sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa  

cos (a + b) = cosacosb − sinasinb 

sin (a − b) = sinacosb − sinbcosa

cos (a − b) = cosacosb + sinasinb

và kết quả cosπ4=sinπ4=22 , hãy chứng minh rằng:

a)  sinx+cosx=2cosxπ4;

b) sinxcosx=2sinxπ4.

Lời giải:

a) sinx+cosx=2cosxπ4

Ta có:

 Dựa vào công thức cộng đã học sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa (ảnh 1)

Cách khác:

Dựa vào công thức cộng đã học sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa (ảnh 1)

Dựa vào công thức cộng đã học sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa (ảnh 1)

Cách khác:

Dựa vào công thức cộng đã học sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa (ảnh 1)

Hoạt động 6 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình 3sin3xcos3x=2

Lời giải:

Giải phương trình (ảnh 1)

Giải phương trình (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=5π36+k2π3;  x=11π36+k2π3k.

Bài 1 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: sin2x – sinx = 0.

Lời giải:

 sin2xsinx=0

sinx(sinx1)=0

sinx=0sinx1=0

sinx=0sinx=1

x=kπx=π2+k2π(k)

Vậy nghiệm của phương trình là x=kπx=π2+k2π(k).

Bài 2 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx +1 = 0;

b) 2sin2x+2sin4x=0.

Lời giải:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

Đặt cosx=t(1t1)

Phương trình trở thành: 2t2 – 3t +1 = 0

t=1 (TM) t=12(TM) 

Với t = 1 cosx=1 x=k2π,k

Với  t=12 cosx=12 x=±π3+k2π,k

Vậy các nghiệm của phương trình là x=k2π;  x=±π3+k2π,k.

b) 2sin2x+2sin4x=0

2sin2x+22sin2xcos2x=0

2sin2x1+2cos2x=0

sin2x=01+2cos2x=0

sin2x=0cos2x=12

2x=kπ2x=±3π4+k2πk

x=kπ2x=±3π8+kπ(k)

Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ2x=±3π8+kπ(k).

Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a)  sin2x22cosx2+2=0;

b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx +1 = 0;

d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Lời giải:

a)  sin2x22cosx2+2=0

Ta có: sin2x2=1cos2x2

Phương trình tương đương với:

1cos2x22cosx2+2=0  (*)

cos2x2+2cosx23=0 

Đặt  cosx2=t (-1t1)

Phương trình trở thành:

t2 +2t - 3 = 0

t=1 (TM)t=3 (L)

Với t = 1 cosx2=1 x2=k2π x=k4π (k) 

Vậy nghiệm của phương trình là x=k4π (k).

b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0

Ta có: cos2x = 1 – sin2x

Phương trình tương đương với:

8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

8sin2x2sinx1=0

Đặt sinx = t,  (1t1)

Phương trình trở thành: 8t2 – 2t – 1 = 0

t=12(TM)t=14(TM)

Với  t=12sinx=12 x=π6+k2πx=5π6+k2π(k)

Với  t=14sinx=14 x=arcsin14+k2πx=πarcsin14+k2π(k)

Vậy các nghiệm của phương trình là

x=π6+k2π;x=5π6+k2π;x=arcsin14+k2π;x=πarcsin14+k2π(k)

c) 2tan2x + 3tanx +1 = 0

Điều kiện: xπ2+kπ,k

Đặt tanx = t, phương trình trở thành:

2t2 + 3t +1 = 0

t=1t=12

tanx=1tanx=12

x=π4+kπx=arctan12+kπ(k)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ;x=arctan12+kπk.

d) tanx – 2cotx + 1 = 0

Điều kiện:  sinx0cosx0xkπxπ2+kπxkπ2 (k)

Ta có: tanx – 2cotx + 1 = 0

tanx2tanx+1=0

tan2x+tanx2=0 

Đặt tanx = t, phương trình trở thành:

t2 + t – 2 = 0  t=1t=2 tanx=1tanx=2

x=π4+kπx=arctan(2)+kπ(k) (Thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là: x=π4+kπx=arctan(2)+kπ,(k)

Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0;

b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) sin2x+sin2x2cos2x =12;

d) 2cos2x33sin2x4sin2x=4.

