Toán 11 Bài 2: Dãy số
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Dãy số chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.
Mục lục Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số
Video giải Toán 11 Bài 2: Dãy số
Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số . Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).
Lời giải:
Hoạt động 2 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa.
Lời giải:
+ Hàm số cho bằng bảng
Ví dụ:
+ Hàm số cho bằng công thức
Ví dụ:
Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:
a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;
b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.
Lời giải:
a) Năm số hạng đầu:
Số hạng tổng quát của dãy số:
b) Năm số hạng đầu: 1; 4; 7; 10; 13
Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1
Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.
Lời giải:
Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi là: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.
Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số (un) và (vn) với .
b) Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi .
Lời giải:
a)
vn+1 = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4
b)
+ Ta có:
Suy ra un+1 – un < 0
Vậy un+1 < un ,
+ Lại có: vn+1 – vn = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0
Suy ra vn+1 – vn > 0
Vậy vn+1 > vn ,
Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức
Lời giải:
Ta có:
Vì 2(n2 + 1) > 0 và
Vậy
Lại có:
Vì 2n > 0 và
Vậy
Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy số hạng tổng quát un cho bởi công thức.
Lời giải:
a)
,
,
,
,
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là
u1 = 1, , , , .
b)
,
,
,
,
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là
, , , , .
c)
, ,
,
,
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là
u1 = 2, , , , .
d)
,
,
,
,
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là
, , , , .
Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết:
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4
Lời giải:
a) u1 = – 1
u2 = u1 + 3 = – 1 + 3 = 2
u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5
u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8
u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: u1 = – 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11.
b) Chứng minh un = 3n – 4 (*) bằng phương pháp quy nạp:
Do u1 = – 1 = 3.1 – 4 nên (*) đúng với n = 1
Giả sử (*) đúng với , tức là chứng minh uk+1 = 3(k + 1) – 4
Thật vậy, từ giả thiết un+1 = un + 3, suy ra:
uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = (3k + 3) – 4 = 3(k + 1) – 4
Hay uk+1 = 3(k + 1) – 4
Do đó (*) đúng với n = k + 1
Vậy hệ thức đúng với mọi .
Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dãy số (un) cho biết:
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải:
a) Ta có:
Vậy năm số hạng đầu của dãy số là:
u1 = 3, , , ,
b) Ta có:
Từ trên ta dự đoán , với
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
Giả sử (1) đúng với , tức là có với , ta cần chứng minh
Theo công thức dãy số, ta có:
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Vậy công thức (1) được chứng minh.
Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:
Lời giải:
a) Ta có:
Vậy (un) là dãy số giảm.
Cách khác:
Với mọi ta có:
Do đó (un) là dãy số giảm.
b) Xét hiệu
Suy ra
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
Cách khác:
Với mọi ta có:
Ta có:
Suy ra
Vậy (un) là dãy số tăng.
c) Ta có: u1 = -3; u2 = 5; u3 = - 9
suy ra
Nên (un) là dãy số không tăng, không giảm.
d) Với ta có:
Suy ra
Vậy (un) là dãy số giảm.
Cách khác:
Suy ra
Suy ra
Vậy (un) là dãy số giảm.
Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
Lời giải:
a) Ta có suy ra suy ra
Suy ra
Suy ra
Do đó (un) bị chặn dưới bởi 1
Ngoài ra (un) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để .
b) Dễ thấy
Mặt khác, vì:
với mọi .
Vậy dãy số bị chặn.
c) Dễ thấy với mọi
Suy ra
Vậy tức dãy số bị chặn.
d) Ta có:
Vì
Suy ra
Suy ra
Vậy , tức là dãy số là dãy số bị chặn.
Bài giảng Toán 11 Bài 2: Dãy số
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11