Dự đoán công thức số hạng tổng quát

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dãy số (u_n) cho biết:

$u_1=3,u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},n\ge 1$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} u_2=\sqrt{1+u_1^2} \\ =\sqrt{1+3^2}=\sqrt{10} \\ {u}_3=\sqrt{1+u_2^2} \\ =\sqrt{1+{\left(\sqrt{10}\right)}^2}=\sqrt{11} \\ {u}_4=\sqrt{1+u_3^2} \\ =\sqrt{1+{\left(\sqrt{11}\right)}^2}=\sqrt{12} \\ {u}_5=\sqrt{1+u_4^2} \\ =\sqrt{1+{\left(\sqrt{12}\right)}^2}=\sqrt{13} \end{gathered}$$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là:

u₁ = 3, $u_2=\sqrt{10}$, $u_3=\sqrt{11}$, $u_4=\sqrt{12}$, $u_5=\sqrt{13}$

b) Ta có:

$$\begin{gathered} u_1=3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8} \\ {u}_2=\sqrt{10}=\sqrt{2+8} \\ {u}_3=\sqrt{11}=\sqrt{3+8} \\ {u}_4=\sqrt{12}=\sqrt{4+8} \\ {u}_5=\sqrt{13}=\sqrt{5+8} \end{gathered}$$

Từ trên ta dự đoán $u_n=\sqrt{n+8}$, với $n\in \mathbb{N}* \left(1\right)$

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$, tức là có $u_k=\sqrt{k+8}$ với $k\ge 1$, ta cần chứng minh 

$u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}$

Theo công thức dãy số, ta có: 

$$\begin{gathered} u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^2} \\ =\sqrt{1+{\left(\sqrt{k+8}\right)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\sqrt{1+k+8} \\ =\sqrt{(k+1)+8} \end{gathered}$$

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm sốf(n)=$\frac{1}{2n-1}$,n∈N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)...

Hoạt động 2 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa...

Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau...

Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi...

Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số ($u_n$) và ($v_n$)...

Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức...

Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy số hạng tổng quát $u_{n }$cho bởi công thức...

Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: $u_n$= 3n – 4...

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số ($u_n$), biết...

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số ($u_n$) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn...

Lý thuyết Dãy số

Trắc nghiệm Dãy số có đáp án