Lời giải:

a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0

Trường hợp 1: cosx=0sin2x=1

Khi đó ta có 2.1 + 0 – 0 = 0 (vô lý)

Trường hợp 2: cosx0xπ2+kπ,(k)

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

sin2xcos2x+sinxcosx3=02tan2x+tanx3=0

Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: 2t2+t3=0t=1t=32

Với t = 1 tanx=1x=π4+kπ,(k) (Thỏa mãn)

Với t=32tanx=32 x=arctan32+kπ,(k)  (Thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,(k)x=arctan32+kπ,(k).

b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2

Trường hợp 1: cosx=0sin2x=1

Khi đó ta có 3.1 + 0 – 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: cosx0xπ2+kπ,(k)

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

3sin2xcos2x4sinxcosx+5=2cos2x

3tan2x4tanx+5=2tan2x+1

tan2x4tanx+3=0

Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: t24t+3=0t=1t=3

Với t = 1 tanx=1  x=π4+kπ,(k)(tm)

Với t = 3 tanx=3  x=arctan3+kπ,(k)  (tm)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,(k)x=arctan3+kπ,(k).

c)  sin2x+sin2x2cos2x =12

sin2x+2sinxcosx2cos2x=12

2sin2x+4sinxcosx4cos2x=1

Trường hợp 1: cosx=0sin2x=1

Khi đó ta có: 2 + 0 – 0 = 1 (vô nghiệm)

Trường hợp 2: cosx0xπ2+kπ,(k)

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

2sin2xcos2x+4sinxcosx4=1cos2x

2tan2x+4tanx4=tan2x+1

tan2x+4tanx5=0

Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: t2+4t5=0t=1t=5

Với t = 1 

Giải các phương trình sau 2(sinx)^2 + sinxcosx − 3(cosx)^2 = 0 (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,(k);  x=arctan(5)+kπ,(k)

Giải các phương trình sau 2(sinx)^2 + sinxcosx − 3(cosx)^2 = 0 (ảnh 1)

Trường hợp 1: cosx=0sin2x=1

Khi đó ta  0 + 0 - 4 = - 4 (Luôn đúng)

x=π2+kπ,(k) là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: cosx0xπ2+kπ,(k)

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Giải các phương trình sau 2(sinx)^2 + sinxcosx − 3(cosx)^2 = 0 (ảnh 1)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π2+kπ,(k)x=π6+kπ,(k).

Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cosx3sin2x=2;

b) 3sin3x − 4cos3x = 5 ;

c) 2sinx+2cosx2=0;

d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0.

Lời giải:

a) cosx3sin2x=2

12cosx32sinx=22

cosxcosπ3sinxsinπ3=22

cosx+π3=cosπ4

x+π3=π4+k2πx+π3=π4+k2π k

x=π12+k2πx=7π12+k2π(k)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π12+k2πx=7π12+k2π(k)

b) 3sin3x − 4cos3x = 5

35sin3x45cos3x=1

Đặt sinα=35cosα=45 , phương trình trở thành:

sin3xsinαcos3xcosα = 1

cos3xcosαsin3xsinα=1

cos(3x+α)=1

3x+α=π+k2π

3x=πα+k2π

x=πα3+k2π3  (k)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=πα3+k2π3  (k) với ( sinα=35,cosα=45).

c)  2sinx+2cosx2=0

2sinx+2cosx=2

222sinx+222cosx=222

12sinx+12cosx=12

sinxsinπ4+cosxcosπ4=12

cosxπ4=cosπ3

xπ4=π3+k2πxπ4=π3+k2π k

x=7π12+k2πx=π12+k2π(k)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=7π12+k2π  hoặc  x=π12+k2π,  k.

d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0

513cos2x+1213sin2x=1

Đặt sinα=1213cosα=513, khi đó phương trình trở thành:

cos2xcosα+sin2xsinα=1

cos2xα=1

2xα=k2π

x=α2+kπ  (k)

Vậy nghiệm của phương trình là x=α2+kπ,(k) với sinα=1213;cosα=513.

Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1;

b) tanx+tanx+π4=1.

Lời giải:

a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

Điều kiện: cos(2x+1)0cos(3x1)0

2x+1π2+kπ3x1π2+kπ

 2xπ21+kπ3xπ2+1+kπ

xπ412+kπ2xπ6+13+kπ3  k

Ta có: tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

tan(2x+1)=1tan(3x1)

tan(2x+1)=cot(3x1)

tan(2x+1)=tanπ23x+1

2x+1=π23x+1+kπ

5x=π2+kπ

x=π10+kπ5,(k)(tm)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π10+kπ5(k).

b) tanx+tanx+π4=1

Điều kiện: cosx0cosx+π40 xπ2+kπx+π4π2+kπ xπ2+kπxπ4+kπk

Ta có: tanx+tanx+π4=1

tanx+tanx+tanπ41tanxtanπ4=1

tanx+tanx+11tanx=1

tanxtan2x+tanx+1=1tanx

tan2x3tanx=0

tanxtanx3=0

tanx=0tanx=3

 x=kπx=arctan3+kπ(k) (Thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ;   x=arctan3+kπ,(k)

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Tiết 2)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Ôn tập chương 1

Bài 1: Quy tắc đếm

Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Bài 4: Phép thử và biến cố

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

1 2,250 18/10/2022


Xem thêm các chương trình khác: