Ta có các đẳng thức

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{N}*$, ta có các đẳng thức:

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\frac{1.(3.1+1)}{2}=2$.

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$$\begin{gathered} S_k=2+5+8+\dots +3k-1 \\ =\frac{k(3k+1)}{2} \end{gathered}$$

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

b)  $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$ (2)

Với n = 1 thì vế trái bằng $\frac{1}{2}$, vế phải bằng $\frac{1}{2}$

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (2) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$$\begin{gathered} S_k=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^k} \\ =\frac{2^k-1}{2^k} \end{gathered}$$

Ta phải chứng minh

 $S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$$\begin{gathered} S_{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} \\ =S_k+\frac{1}{2^{k+1}} \\ =\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2\left(2^k-1\right)+1}{2^{k+1}} \end{gathered}$$

$=\frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}} =\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

c) $1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$  (3)

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng $\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (3) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$$\begin{gathered} S_k=1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+k^2 \\ =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6} \end{gathered}$$

Ta phải chứng minh

 $S_{k+1}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

S_k+1 = 1² + 2² + 3² + … + k² + (k + 1)²

= S_k + (k + 1)²

$$\begin{gathered} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+{\left(k+1\right)}^2 \\ =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)+6{\left(k+1\right)}^2}{6} \\ =\frac{\left(k+1\right)\left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6} \\ =\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6} \\ =\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6} \\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6} \\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+2+1\right)}{6} \end{gathered}$$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai...

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{N}*$ thì1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$...

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: So sánh $3^n$với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5...

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: $n^3$+3$n^2$+5nchia hết cho 3...

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có các bất đẳng thức...

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp...

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$...

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án