Dự đoán công thức tính tổng

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho tổng

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

a) 

$$\begin{gathered} S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2} \\ {S}_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3} \\ {S}_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4} \end{gathered}$$

b) Từ câu a) ta dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1}$ (1), với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là $S_1=\frac{1}{2}$ vế phải bằng $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức  đúng với $n=k\ge 1$, tức là:

 $S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\dots +\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: 

$S_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$

Ta có: 

$$\begin{gathered} S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{k}{ k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} =\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)} \\ =\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)} =\frac{k+1}{k+2} \end{gathered}$$

Tức là đẳng thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai...

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{N}*$ thì1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$...

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: So sánh $3^n$với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5...

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: 2+5+8+...+3n−1=$\frac{n(3n+1)}{2}$...

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: $n^3$+3$n^2$+5nchia hết cho 3...

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có các bất đẳng thức...

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$...

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án