Xét tính tăng, giảm của các dãy số

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

a) $u_n=\frac{1}{n}-2$

b) $u_n=\frac{n-1}{n+1}$

c) u_n = (- 1)ⁿ (2ⁿ + 1)

d) $u_n=\frac{2n+1}{5n+2}$

Lời giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-2-\frac{1}{n}+2 \\ =\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}<0 \\ {u}_{n+1}<u_n,\forall n\in \mathbb{N}* \end{gathered}$$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi $n\in \mathbb{N}*$ ta có:

$u_{n+1}=\frac{1}{n+1}-2<\frac{1}{n}-2<u_n$

Do đó (u_n) là dãy số giảm.

b) Xét hiệu

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1} \\ =\frac{n}{ n+2}-\frac{n-1}{n+1} \\ =\frac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)} \\ =\frac{n^2+n-\left(n^2-n+2n-2\right)}{(n+1)(n+2)} \\ =\frac{n^2+n-\left(n^2+n-2\right)}{(n+1)(n+2)} \\ =\frac{n^2+n-n^2-n+2}{(n+1)(n+2)} \\ =\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0 \end{gathered}$$

Suy ra $u_{n+1}>u_n,\forall n\in \mathbb{N}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

Với mọi $n\in \mathbb{N}*$ ta có:

$$\begin{gathered} u_n=\frac{n-1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=1-\frac{2}{n+1} \\ {u}_{n+1}=1-\frac{1}{(n+1)+1}=1-\frac{1}{n+2} \end{gathered}$$

Ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{n+2}<\frac{2}{n+1} \\ \Rightarrow -\frac{1}{n+2}>-\frac{2}{n+1} \\ \Rightarrow 1-\frac{1}{n+2}>1-\frac{2}{n+1} \end{gathered}$$

Suy ra $u_{n+1}>u_n,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

c) Ta có: u₁ = -3; u₂ = 5; u₃ = - 9

suy ra  $u_1<u_2>u_3$

Nên (u_n)  là dãy số không tăng, không giảm.

d) Với $n\in \mathbb{N}*,u_n\ne 0$ ta có:

$$\begin{gathered} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2n+3}{5n+7}\cdot \frac{5n+2}{2n+1} \\ =\frac{10n^2+19n+6}{10n^2+19n+7}<1 \end{gathered}$$

Suy ra $u_{n+1}<u_n,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Cách khác: 

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2(n+1)+1}{5(n+1)+2}-\frac{2n+1}{5n+2} \\ =\frac{2n+3}{5n+7}-\frac{2n+1}{5n+2} \\ =\frac{\left(2n+3\right)\left(5n+2\right)-\left(2n+1\right)\left(5n+7\right)}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)} \\ =\frac{\left(10n^2+15n+4n+6\right)-\left(10n^2+5n+14n+7\right)}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)} \\ =\frac{-1}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}<0,\forall n\in \mathbb{N}* \end{gathered}$$

Suy ra $u_{n+1}-u_n<0,\forall n\in \mathbb{N}*$

Suy ra $u_{n+1}<u_n,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm sốf(n)=$\frac{1}{2n-1}$,n∈N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)...

Hoạt động 2 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa...

Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau...

Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi...

Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số ($u_n$) và ($v_n$)...

Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức...

Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy số hạng tổng quát $u_{n }$cho bởi công thức...

Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: $u_n$= 3n – 4...

Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$...

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số ($u_n$) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn...

Lý thuyết Dãy số

Trắc nghiệm Dãy số có đáp án