Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Ta có các đẳng thức

    Với giải Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:

    1 540 29/10/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

    Video Giải Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

    Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n∈ℕ*, ta có các đẳng thức:

    Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

    Lời giải:

    Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

    Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

    Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng 1.(3.1+1)2=2.

    Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

    Đặt vế trái bằng Sn

    Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k≥1, tức là

    Sk=2+5+8+…+3k−1=k(3k+1)2

    Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, nghĩa là phải chứng minh

    Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

    Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

    Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

    Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n∈ℕ*.

    b)  12+14+18+...+12n=2n−12n (2)

    Với n = 1 thì vế trái bằng 12, vế phải bằng 12

    Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

    Đặt vế trái bằng Sn

    Giả sử đẳng thức (2) đúng với n=k≥1, tức là

    Sk=12+14+18+...+12k=2k−12k

    Ta phải chứng minh

     Sk+1=2k+1−12k+1

    Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

    Sk+1=12+14+18+...+12k+12k+1 =Sk+12k+1=2k−12k+12k+1 =22k−1+12k+1

    =2k+1−2+12k+1 =2k+1−12k+1 (điều phải chứng minh)

    Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi n∈ℕ*.

    c) 12+22+32+...+n2=nn+12n+16  (3)

    Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1)6=1

    Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

    Đặt vế trái bằng Sn

    Giả sử đẳng thức (3) đúng với n=k≥1, tức là

    Sk=12+22+32+...+k2=kk+12k+16

    Ta phải chứng minh

     Sk+1=k+1k+22k+1+16

    Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

    Sk+1 = 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2

    = Sk + (k + 1)2

    =kk+12k+16+k+12=kk+12k+1+6k+126=k+1k2k+1+6k+16=k+12k2+k+6k+66=k+12k2+7k+66=k+1k+22k+36=k+1k+22k+2+16

    =k+1k+22k+1+16 (điều phải chứng minh)

    Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi n∈ℕ*.

    Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

    Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai...

    Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với n∈ℕ* thìn(n+1)2...

    Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: So sánh 3nvới 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5...

    Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: n3+3n2+5nchia hết cho 3...

    Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta có các bất đẳng thức...

    Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp...

    Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)2...

    Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

    Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 540 29/10/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: