Giải các phương trình sau tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình thường gặp

Video Giải Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1;

b) $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$.

Lời giải:

a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos (2x+1)\ne 0\\ \cos (3x-1)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x+1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ 3x-1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne \frac{\pi }{2}-1+k\pi \\ 3x\ne \frac{\pi }{2}+1+k\pi \end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\frac{k\pi }{2}\\ x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

$\iff \tan (2x+1)=\frac{1}{\tan (3x-1)}$

$\iff \tan (2x+1)=\cot (3x-1)$

$\iff \tan (2x+1)=\tan \left(\frac{\pi }{2}-3x+1\right)$

$\iff 2x+1=\frac{\pi }{2}-3x+1+k\pi$

$\iff 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5},(k\in \mathbb{Z})\left(tm\right)$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5}(k\in \mathbb{Z})$.

b) $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

$\iff \tan x+\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x\tan \frac{\pi }{4}}=1$

$\iff \tan x+\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=1$

$\iff tanx–ta{n}^{2}x+tanx+1=1-tanx$

$\iff ta{n}^{2}x-3tanx=0$

$\iff tanx\left(tanx–3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=0\\ \tan x=3\end{array}\right.$

 $\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\arctan 3+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$ (Thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=k\pi$;   $x=\arctan 3+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx...

Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 3cos²x − 5cos x + 2 = 0...

Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản...

Hoạt động 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình 3cos²6x + 8sin3xcos3x – 4 = 0...

Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào công thức cộng đã học sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa...

Hoạt động 6 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình√3sin3x−cos3x=√2...

Bài 1 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: sin²x – sinx = 0...

Bài 2 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 2cos²x – 3cosx +1 = 0...

Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau sin²$\frac{x}{2}$−2cos$\frac{x}{2}$+2=0...

Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau 2sin²x + sinxcosx − 3cos²x = 0...

Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau cosx−√3sin2x=√2... 

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án