Chứng minh các bất đẳng thức sau

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số

Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức

$\frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}$ và $\frac{n^2+1}{2n}\ge 1,\forall n\in \mathbb{N}*$.

Lời giải:

Ta có:

 $$\begin{gathered} \frac{n}{n^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{2n-\left(n^2+1\right)}{2\left(n^2+1\right)} \\ =\frac{-n^2+2n-1}{2\left(n^2+1\right)} \\ =\frac{-\left(n^2-2n+1\right)}{2\left(n^2+1\right)} \\ =\frac{-{(n-1)}^2}{2\left(n^2+1\right)}\le 0;\forall n\in \mathbb{N}* \end{gathered}$$

Vì 2(n² + 1) > 0 và $-{(n-1)}^2\le 0,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy $\frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2};\forall n\in \mathbb{N}*$

Lại có: $\frac{n^2+1}{2n}-1=\frac{n^2+1-2n}{2n}$ 

$=\frac{{(n-1)}^2}{2n}\ge 0;\forall n\in \mathbb{N}*$

Vì 2n > 0 và ${(n-1)}^2\ge 0,\forall n\in N^{*}$

Vậy $\frac{n^2+1}{2n}\ge 1,\forall n\in \mathbb{N}*$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm sốf(n)=$\frac{1}{2n-1}$,n∈N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)...

Hoạt động 2 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa...

Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau...

Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi...

Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số ($u_n$) và ($v_n$)...

Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy số hạng tổng quát $u_{n }$cho bởi công thức...

Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: $u_n$= 3n – 4...

Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$...

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số ($u_n$), biết...

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số ($u_n$) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn...

Lý thuyết Dãy số

Trắc nghiệm Dãy số có đáp án