Toán 11 Bài 2: Dãy số

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Dãy số chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.

1 1,213 03/11/2022
Tải về


Mục lục Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f(n)=12n1,n*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Lời giải:

f(1)=12.11=121=11=1f(2)=12.21=141=13f(3)=12.31=161=15f(4)=12.41=181=17f(5)=12.51=1101=19

Hoạt động 2 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa.

Lời giải:

+ Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ:

Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số (ảnh 1)

+ Hàm số cho bằng công thức

Ví dụ: y=2x+1x

Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu: 11;13;15;17;19

Số hạng tổng quát của dãy số: 12n1 n*

b) Năm số hạng đầu: 1; 4; 7; 10; 13

Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1 n

Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Lời giải:

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi là: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.

Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số (un) và (vn) với un=1+1n;vn=5n1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi n*.

Lời giải:

a) un+1=1+1n+1

vn+1 = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4

b)

+ Ta có:

un+1un=1+1n+11+1n =1n+11n =n(n+1)n(n+1)=1nn+1<0,  n*

Suy ra un+1 – un < 0

Vậy un+1 < u,

+ Lại có: vn+1 – v= (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0

Suy ra vn+1 – v> 0

Vậy vn+1 > vn*

Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức

nn2+112 và n2+12n1,n*.

Lời giải:

Ta có:

 nn2+112=2nn2+12n2+1 =n2+2n12n2+1=n22n+12n2+1=(n1)22n2+10;n*

Vì 2(n2 + 1) > 0 và (n1)20,n*

Vậy nn2+112;n*

Lại có: n2+12n1=n2+12n2n 

=(n1)22n0;n*

Vì 2n > 0 và (n1)20,nN*

Vậy n2+12n1,n*

Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy số hạng tổng quát un cho bởi công thức.

a) un=n2n1

b) un=2n12n+1

c) un=1+1nn

d) un=nn2+1

Lời giải:

a) un=n2n1

u1=12111,

u2=2221=23

u3=3231=37

u4=4241=415

u5=5251=531

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là

u1 = 1, u2=23u3=37u4=415u5=531.

b) un=2n12n+1

u1=21121+1=13,

u2=22122+1=35,

u3=23123+1=79,

u4=24124+1=1517

u5=25125+1=3133

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là

u1=13u2=35u3=79u4=1517u5=3133.

c) un=1+1nn

u1=1+111=2

u2=1+122=94,

u3=1+133=6427,

u4=1+144=625256,

 u5=1+155=77763125

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là

u1 = 2, u2=94u3=6427u4=625256u5=77763125.

d) un=nn2+1

u1=112+1=12,

u2=222+1=25,

u3=332+1=310,

u4=442+1=417,

 u5=552+1=526

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là

u1=12u2=25u3=310u4=417u5=526.

Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết:

u1 = – 1, un+1 = un + 3 với n1

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4

Lời giải:

a) u1 = – 1

u2 = u1 + 3 = – 1 + 3 = 2

u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5

u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8

u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: u1 = – 1, u2 = 2, u3 = 5, u4  = 8, u5 = 11.

b) Chứng minh un = 3n – 4 (*) bằng phương pháp quy nạp:

Do u1 = – 1 = 3.1 – 4 nên (*) đúng với n = 1

Giả sử (*) đúng với n=k,k1, tức là chứng minh uk+1 = 3(k + 1) – 4

Thật vậy, từ giả thiết un+1 = un + 3, suy ra:

uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = (3k + 3) – 4 = 3(k + 1) – 4

Hay uk+1 = 3(k + 1) – 4

Do đó (*) đúng với n = k + 1

Vậy hệ thức đúng với mọi n*.

Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dãy số (un) cho biết:

u1=3,un+1=1+un2,n1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) Ta có:

u2=1+u12=1+32=10u3=1+u22=1+(10)2=11u4=1+u32=1+(11)2=12u5=1+u42=1+(12)2=13

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là:

u1 = 3, u2=10u3=11u4=12u5=13

b) Ta có:

u1=3=9=1+8u2=10=2+8u3=11=3+8u4=12=4+8u5=13=5+8

Từ trên ta dự đoán un=n+8, với n* 1

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

Giả sử (1) đúng với n=k1, tức là có uk=k+8 với k1, ta cần chứng minh 

uk+1=(k+1)+8

Theo công thức dãy số, ta có: 

uk+1=1+uk2=1+(k+8)2

=1+k+8=(k+1)+8

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:

a) un=1n2

b) un=n1n+1

c) un = (- 1)(2n + 1)

d) un=2n+15n+2

Lời giải:

a) Ta có:

un+1un=1n+121n+2=1n+11n=1n(n+1)<0un+1<un,n*

Vậy (un) là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi n* ta có:

un+1=1n+12<1n2<un

Do đó (un) là dãy số giảm.

b) Xét hiệu

un+1un=n+11n+1+1n1n+1 =n n+2n1n+1=n(n+1)(n1)(n+2)(n+1)(n+2) =n2+nn2n+2n2(n+1)(n+2)=n2+nn2+n2(n+1)(n+2) =n2+nn2n+2(n+1)(n+2)=2(n+1)(n+2)>0

Suy ra un+1>un,n

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

Với mọi n* ta có:

un=n1n+1=n+12n+1=12n+1un+1=11(n+1)+1=11n+2

Ta có: 

1n+2<2n+11n+2>2n+111n+2>12n+1

Suy ra un+1>un,n*

Vậy (un) là dãy số tăng.

c) Ta có: u1 = -3; u2 = 5; u3 = - 9

suy ra  u1<u2>u3

Nên (un)  là dãy số không tăng, không giảm.

d) Với n*,un0 ta có:

un+1un=2n+35n+75n+22n+1=10n2+19n+610n2+19n+7<1

Suy ra un+1<un,n*

Vậy (un) là dãy số giảm.

Cách khác: 

un+1un=2(n+1)+15(n+1)+22n+15n+2 =2n+35n+72n+15n+2=2n+35n+22n+15n+75n+75n+2=10n2+15n+4n+610n2+5n+14n+75n+75n+2=15n+75n+2<0,n*

Suy ra un+1un<0,n*

Suy ra un+1<un,n*

Vậy (un) là dãy số giảm.

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

a) un = 2n2 – 1

b) un=1n(n+2)

c) un=12n21

d) un = sin n + cos n

Lời giải:

a) Ta có n1 suy ra n21 suy ra 2n22

Suy ra 2n211

Suy ra un1,n*

Do đó (un) bị chặn dưới bởi 1

Ngoài ra (un) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để 2n21<M,n*.

b) Dễ thấy un>0,n*

Mặt khác, vì: n1n212n2

n(n+2)=n2+2n1+2=31n(n+2)13un13,n*

0<un 13 với mọi  n*.

Vậy dãy số bị chặn.

c) Dễ thấy un=12n21>0 với mọi n*

Dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn (ảnh 1)

Suy ra 0<12n211,n*

Vậy 0<un1,n* tức dãy số bị chặn.

d) Ta có: 

sinn+cosn=212sinn+12cosn=2sinncosπ4+cosnsinπ4=2sinn+π4

Vì 1sinn+π41

Suy ra 22sinn+π42

Suy ra 2sinn+cosn2,n*

Vậy 2un2n*, tức là dãy số là dãy số bị chặn.

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Dãy số

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số cộng

Bài 4: Cấp số nhân

Ôn tập chương 3

Bài 1: Phép biến hình

Bài 2: Phép tịnh tiến

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Dãy số

Trắc nghiệm Dãy số có đáp án

1 1,213 03/11/2022
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: