Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1

b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Lời giải:

a) 3ⁿ > 3n + 1

Với n = 2 ta có: 3² = 9 > 7 = 3.2 + 1 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là: 3^k > 3k + 1  (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

3^k+1 > 3(k + 1) + 1 = 3k + 4

Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:

3^k+1 > 9k + 3

3^k+1 > 3k + 4 + 6k – 1

Vì $k\ge 2$ suy ra $6k-1\ge 11>0$ nên 3^k+1 > 3k + 4 + 11 > 3k + 4 = 3(k + 1) + 1

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.

b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Với n = 2 ta có: 2²⁺¹ = 8 > 7 = 2.2 + 3 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là: 2^k+1 > 2k + 3 (2)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

2^k+2 > 2(k + 1) + 3 = 2k + 5

Nhân hai vế của (2) với 2, ta được:

2^k+2 > 4k + 6

2^k+2 > 2k + 5 + 2k + 1

Vì $k\ge 2$ suy ra 2k + 1 > 0 nên 2^k+2 > 2k + 5

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3 đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai...

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{N}*$ thì1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$...

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: So sánh $3^n$với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5...

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: 2+5+8+...+3n−1=$\frac{n(3n+1)}{2}$...

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: $n^3$+3$n^2$+5nchia hết cho 3...

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp...

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$...

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án