Giải các phương trình sau [ sin (x/2)]^2 - 2 cos(x/2) +2 = 0

Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình thường gặp

Video Giải Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a)  ${\sin }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0$;

b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan²x + 3tanx +1 = 0;

d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Lời giải:

a)  ${\sin }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0$

Ta có: ${\sin }^2\frac{x}{2}=1-{\cos }^2\frac{x}{2}$

Phương trình tương đương với:

$1-{\cos }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0(*)$

$\iff {\cos }^2\frac{x}{2}+2\cos \frac{x}{2}-3=0$

Đặt  $\cos \frac{x}{2}=t\text{ (-1}\le t\le \text{1)}$

Phương trình trở thành:

t² +2t - 3 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}t=1\left(TM\right)\\ t=-3\text{ (L)}\end{array}\right.$

Với t = 1 $\Rightarrow \cos \frac{x}{2}=1$ $\iff \frac{x}{2}=k2\pi$ $\iff x=k4\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z})$ 

Vậy nghiệm của phương trình là $x=k4\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z})$.

b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0

Ta có: cos²x = 1 – sin²x

Phương trình tương đương với:

8(1 – sin²x) + 2sinx – 7 = 0

$\iff 8si{n}^{2}x–2sinx–1=0$

Đặt sinx = t,  $(-1\le t\le 1)$

Phương trình trở thành: 8t² – 2t – 1 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\left(TM\right)\\ t=\frac{-1}{4}\left(TM\right)\end{array}\right.$

Với  $t=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

Với  $t=\frac{-1}{4}\Rightarrow \sin x=\frac{-1}{4}$ $\iff \left[\begin{array}{l}x=\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là

$$\begin{gathered} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ; \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ; \\ x=\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi ; \\ x=\pi -\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

c) 2tan²x + 3tanx +1 = 0

Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Đặt tanx = t, phương trình trở thành:

2t² + 3t +1 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{-1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=\frac{-1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{-\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \left(\frac{-1}{2}\right)+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{-\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan \left(\frac{-1}{2}\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) tanx – 2cotx + 1 = 0

Điều kiện:  $\left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\iff x\ne \frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có: tanx – 2cotx + 1 = 0

$\iff \tan x-\frac{2}{\tan x}+1=0$

$\Rightarrow ta{n}^{2}x+tanx–2=0$

Đặt tanx = t, phương trình trở thành:

t² + t – 2 = 0  $\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=-2\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan (-2)+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$ (Thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $x=\arctan (-2)+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx...

Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 3cos²x − 5cos x + 2 = 0...

Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản...

Hoạt động 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình 3cos²6x + 8sin3xcos3x – 4 = 0...

Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào công thức cộng đã học sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa...

Hoạt động 6 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình√3sin3x−cos3x=√2...

Bài 1 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: sin²x – sinx = 0...

Bài 2 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 2cos²x – 3cosx +1 = 0...

Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 2sin²x + sinxcosx − 3cos²x = 0...

Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau cosx−√3sin2x=√2... 

Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1...

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án